2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Момент инерции кольца
Сообщение15.12.2016, 13:30 


15/06/16
4
Найдите момент инерции тонкого кольца массы $m$ и радиуса $R$,
вращающегося вокруг оси перпендикулярной плоскости кольца и
проходящей через его обод. Хотел бы узнать, правильно ли следующее решение?(10 класс)
$dm = \frac{m dr}{2 \pi R}$
$dJ = dm r ^ 2 = \frac{m r ^ 2 dr}{2 \pi R}$
$J = \frac{m}{2 \pi R}\int\limits_{0}^{2R}(r ^ 2dr)  = \frac{4mR^2}{3}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Момент инерции кольца
Сообщение15.12.2016, 13:36 
Заслуженный участник


28/12/12
7740
Defunator в сообщении #1177150 писал(а):
Хотел бы узнать, правильно ли следующее решение?

Неправильно. Если $r$ - координата вдоль кольца, то расстояние до оси вращения будет не $r$, а другое (а именно $R\left(1-\cos\left(\dfrac{r}{2\pi R}\right)\right)$).
Теорема Штейнера должна вам помочь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Момент инерции кольца
Сообщение15.12.2016, 13:48 


15/06/16
4
DimaM в сообщении #1177153 писал(а):
Defunator в сообщении #1177150 писал(а):
Хотел бы узнать, правильно ли следующее решение?

Неправильно. Если $r$ - координата вдоль кольца, то расстояние до оси вращения будет не $r$, а другое.
Теорема Штейнера должна вам помочь.

Тогда так:
$J = Jc + m r ^ 2 = \frac{3 m r ^ 2}{2}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Момент инерции кольца
Сообщение15.12.2016, 13:53 
Заслуженный участник


28/12/12
7740
Defunator в сообщении #1177155 писал(а):
Тогда так

У кольца $J_c$ не такой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Момент инерции кольца
Сообщение15.12.2016, 13:55 
Аватара пользователя


11/12/16
13195
уездный город Н
Это для диска получилось. Не в ту строчку таблицы с типовыми моментами инерции посмотрели.

 Профиль  
                  
 
 Re: Момент инерции кольца
Сообщение15.12.2016, 13:55 


15/06/16
4
DimaM в сообщении #1177158 писал(а):
Тогда так
У кольца $J_c$ не такой.

Действительно, $J_c = m R ^ 2$. Тогда $J = 2 m R ^ 2$

 Профиль  
                  
 
 Re: Момент инерции кольца
Сообщение15.12.2016, 13:58 
Заслуженный участник


28/12/12
7740
Defunator в сообщении #1177162 писал(а):
Извините, но откуда это?

Извините, опечатка - $2\pi$ лишние. Должно быть $R(1-\cos(r/R))$.
Выведено из вашего выражения для $dm$: там $r$ - это координата вдоль кольца. Попутно в интеграле верхний предел неправильный.

-- 15.12.2016, 18:18 --

Я дико извиняюсь за то, что ввожу в заблуждение.
У меня написано для оси, лежащей в плоскости кольца. Для перпендикулярной, конечно, по-другому. Если я снова не ошибаюсь, то расстояние будет $2R\sin\left(\dfrac{r}{2R}\right)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Момент инерции кольца
Сообщение15.12.2016, 15:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/13
1916
Москва
DimaM, а зачем Вы вводите координату вдоль кольца? Момент инерции тонкого кольца относительно перпендикулярной его плоскости оси, проходящей через центр, устно из определения находится, нет?..
А если ось в плоскости кольца - то просто ответ вдвое меньше. Зачем усложнять - или я чего-то не понял?..

 Профиль  
                  
 
 Re: Момент инерции кольца
Сообщение15.12.2016, 15:41 
Заслуженный участник


28/12/12
7740
Metford в сообщении #1177205 писал(а):
а зачем Вы вводите координату вдоль кольца?

Это не я ввожу, а автор темы.

Metford в сообщении #1177205 писал(а):
Момент инерции тонкого кольца относительно перпендикулярной его плоскости оси, проходящей через центр, устно из определения находится, нет?

Вопрос был про момент инерции относительно оси, проходящей через край.

 Профиль  
                  
 
 Re: Момент инерции кольца
Сообщение15.12.2016, 15:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/13
1916
Москва
DimaM в сообщении #1177209 писал(а):
Это не я ввожу, а автор темы.

А, да, в самом деле. Что ж... Зря он так делает... И совсем уж зря обозначает её буквой $r$.

DimaM в сообщении #1177209 писал(а):
Вопрос был про момент инерции относительно оси, проходящей через край.

Да-да, это понятно. Это я к тому сказал, что если не выбирать координату вдоль кольца, то вычисление момента относительно оси через центр и применение теоремы Штейнера - процедура, не требующая даже чертежа. А тут какие-то сложности на ровном месте. Мой вопрос исчерпан, извините.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group