2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Двойной угол
Сообщение13.12.2016, 03:53 
Аватара пользователя


07/01/15
1145
Дан отрезок $AB=l.$ Найти геометрическое место точек $C$, таких, что в $\angle BAC =2\angle ABC.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Двойной угол
Сообщение13.12.2016, 14:44 


05/09/16
11453
Похоже, гипербола.

 Профиль  
                  
 
 Re: Двойной угол
Сообщение13.12.2016, 15:35 
Аватара пользователя


07/01/15
1145
Она самая.

 Профиль  
                  
 
 Re: Двойной угол
Сообщение13.12.2016, 17:20 


05/09/16
11453
У меня получилось (если $l=1$)
$x=\dfrac{2}{3-\tg^2\alpha}$
$y=\dfrac{2\tg\aplpha}{3-\tg^2\alpha}$
$\alpha$ - это меньший угол, меняется от 0 до 60 градусов.
Можно сделать замену переменных (тангенс на новую переменную, $t=\tg\alpha$ но с областью значений от 0 до $\sqrt{3}$), от этого вроде ничего поменяться не должно поскольку тангенс от 0 до 60 градусов монотонно возрастает, так что новая переменная $t$ пробежит те же значения что и тангенс.
Но похожесть на гиперболу
$\begin{cases}x=\dfrac{2}{3-t^2}\\y=\dfrac{2t}{3-t^2}\\0\leqslant t < \sqrt{3}\end{cases}$
в глаза не бросается.

Однако смекалка подсказывает, что что-то похожее на гиперболу будет всегда, если только углы не равны (т.е. всегда если второй угол растет прямо пропорционально первому с коэффициентом не равным единице).

 Профиль  
                  
 
 Re: Двойной угол
Сообщение13.12.2016, 21:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14424
Я немного перепутал, когда увидел задачу. Подумал, что $\angle ACB =2\angle BAC.$ Даже рисуночек прикинул. Там получается типа воздушного шарика на боку. Впрочем, по теореме синусов для треугольника $ABC$ получается простое уравнение в полярных координатах c центром в точке $A$:
$r=l\sin 3a/\sin2a; -\pi/3\leqslant a \leqslant \pi/3$

А для Вашего случая уравнение будет
$r=l\sin 2a/\sin3a; -\pi/3\leqslant a \leqslant \pi/3$
Одна ветвь гиперболы. Только $\angle ABC =2\angle BAC.$ для удобства.

Очень интересная задачка. Мне нравятся случаи: $\angle ABC =\angle BAC$ — срединный перпендикуляр и $\angle ABC =\angle ACB$ — окружность. Предельные для гиперболы и шарика :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Двойной угол
Сообщение14.12.2016, 12:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5903
Новосибирск
wrest в сообщении #1176630 писал(а):
в глаза не бросается

Кому как, а в мои бросилась - чуть глаз не выбила получается уравнение второго порядка и определитель квадратичной формы отрицателен.

 Профиль  
                  
 
 Re: Двойной угол
Сообщение14.12.2016, 15:25 
Аватара пользователя


07/01/15
1145

(Оффтоп)

gris в сообщении #1176710 писал(а):
Предельные для гиперболы и шарика

Вот и выявлена фундаментальная связь между коническими сечениями и шариком. Осталось ввести новый класс кривых $-$ шарабол и их пространственных аналогов $-$ шараболоидов. Ну и наконец, определить широчайший класс шараболических функций, которые по своей полезности превзойдут на несколько порядков своих эллиптических и фуксовых товарищей. И через несколько лет люди вовсю будут пользоваться творениями, которых Вы, уважаемый gris (следуя примеру Пуанкаре) назовете в честь какого-то левого друга $-$ шароморфными формами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Двойной угол
Сообщение14.12.2016, 18:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14424

(Оффтоп)

SomePupil, а в моей интерпретации геометрическое место точек это просто часть кубики. Вот если я надую щёки и воображу себя методистом, то Вашу задачу восхвалю ещё больше. Ибо стоит в ней слегка пошевелить условия, то она откроет путь к глубочайшим исследованиям. Ну, конечно, для школьников, так как всё уже давно исследовано и сослано в чулан. Я завидую нынешним школьникам, у которых есть матпакеты. Они (шкs) могут любоваться цветными визуализациями и даже анимациями, если только примутся теребить Вашу задачу. Заодно получат интересное и полезное времяпровождение.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group