2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Об ещё одной конструкции структурного пучка аффинной схемы
Сообщение10.12.2016, 12:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
У меня вопрос по следующему ответу на МО:
Цитата:
For any open subset $U\subseteq\mathrm{Spec}(A)$ let $S_U=A\setminus\bigcup_{\mathfrak p\in U}\mathfrak p$ and $\mathscr O'(U)=A[S_U^{-1}]$. It is obviously a presheaf.

Claim: For open subsets of the form $U=\mathrm{Spec}(A_f)$ with $f\in A$ we have $\mathscr O'(U)=A_f$. (This shows that the associated sheaf of $\mathscr O'$ is indeed $\mathscr O_{\mathrm{Spec}(A)}$.)

Proof: Assume there is an $s\in S_U$ which does not divide $f^n$ for any $n$. The ideal $(s)$ does not meet the multiplicative set $S_f=\{1,f,f^2,\dots\}$, so it is contained in an ideal $\mathfrak q$ which is maximal with respect to this property, but it is well-known that such an ideal $\mathfrak q$ is prime. By construction, $s\in\mathfrak q\in U$, contradicting $s\in S_U$.

Applying the usual associated sheaf construction to $\mathscr O'$ seems to be what Hartshorne does when he defines $\mathscr O_{\mathrm{Spec}(A)}$.

Я как понял, основная идея, это показать, что $S_U = S_f$. Но разве из того, что в $S_U$ нету ни одного элемента $s$ такого, что $s$ не делит $f^n$ для любого $n$, следует, что $S_U = S_f$? Грубого говоря, если взять $S_U = \{2^n 3^m, n,m \geqslant 0\}$, а $S_f = \{6^k, k \geqslant 0\}$, разве не будет это контрпримером?

 Профиль  
                  
 
 Re: Об ещё одной конструкции структурного пучка афинной схемы
Сообщение10.12.2016, 13:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Да, это работает только для неприводимого $f$.
Но, насколько я понимаю, там именно это и нужно. Для главных (principal) открытых множеств все хорошо, а для неглавных нам нужна как раз именно эта локализация по большому мультипликативному множеству всех не обращающихся в 0 функций.

 Профиль  
                  
 
 Re: Об ещё одной конструкции структурного пучка афинной схемы
Сообщение10.12.2016, 13:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
Xaositect в сообщении #1175652 писал(а):
Для главных (principal) открытых множеств все хорошо,

Мне, грубо, и непонятно, почему для главных всё хорошо. Там разве и не доказывается, то, что $S_{D(f)} = S_f$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Об ещё одной конструкции структурного пучка афинной схемы
Сообщение10.12.2016, 14:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Ой, я перепутал. Имел в виду главные открытые множества с неприводимым $f$ или степенью неприводимого.

 Профиль  
                  
 
 Re: Об ещё одной конструкции структурного пучка афинной схемы
Сообщение10.12.2016, 14:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
Так а для колец, которые не integral domain неприводимость имеет смысл разве?

 Профиль  
                  
 
 Re: Об ещё одной конструкции структурного пучка афинной схемы
Сообщение10.12.2016, 14:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Да, Вы правы, как-то слишком много предположений получается.

Не достаточно ли того, что доказано ($S_U = S_{D(f)}$) для того, что требуется? У нас же над главным открытых множеством нужно как раз кольцо $A_{D(f)}$, локализация по тем элементам, которые на нем в 0 не обращаются.

 Профиль  
                  
 
 Re: Об ещё одной конструкции структурного пучка афинной схемы
Сообщение10.12.2016, 15:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
Xaositect в сообщении #1175686 писал(а):
Не достаточно ли того, что доказано ($S_U = S_{D(f)}$) для того, что требуется?

Да достаточно, конечно, ведь $D(f)$ образуют базу у $\operatorname{Spec} A$, мне непонятно, почему это доказано. Точнее непонятно, почему $S_{D(f)}=S_f$, ($S_U = S_{D(f)}$ - это определение $U$ вроде)

 Профиль  
                  
 
 Re: Об ещё одной конструкции структурного пучка афинной схемы
Сообщение10.12.2016, 15:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
А они не равны, Вы же привели пример в первом сообщении. Но может быть нам на самом деле нужны $S_{D(f)}$, а не $S_f$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Об ещё одной конструкции структурного пучка афинной схемы
Сообщение10.12.2016, 16:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
Но мой пример не подходит, $\{2^n 3^m, n,m \geqslant 0\}$ не является множеством типа $S_{D(f)}$ ни для какого $f$.

-- 10.12.2016, 15:29 --

Я разобрался если мультипликативные множества $A,B \subset R$ такие, что для любого $a \in A$ существует $b \in B$ такой, что $a$ делит $b$, то $A$ и $B$ хоть могут быть и не равны, но локализации по ним всегда равны $R[A^{-1}]=R[B^{-1}]$, а ровно это и нужно. Спасибо в любом случае ^^

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group