2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему
 
 Матричное представление оператора. Диаганализируемость.
Сообщение14.12.2016, 16:54 


30/08/16
18
Здравствуйте друзья! Хотел спросить. Только ли нормальные операторы в конечномерном линейном пространстве могут быть приведены к диагональному виду путем замены базиса согласно спектральной теореме, или найдутся те, которые так же можно привести к главным осям, однако эти оси не будут ортогональными. Т.е я понимаю спектральная теорема формулируется для таких операторов (нормальных), которые обладают полной системой из собственных векторов, а главное ортогональных друг другу! Но вопрос именно в том, что найдутся ли операторы, которые будут обладать полной системой из собственных векторов, но не ортогональных друг другу, однако в базисе из которых матрица оператора примет всеми любимый диагональный вид. Спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Матричное представление оператора. Диаганализируемость.
Сообщение14.12.2016, 17:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
5628
Очевидно, да. Возьмите какие-нибудь неортогональные векторы, и определите оператор, для которого они будут собственными (с разными собственными значениями).

 Профиль  
                  
 
 Re: Матричное представление оператора. Диаганализируемость.
Сообщение14.12.2016, 17:37 


30/08/16
18
Xaositect в сообщении #1176931 писал(а):
Очевидно, да. Возьмите какие-нибудь неортогональные векторы, и определите оператор, для которого они будут собственными (с разными собственными значениями).

извините, а почему для них нет какой то общей теоремы? или я так понимаю спектральная теорема важна именно ортогональностью собственных векторов, что позволяет разложить по ним оператор через сумму проекторов да?

-- 14.12.2016, 19:38 --

Xaositect в сообщении #1176931 писал(а):
Очевидно, да. Возьмите какие-нибудь неортогональные векторы, и определите оператор, для которого они будут собственными (с разными собственными значениями).

ну да, что то не подумал даже) видимо нет общей теоремы, так как это не такой важный случай

-- 14.12.2016, 19:40 --

и вот еще вопрос. в случае вещественного пространства в ортонормированном базисе ортогональная матрица служит представлением ортогонального оператора. однако я правильно понимаю, что диагональный вид такая матрица может принять лишь в случае когда это матрица отражения, но не поворота.

 Профиль  
                  
 
 Re: Матричное представление оператора. Диаганализируемость.
Сообщение14.12.2016, 17:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
5628
Archie_Sawicki в сообщении #1176937 писал(а):
извините, а почему для них нет какой то общей теоремы? или я так понимаю спектральная теорема важна именно ортогональностью собственных векторов, что позволяет разложить по ним оператор через сумму проекторов да?
Как же нет, есть же теория о жордановых формах.

 Профиль  
                  
 
 Re: Матричное представление оператора. Диаганализируемость.
Сообщение14.12.2016, 17:47 


30/08/16
18
Xaositect в сообщении #1176938 писал(а):
Archie_Sawicki в сообщении #1176937 писал(а):
извините, а почему для них нет какой то общей теоремы? или я так понимаю спектральная теорема важна именно ортогональностью собственных векторов, что позволяет разложить по ним оператор через сумму проекторов да?
Как же нет, есть же теория о жордановых формах.

ну это да. я имел ввиду вернее признак по которому матрица может быть приведена именно к диагональному виду, а не жордановой форме. к жордановой форме всякая матрица оператора приводима, а вот к диагональной нормальные операторы, и еще какие то, которые имеют базис только из собственных векторов(не корневых) но в отличии от нормальных они не ортогональны друг другу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Матричное представление оператора. Диаганализируемость.
Сообщение14.12.2016, 17:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
5628
Archie_Sawicki в сообщении #1176937 писал(а):
и вот еще вопрос. в случае вещественного пространства в ортонормированном базисе ортогональная матрица служит представлением ортогонального оператора. однако я правильно понимаю, что диагональный вид такая матрица может принять лишь в случае когда это матрица отражения, но не поворота.
Да, если собственные значения комплексные, то действительной диагональной формы не получится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Матричное представление оператора. Диаганализируемость.
Сообщение14.12.2016, 17:51 


30/08/16
18
хорошо, расскажу как я пришел вообще к таким мыслям. смотрите, матрица самосопряженного оператора в ортонормированном базисе является эрмитовой. однако в любом другом не ортонормированном, эта же матрица задает другой оператор. мы имеем одинаковое характеристическое уравнение и одинаковые собственные значения обязательно вещественные при этом. значит имеем систему из собственных векторов с одинаковыми координатами в разных базисах. в ортонормированном базисе эти координаты будут ортогональными векторами, в не ортонормированном какими то другими. но при этом они ведь будут именно собственными, в силу того что характеристическое уравнение и его корни одинаковы.

-- 14.12.2016, 19:53 --

я правильно рассуждаю? получается имеем систему из собственных векторов (не корневых) и одинаковых собственных значений у всякого оператора который меняется не сменой вида матрицы, а сменой базиса.

-- 14.12.2016, 19:54 --

при этом существование таких векторов следует хотя бы из того, что уравнение будет иметь корни причем вещественные в любом случае, так как в одном из базисов эта матрица выражает самосопряженный оператор.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group