Как найти частную производную сложной функции?

[moboqe]

Есть сложная функция нескольких переменных $u=f(x^2y,y^2z,xz^2)$
Частные производные первого порядка находятся просто:
$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial f_1}\cdot2xy+\frac{\partial u}{\partial f_3}\cdot z^2$
$\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\partial u}{\partial f_1}\cdot x^2+\frac{\partial u}{\partial f_2}\cdot 2yz$
$\frac{\partial u}{\partial z}=\frac{\partial u}{\partial f_2}\cdot y^2+\frac{\partial u}{\partial f_3}\cdot 2xz$
Вопрос в том как найти частные производные более высших порядков?

[Someone]

Точно так же. Например:

$$\frac{\partial^2u}{\partial x^2}=\left(\frac{\partial^2u}{\partial f_1^2}\cdot 2xy+\frac{\partial^2u}{\partial f_1\partial f_3}\cdot z^2\right)\cdot 2xy+\frac{\partial u}{\partial f_1}\cdot 2y+\left(\frac{\partial^2u}{\partial f_3\partial f_1}\cdot 2xy+\frac{\partial^2u}{\partial f_3^2}\cdot z^2\right)\cdot z^2.$$

[moboqe]

А есть ли какая-то общая формула? Я не могу понять откуда взялось 2-ое слагаемое.

[Someone]

Какое "2-ое"? Если в первой скобке, то из той формулы, по которой Вы вычисляли первую производную. Если сразу после первой скобки, то из формулы производной произведения.

А общая формула одна. Называется "частная производная сложной функции".

[moboqe]

Если я правильно понимаю, то:

$$\frac{\partial ^2 u}{\partial y^2}=(\frac{\partial ^2 u}{\partial f_1^2}\cdot x^2+\frac{\partial ^2 u}{\partial f_2\partial f_1}\cdot 2yz)\cdot x^2+\frac{\partial u}{\partial f_2}\cdot 2z+(\frac{\partial ^2 u}{\partial f_1\partial f_2}\cdot x^2+\frac{\partial ^2 u}{\partial f_2^2}\cdot 2yz)\cdot 2yz$$

$$\frac{\partial ^2 u}{\partial z^2}=(\frac{\partial ^2 u}{\partial f_2^2}\cdot y^2+\frac{\partial ^2 u}{\partial f_3\partial f_2}\cdot 2xz)\cdot y^2+\frac{\partial u}{\partial f_3}\cdot 2x+(\frac{\partial ^2 u}{\partial f_2\partial f_3}\cdot y^2+\frac{\partial ^2 u}{\partial f_3^2}\cdot 2xz)\cdot 2xz$$

$$\frac{\partial ^2 u}{\partial x\partial z}=(\frac{\partial ^2 u}{\partial f_2\partial f_1}\cdot y^2+\frac{\partial ^2 u}{\partial f_3\partial f_1}\cdot 2xz)\cdot 2xy+\frac{\partial u}{\partial f_3}\cdot 2z+(\frac{\partial ^2 u}{\partial f_2\partial f_3}\cdot y^2+\frac{\partial ^2 u}{\partial f_3^2}\cdot 2xz)\cdot z^2$$

[Someone]

moboqe
Да, правильно.

P.S. Один из способов получить большие скобки — набрать \left( и \right). Больше информации можно найти в теме "Краткий FAQ по тегу [math]".