2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Вероятность события - как посчитать?
Сообщение13.12.2016, 14:25 


24/03/09
505
Минск
Задача, какова вероятность того, что - на выборке из $48$ испытаний,
произойдет не менее $29$ элементарных событий с вероятностью $0.25$,
и оставшиеся события - ($19$ или менее) будут с вероятностью $0.75$
.

Мой вариант решения, но не уверен, правильный он или нет. Поправьте, если я неправ.

1) Посчитаем сначала количество сочетаний, на множестве $48$ элементарных исходов, в которых присутствуют строго $29$ элементарных исходов
определенного типа, неважно в каком порядке.
Т.е. известно что $29$ этих событий произошли, но порядок их мог быть любым, к примеру, $1$-е, $2$-е, $5$-е,... $47$-е.
Или какой нибудь другой порядок следования событий.
Пусть множество этих, перестановок (различных порядков следования событий) состоит строго из $A$ элементов, и
находим, $A =$ $C_{29}^{48}$ = $\frac{48!}{29! (48-29)!} = 11 541 847 896 480$ элементов.

2) А далее, для решения задачи, придём, к более сложным предположениям.
Обозначим наше элементарное событие в бинарном представлении, $00$, $01$, $10$, $11$,
исходы этих $4$-х событий - равновероятны.
Значит, если встречается хотя бы одна цифра $1$, то вероятность такого события $0.75$, а если оба нуля, т.е. $00$ - то вероятность
такого события $0.25$. С такой же вероятностью появляются и пары цифр в бинарном представлении.
Тогда, все наши $48$ испытаний, можно записать одним числом в бинарном представлении, к примеру, $001101100101101110...$
длиной в $48+48 = 96$ цифр. Всё множество любых возможных исходов, будет иметь мощность $2^{96}$.

Так как у нас гарантированно встретились $29$ элементарных событий, с вероятностью $0.25$, а остальные - могут быть
любыми событиями, то в получившемся ряду, гарантированно будет $29 \cdot 2 = 58$ нулей,
(к тому же, стоящих парами, но в моем примере, это не имеет значения).

Остальные цифры могут быть любыми. Т.к. достоверно известно, что в нашей выборке есть $58$ нулей, то остаётся $96-58 = 38$ цифр,
которые могут быть любыми (и $0$ и $1$), и мощность этого множества, которое представляет эти комбинации цифр,
равно $2^{38}$.

Умножив, вышеполученное число $A = 11 541 847 896 480$ (мощность множества, состоящего именно и точно из $29$-ти
интересующих нас маловероятных событий с вероятностью $0.25$ ), на число $2^{38}$,

получим число $B = 3172598992050431585157120$, которое представляет собой количество различных возможных последовательностей
из $48$ событий, в которых есть наши $29$ маловероятные (с вероятностью $0.25$), или есть более $29$-ти этих маловероятных событий.

Как уже выше упоминалось, множество всех событий, определяется бинарным рядом длиной в $96$ цифр ($0$ или $1$),
Значит, всё множество любых возможных исходов, будет иметь мощность $2^{96}$.

Разделим теперь наше число $B = 3172598992050431585157120$ на $2^{96}$, и получим решение задачи - вероятность, примерно равна,
$P = 0.00004 = 0.004  $ %.

Я нигде не ошибся?
Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение13.12.2016, 14:28 


20/03/14
12041
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение13.12.2016, 16:51 


20/03/14
12041
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

 Профиль  
                  
 
 Re: Вероятность события - как посчитать?
Сообщение13.12.2016, 16:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8334
Цюрих
Вы, например, несколько раз (а точнее, $A$) посчитали вариант "это элементарное событие произошло $48$ раз".

 Профиль  
                  
 
 Re: Вероятность события - как посчитать?
Сообщение13.12.2016, 17:03 


24/03/09
505
Минск
mihaild, я не понимаю, напишите пожалуйста подробнее, в чем у меня ошибка.
Есть 3 множества.

1) множество всех возможных исходов.
2) множество исходов, в котором маловероятные элементарные события, произошли строго $29$ раз.
3) множество исходов, в котором маловероятные элементарные события, произошли $29$ или более раз.

Разделив мощность 3-го множества, на мощность 1-го, я получил искомую вероятность.
Какое множество неверно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вероятность события - как посчитать?
Сообщение13.12.2016, 17:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Skipper в сообщении #1176568 писал(а):
(к тому же, стоящих парами, но в моем примере, это не имеет значения).

Почему не имеет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вероятность события - как посчитать?
Сообщение13.12.2016, 17:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8334
Цюрих
Третье.
Давайте более простой пример. Пусть у нас всего $2$ эксперимента, и мы хотим, чтобы произошло хотя бы одно событие; пусть для простоты вероятность успеха и неудачи по $\frac{1}{2}$.
Вашим методом получается: у нас есть $C_2^1 = 2$ варианта, когда оно произошло, для каждого из них по $2$ варианта, что было с другим. Итого $4$ подходящих элементарных исхода. Но на самом деле их всего $3$, исход (произошло, произошло) мы посчитали два раза: один раз как "произошло первое, а второе как угодно - произошло", и как "произошло второе, а первое как угодно - произошло".

 Профиль  
                  
 
 Re: Вероятность события - как посчитать?
Сообщение28.12.2016, 18:22 


24/03/09
505
Минск
Ясно, спасибо.
Значит у меня была ошибка.

Может быть, решение задачи, только именно для $29$ подобных событий - вероятность равна -

$C_{29}^{48}  \cdot 0.25^{29} \cdot 0.75^{(48 - 29)} $

а тогда для исходной задачи - нужно посчитать сумму подобных значений, в которых число будет пробегать от $29$ до $48$ включительно?

Неужели никакого более простого и изящного решения нет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вероятность события - как посчитать?
Сообщение28.12.2016, 18:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
4171
Skipper в сообщении #1180676 писал(а):

Неужели никакого более простого и изящного решения нет?

Есть: найти приближенно искомую вероятность с помощью ЦПТ (интегральной теоремы Муавра -- Лапласа).

 Профиль  
                  
 
 Re: Вероятность события - как посчитать?
Сообщение28.12.2016, 18:54 


24/03/09
505
Минск
Цитата:
найти приближенно искомую вероятность с помощью ЦПТ


Какова получится приближенная формула?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вероятность события - как посчитать?
Сообщение28.12.2016, 18:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Skipper в сообщении #1180690 писал(а):
Какова получится приближенная формула?

А в учебнике страницы слиплись? :shock:

 Профиль  
                  
 
 Re: Вероятность события - как посчитать?
Сообщение28.12.2016, 19:54 


24/03/09
505
Минск
Нашел, да, так действительно проще посчитать.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group