2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Изучение математики
Сообщение15.12.2016, 16:19 
Аватара пользователя


15/07/15
13
Подскажите пожалуйста где можно получить информацию о взаимосвязи между собой различных разделов математики.
Возможно ли последовательно, линейно изучать математику начиная с теории множеств, потом логику, потом теорию чисел, мат. анализ и т.д.
По идее первичный раздел математики - математическая логика, так как в любой теории, любом разделе математики для доказательств используется логика.

P.S. Настолько плохо знаю, что мне даже трудно сформулировать достаточно точно свой вопрос, который и окончательно еще не сложился в голове.

 Профиль  
                  
 
 Re: Изучение математики
Сообщение15.12.2016, 16:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
5499
ИМХО возможно, но очень нежелательно - изучать различные разделы параллельно полезно, потому что они дают примеры для применения друг друга. Изучать надо циклами, смотрите программы разных университетов, как там распределено все.

 Профиль  
                  
 
 Re: Изучение математики
Сообщение15.12.2016, 16:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
3454
Eric1987
Посмотрите эти темы:
«Карта разделов математики»
«Чем вообще занимаются современные математики?»
и оттуда ссылки по другим подобным темам. Если Вам это действительно нужно, то там найдёте много интересного для себя.
Eric1987 в сообщении #1177223 писал(а):
Возможно ли последовательно, линейно изучать математику начиная с теории множеств, ...
Вообще, идея не очень хорошая. Мир математики слишком обширен -- без методически грамотно составленных курсов шансы осилить хоть что-то достаточно быстро, чтобы двигаться дальше, близки к нулю. Насколько глубоко Вы хотели бы вникать в перечисленные Вами разделы? В любом случае неизбежен такой путь: сначала по верхам общие основы в части разделов, потом выбор направления и углублённое изучение одного направления. Потом выбор другого. Шансов дойти до третьего очень мало, но по верхам можно будет пройтись вторым-третьим кругом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Изучение математики
Сообщение15.12.2016, 16:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
06/05/17
61939
Eric1987 в сообщении #1177223 писал(а):
Подскажите пожалуйста где можно получить информацию о взаимосвязи между собой различных разделов математики.

Здесь на форуме. Есть много старых тем со множеством ссылок. Вы искать пробовали?

Eric1987 в сообщении #1177223 писал(а):
Возможно ли последовательно, линейно изучать математику начиная с теории множеств, потом логику, потом теорию чисел, мат. анализ и т.д.

Возможно, но глупо и с плохими результатами.

Eric1987 в сообщении #1177223 писал(а):
По идее первичный раздел математики - математическая логика, так как в любой теории, любом разделе математики для доказательств используется логика.

Есть разные "идеи", в которых математика начинается с логики, с теории множеств, с арифметики целых чисел. Все эти разделы выразимы друг через друга.

 Профиль  
                  
 
 Re: Изучение математики
Сообщение15.12.2016, 17:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
4126
Eric1987 в сообщении #1177223 писал(а):
По идее первичный раздел математики - математическая логика, так как в любой теории, любом разделе математики для доказательств используется логика.
Для того чтобы понимать и даже придумывать математические доказательства, знать раздел математики под названием "математическая логика" совсем не обязательно. Достаточно уметь логически мыслить, не допускать логических ошибок. Если у Вас с этим все в порядке, изучение математической логики можете пропустить, если только нет к ней специального интереса. Вот если не в порядке... Что ж, некоторые пользователи советуют в таком случае изучать учебники по матлогике, но я всегда сомневался в эффективности этой меры.
Munin в сообщении #1177234 писал(а):
Есть разные "идеи", в которых математика начинается с логики, с теории множеств, с арифметики целых чисел. Все эти разделы выразимы друг через друга.
Это правда. Но я хотел бы предостеречь ТС от того, чтобы отождествлять "математика начинается с" (в смысле - данный раздел используется ка один из вариантов оснований математики) и "начинать изучение математики нужно с". Основания математики - глубоко специфичный предмет для любителей задавать вопросы типа "на чем основана наша уверенность, что дважды два четыре?". Если у Вас нет к этому склонности, все эти логики, алгоритмы, формальные теории можете вообще опустить (правда, с элементарными понятиями теории множеств познакомиться все-таки придется).
grizzly в сообщении #1177231 писал(а):
Посмотрите эти темы:
«Карта разделов математики»
«Чем вообще занимаются современные математики?»
Боюсь, что для человека, никогда не изучавшего математики сверх школьной, подобные обсуждения написаны на инопланетном языке. Ну прочитает он дискуссию о том, надо ли относить вжамавмтфык к прнеку или скорее к еннсту, и что? Совет ориентироваться на программы математических факультетов, на очередность предметов кажется более полезным.

 Профиль  
                  
 
 Re: Изучение математики
Сообщение15.12.2016, 18:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
19125
Уфа
Anton_Peplov в сообщении #1177257 писал(а):
Вот если не в порядке... Что ж, некоторые пользователи советуют в таком случае изучать учебники по матлогике, но я всегда сомневался в эффективности этой меры.
Да, учебники по матлогике здесь примерно не более полезны, чем учебник матанализа для разрешения проблем со сложением и умножением десятичных дробей: при желании позволят вывести алгоритмы этих вещей самостоятельно, но практики всё равно не дадут. Есть несколько книг, посвящённых в какой-то мере исключительно (без интересных определений из актуальной математики никакой практики не получится) доказательствам, только я их названия, как обычно, не помню. :-) Они при этом не называются учебниками матлогики.

 Профиль  
                  
 
 Re: Изучение математики
Сообщение15.12.2016, 23:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
06/05/17
61939
Да, учебники матлогики обычно написаны для людей, уже знакомых с учебниками 1-2 курса по алгебре и матанализу. И учебники по теории множеств страдают тем же свойством.

 Профиль  
                  
 
 Re: Изучение математики
Сообщение16.12.2016, 00:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
19125
Уфа
Видимо, предполагается, что введение было в учебнике матанализа. :-) Не буду говорить, хорошее ли это решение и вообще решал ли кто-то это, но выглядит как молчаливое согласие. Общематематических сведений из теории множеств не так много, и думается, их и на семестровый курс не хватит (это суждения за пределами компетенции, если что, и не знаток разнообразия учебников), хотя я их и не видел собранными всеми в одном месте в нестрашном учебнике. Например, было бы интересно увидеть «общий» учебник, где было бы слово о совместимости функции с отношением эквивалентности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Изучение математики
Сообщение16.12.2016, 00:56 
Аватара пользователя


07/01/15
586
arseniiv в сообщении #1177400 писал(а):
Видимо, предполагается, что введение было в учебнике матанализа. :-)

Видимо, предполагается наличие общей математической культуры.

Munin в сообщении #1177376 писал(а):
И учебники по теории множеств страдают тем же свойством.

Я вообще не представляю себе нормальных математических учебников, подходящих для людей, не знакомых с 1-2 курсом матана и алгебры, кроме учебников по 1-2 курсу матана и алгебры :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Изучение математики
Сообщение16.12.2016, 05:28 


11/08/16

312
Munin в сообщении #1177234 писал(а):
Есть разные "идеи", в которых математика начинается с логики, с теории множеств, с арифметики целых чисел. Все эти разделы выразимы друг через друга.
Нет, логика не выразима через арифметику целых чисел.

 Профиль  
                  
 
 Re: Изучение математики
Сообщение16.12.2016, 11:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
4126
arseniiv в сообщении #1177400 писал(а):
Общематематических сведений из теории множеств не так много, и думается, их и на семестровый курс не хватит (это суждения за пределами компетенции, если что, и не знаток разнообразия учебников), хотя я их и не видел собранными всеми в одном месте в нестрашном учебнике.
Я думаю, первая глава из Колмогорова-Фомина вполне подойдет.

-- 16.12.2016, 11:23 --

SomePupil в сообщении #1177405 писал(а):
Я вообще не представляю себе нормальных математических учебников, подходящих для людей, не знакомых с 1-2 курсом матана и алгебры, кроме учебников по 1-2 курсу матана и алгебры :-)
Клини "Математическая логика". Что-нибудь не сильно глубокое по теории алгоритмов типа Матросова-Поднебесной (хоть конкретно этот учебник мне и не нравится) тоже. Виро и К "Элементарная топология" (хотя многие говорят, что топологию нельзя понять, если изучать ее раньше анализа, я в этом совсем не уверен). Еще какие-нибудь разделы можно найти.
Но это капля в море, конечно. Ни дифуры, ни функан, ни ТФКП, ни нормальный теорвер, и т.д. и т.п. без анализа не живут. Вот алгебра не так нужна, точнее - нужна линейная алгебра, а группы-кольца-поля в первом приближении можно опустить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Изучение математики
Сообщение16.12.2016, 14:20 
Аватара пользователя


07/01/15
586
Anton_Peplov в сообщении #1177469 писал(а):
точнее - нужна линейная алгебра

+1. Преподы МГУ золотого века даже ввели добрую традицию $-$ преподавать перед линейной алгеброй аналитическую геометрию, чтобы студенты лучше осваивали линейную алгебру.

Anton_Peplov в сообщении #1177469 писал(а):
(хотя многие говорят, что топологию нельзя понять, если изучать ее раньше анализа, я в этом совсем не уверен).

Это Вы, наверное, учили общую топологию все-таки после знакомства с матаном. А я вот взялся до знакомства, и знаете, где я застопорился? Да прямо на первой странице, где давалось определение топологии. Нет, на самом деле, это и еще несколько определений мне удалось вызубрить, но те вещи, которые стояли за определениями, я более-менее почувствовал, только когда познакомился с анализом, своими руками доказал, что для непрерывной функции на $\mathbb R$ прообраз открытого множества$-$ открыт и т. д. Ну и большую часть того вызубренного кусочка общей топологии я, конечно, забыл. Выходит, раннее знакомство с общей топологией было для меня неэффективным, если не сказать $-$ бесполезным.

Так что браться за общую топологию, не зная матана $-$ дело весьма сомнительное. Но ведь есть и третья альтернатива: учить их параллельно. ТС может поэкспериментировать с этим.

 Профиль  
                  
 
 Re: Изучение математики
Сообщение16.12.2016, 15:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
06/05/17
61939
arseniiv в сообщении #1177400 писал(а):
Общематематических сведений из теории множеств не так много, и думается, их и на семестровый курс не хватит (это суждения за пределами компетенции, если что, и не знаток разнообразия учебников), хотя я их и не видел собранными всеми в одном месте в нестрашном учебнике.

Вы смотрели Вавилова Mengenlehre?

-- 16.12.2016 15:15:09 --

SomePupil в сообщении #1177405 писал(а):
Видимо, предполагается наличие общей математической культуры.

Это слова, которые ничего не значат.

-- 16.12.2016 15:16:11 --

knizhnik
Замечания я буду принимать от кого-то более компетентного, чем вы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Изучение математики
Сообщение16.12.2016, 15:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
4126
SomePupil в сообщении #1177508 писал(а):
Это Вы, наверное, учили общую топологию все-таки после знакомства с матаном.
Если точнее, я был знаком с азами метрических пространств и соответствующими определениями: "открытое множество - это объединение открытых шаров" и т.д. Да, это мне помогло. Если бы я писал учебник по общей топологии, я бы в первом же параграфе, сразу после определения топологии, дал определение ее базы. А в следующем параграфе вводилось бы понятие метрического пространства, открытого шара и доказывалось, что открытые шары образуют базу топологии. Ну а $\mathbb R$ рассматривалось бы как важный частный случай метрического пространства.

Что касается определения непрерывности для функций $\mathbb R \to \mathbb R$, как оно дается в учебниках матана - то да, к этому времени я был с ним знаком, но я не чувствую, чтобы оно помогло мне понять топологию. Впрочем, у разных людей голова устроена по-разному. Я вообще недолюбливаю анализ - не в том смысле, что считаю его какой-то "второстортной" наукой, а в том, что он мне трудно дается. Я клятый алгебраист по складу мышления.

 Профиль  
                  
 
 Re: Изучение математики
Сообщение16.12.2016, 16:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
06/05/17
61939
Я смысл слов "общая топология" узнал очень поздно, и до сих пор считаю, что это предмет, имеющий очень мало общего со словом "топология". А то, что называется словом "топология", также может снабжаться эпитетами "алгебраическая", "дифференциальная", "комбинаторная". Наука о сферах и бубликах, и листах Мёбиуса, и всяком таком.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 27 ]  На страницу 1, 2  След.

Модератор: Модераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group