2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Какой НОД у всех чисел данного вида?
Сообщение17.12.2016, 23:57 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
а) Докажите, что для любых целых чисел $a, b, c, d$ число
$$abcd(a^2-b^2)(a^2-c^2)(a^2-d^2)(b^2-c^2)(b^2-d^2)(c^2-d^2)$$
кратно 2520.

б) А какой НОД у всех чисел данного вида?

 Профиль  
                  
 
 Re: Какой НОД у всех чисел данного вида?
Сообщение18.12.2016, 19:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


19/12/10
1546
Так как для любого целого $x$ верно:

$x^2\equiv0,1\pmod4$
$x^2\equiv0,1\pmod3$
$x^2\equiv0,1,4\pmod5$
$x^2\equiv0,1,2,4\pmod7$

то все такие числа кратны $2^83^45^27=3628800.$

Выбрав $a=1,b=2,c=3,d=4$ можно убедиться, что других общих простых делителей эти числа не имеют.

UPD: исправил степень двойки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Какой НОД у всех чисел данного вида?
Сообщение19.12.2016, 00:01 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
whitefox
Большое спасибо!
А мне показалось, что $10!$ должно получиться :facepalm:

 Профиль  
                  
 
 Re: Какой НОД у всех чисел данного вида?
Сообщение19.12.2016, 11:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


19/12/10
1546
Ktina в сообщении #1178207 писал(а):
А мне показалось, что $10!$ должно получиться

$\{4,5,6,9\}$ дают только седьмую степень двойки, так что 10! получиться не может. (Ошибка: степень, как раз-таки 8, то есть Вам показалось правильно — НОД = 10!) :-)

Хотя я и не утверждал, что приведённое число — НОД, после исправления оно таки им стало. :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Какой НОД у всех чисел данного вида?
Сообщение20.12.2016, 09:53 


26/08/11
2057
whitefox в сообщении #1178300 писал(а):
$\{4,5,6,9\}$ дают только седьмую степень двойки
Произведение четных чисел делится на 8, разность их квадратов делится на 4, ну и разность квадратов нечетных чисел делится на 8, так что степень двойки - минимум восьмая.

 Профиль  
                  
 
 Re: Какой НОД у всех чисел данного вида?
Сообщение20.12.2016, 10:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


19/12/10
1546
Shadow
Вы правы, одну двойку упустил. :?
То есть НОД = 10!

 Профиль  
                  
 
 Re: Какой НОД у всех чисел данного вида?
Сообщение21.12.2016, 17:12 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Shadow
Большое спасибо!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group