есть ли аналитическое решение интеграла

[salang]

$\int_{0}^{2\pi} Exp (\pm a (\sin(x))^{4}\pm b (\sin(x))^{2}) dx$ или $\int_{0}^{2\pi} Exp (\pm a (\cos(x))^{4}\pm b (\cos(x))^{2}) dx$ . В альфе не получилось

[Brukvalub]

Для прикидки ответа на свой вопрос предложите вычислить этот интеграл какому-нибудь мат.пакету.

[salang]

В Mathcad, разумеется, не получилось, а другого у меня нет. Возможно, что на сайте нет результата, а при локальной установке Mathematica он появится?

[Brukvalub]

Конечно, оракулом принять считать именно пакет Mathematica.

[salang]

у Вас есть решение в каком-либо варианте?

[whitefox]

Применима ли к Вашему интегралу Теорема 5 из пункта 434 Г.М. Фихтенгольц Курс дифференциального и интегрального исчисления?

[Vince Diesel]

Математика дает ответ, если один из параметров равен нулю. В общем же случае не считает, даже для конкретных значений вроде $a=b=1$.

[salang]

to whitefox применима, конечно, но уже второй член ряда Тейлора будет с такими же степенями тригонометрических функций, а про третий даже и говорить не приходится
to Vince Diesel если имеются в виду коэффициенты a и b, то они оба нужны, т.к. это константы только в этом интегрировании, а вообще там функции, которые будут интегрироваться далее. Вообще странно, функция вроде несложная и не имеет особых точек

[Brukvalub]

salang в сообщении #1175914 писал(а):

уже второй член ряда Тейлора будет с такими же степенями тригонометрических функций, а про третий даже и говорить не приходится

Тем не менее, все интегралы по периоду от натуральных степеней синуса тривиально считаются, есть даже общая формула. Так что предложение whitefox записать результат суммой сходящегося ряда проходит и, формально, дает положительный ответ на ваш вопрос о вычислении интеграла "аналитически".

[salang]

Vince Diesel в сообщении #1175907 писал(а):

Математика дает ответ, если один из параметров равен нулю

Вы могли бы попробовать получить решение $\int_{0}^{2\pi} Exp [\pm b/ \sqrt{\sin^{2}(x)} ] dx$ ?

[Vince Diesel]

Не считает даже для $b=1$ (и знака минус). А для знака плюс интеграл расходится.

[salang]

благодарю. У меня еще и вместо b функция. А если нижний предел взять $10^{-6}$ или какое-то другое околонулевое значение или пределы от $-\pi$ до $\pi$, результат получится?

[mihiv]

salang в сообщении #1175854 писал(а):

$\int_{0}^{2\pi} Exp (\pm a (\sin(x))^{4}\pm b (\sin(x))^{2}) dx$

Вычисляется явно в частном случае $a=-b$.

[salang]

to mihiv для круга все понятно, мне для эллипса нужен результат

[DeBill]

salang
Формулы понижения сводят случай степеней 4 и 2 к 2 и 1. Но радости все равно мало.
Стандартной заменой $z=e^{ix}$ интеграл сводится к интегралу по окружности.
Единственная особая точка - это $z=0$ ; вот только она - существенно особая. Чтобы найти вычет в нуле, надо найти свободный член в ряде Лорана для ф-ции типа $e^{A\cdot (z+\frac{1}{z}) +B\cdot (z^2 + \frac{1}{z^2})}$. В принципе, это можно сделать - но ответ будет ужасен - в виде ряда из сумм произведений биноминальных к-тов ....