Непрерывный звуковой сигнал и его свойства

[iagsav]

Прошу уважаемое сообщество сказать, можно ли для множества значений непрерывного одномерного сигнала ввести свойства упорядоченности и структурированности.

Непрерывным одномерным сигналом называется непрерывная действительная функция $s_a(t)$ действительного аргумента $t$, определённая на конечном интервале времени $\overline{T}$, суммируемая: $\int\limits_{t \in \overline{T}} s_a(t)dt < \infty$ и квадратично интегрируемая $\int\limits_{t \in \overline{T}} (s_a(t))^2dt < \infty$.

Тогда для множества значений $\{s_a(t)\}$ непрерывного одномерного сигнала $s_a(t)$ можно указать два свойства:
1. свойство упорядоченности - множество $\{s_a(t)\}$ - это частично упорядоченное множество с бинарным отношением $\rho$ типа $\leq$;
2. свойство структурированности - для каждой пары $(a, b) ∈ \{s_a(t)\}$ имеется $\sup(a, b)$ и $\inf(a, b)$.

[arseniiv]

Во-первых, на множестве значений наследуется порядок из $\mathbb R$. Да, он по совместимости и частичный, но вообще он куда лучше и линейный.

Во-вторых, непонятно «тогда». Вы ведь явно имеете в виду какой-то особенный другой порядок, и он нигде выше не фигурирует. Непонятно, что он вообще должен означать. Также непонятно, чем недостаёт порядка на $\overline T\subset\mathbb R$.

-- Чт дек 08, 2016 19:52:37 --

В общем, снова смахивает на проблему XY. Зачем понадобился частичный порядок на множестве значений?

-- Чт дек 08, 2016 19:54:07 --

(И, наконец, учитывая предыдущую тему, почему всё-таки нельзя сослаться на нормальную книгу по обработке сигналов и не изобретать велосипед? Там точных математических определений достаточно.)

[iagsav]

arseniiv в сообщении #1175213 писал(а):

Во-первых, на множестве значений наследуется порядок из $\mathbb R$. Да, он по совместимости и частичный, но вообще он куда лучше и линейный.

Во-вторых, непонятно «тогда». Вы ведь явно имеете в виду какой-то особенный другой порядок, и он нигде выше не фигурирует. Непонятно, что он вообще должен означать. Также непонятно, чем недостаёт порядка на $\overline T\subset\mathbb R$.

-- Чт дек 08, 2016 19:52:37 --

В общем, снова смахивает на проблему XY. Зачем понадобился частичный порядок на множестве значений?

-- Чт дек 08, 2016 19:54:07 --

(И, наконец, учитывая предыдущую тему, почему всё-таки нельзя сослаться на нормальную книгу по обработке сигналов и не изобретать велосипед? Там точных математических определений достаточно.)

Велосипед приходится изобретать по нескольким причинам.
1. Нужно построить мою работу на основе теории, описанной в данной статье http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=ufn&paperid=102&option_lang=rus.
Но та теория написана для изображений, мне же надо адаптировать под звуковые сигналы, одномерные т.е.

2. Мне также нужно обосновать, что звуковой сигнал - это система, включающая структурные элементы и связи между ними.
Отсюда необходимость описания свойств упорядоченности и структурированности.

3. Я не имею ввиду никакого особенного порядка.

4. В известных книжках по обработке сигналов того, чего хочу я, не пишут.
В них (книгах), благодаря этому форуму, я нашёл информацию о последовательностях и тп. Но про структурированность и системность не пишут, увы.
офф. Почитал про проблему XY. Проникся =)

Прошу ответить на вопрос:
Получается, что я могу однозначно сказать, что на множестве значений сигнала наследуется порядок из $R$ и то, что выполняется условие структурированности?

[arseniiv]

iagsav в сообщении #1175589 писал(а):

Мне также нужно обосновать, что звуковой сигнал - это система, включающая структурные элементы и связи между ними.

Это как бы слова ни о чём, к сожалению.

iagsav в сообщении #1175589 писал(а):

Прошу ответить на вопрос:
Получается, что я могу однозначно сказать, что на множестве значений сигнала наследуется порядок из $R$ и то, что выполняется условие структурированности?

И 1, и 2 выполняются, но это скорее всего совершенно не то, что вам хотелось бы.

Статью сейчас гляну, чтобы понять ваш контекст.

-- Сб дек 10, 2016 15:12:28 --

Ну вот у меня первое возражение к происходящему: там изображение — функция области $\overline G$ в каждый отдельный момент времени, и это можно более-менее состыковать с обычными способами съёмки и тем как человек видит. А вот сразу воспринимать звук за всё время — это явно не о людях. Да, некоторый предыдущий кусок звука находится в памяти, но явно недостаточно длинный. Если к людям и другим системам, делающим что-то со звуком в реальном времени, применений не предлагается, то OK.

-- Сб дек 10, 2016 15:13:46 --

(А вообще настрой статьи и то, что «алгебра изображения» вводится только в работах с тем же автором, настораживает. Пока не дочитал.)

-- Сб дек 10, 2016 15:16:06 --

Игра со словами пространственноподобное и времениподобное там, где они неуместны, пусть и взятыми в кавычки, ставит ещё плюсик.

-- Сб дек 10, 2016 15:19:17 --

В общем, лучше дайте ссылку на статью, где автор всё-таки описывает, что он понимает под своими упорядоченностью, структурированностью и т. п. явно. В этой нужных определений нет.

[iagsav]

Вот выдержка из книги, где описываются данные понятия:
https://www.dropbox.com/s/kzd2pb6o68cwdp4/%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D1%8C.pdf?dl=0

[arseniiv]

(Оффтоп)

Фееричненько, надо сказать: «$T = \{t : t\in T\}$». Господи, я вам не завидую с таким окружением.

-- Сб дек 10, 2016 21:57:59 --

отрывок писал(а):

Условие наблюдаемости ограничивает класс функций $\{f\}$ подклассом действительных
функций действительных аргументов

Это вообще не обязательно. С измеримостью неочевидно, почему под ней понимается указанное. (Ссылка на источники 156, 239, но в отрывок не входит, кто они.) Открытось тоже непонятно зачем нужна.

Упорядоченность и структурированность — вот и наша цель, OK. Опять неясное

Цитата:

Окружающий мир априори упорядочен и структурирован [50, 221]. Условие упорядоченности определяет любое множество $\{f(x, y, z): (x, y, z) \in \overline V^3 \}$ как частично упорядоченное с бинарным отношением $\rho$ типа $\le$ со свойствами рефлексивности, транзитивности и антисимметричности [170, 217]. Условие структурированности с учетом упорядоченности указывает на наличие для любых пар элементов $(a, b)$, принадлежащих $\{f(x, y, z)\}$, необходимо единственной точной верхней границы $\sup(a, b)$ и необходимо единственной точной нижней границы $\inf(a, b)$ [237].

Что ж, давайте или сдадимся, или поедем по библиографии, а именно для начала узнаем, что за источники 50, 221, 170, 217, 237.

[iagsav]

По поводу оффтопика: не правильно там то, что множество значений $T$ описывается через $T$?

По поводу наблюдаемости. Если Вы говорите, что указанное условие не обязательно,
то получается, что функция воздействия может не принадлежать подклассу действительных
функций действительного аргумента. Тогда, получается, она может быть функцией комплексного
переменного или комплексозначной функцией. Или я ошибаюсь?

По поводу измеримости мне возразить нечего. Единственное, что могу отметить, то что
чтобы каким-то образом получить информацию о физическом воздейсвтии нужно его каким-то образом
измерить, т.е. ввести на нём меру, сравнить с некоторым эталоном, численно охарактеризовать.
Поэтому функция воздействия, должна быть измеримой.
Множества, к которым применимо понятие меры, называются измеримыми,
а функция, для которой любое разбиение области значений порождает разбиение
ее области определения на измеримые множества, называется измеримой функцией
Одна из основных теорем в теории Лебега утверждает,
что каждая ограниченная измеримая функция интегрируема на конечном интервале.

По поводу "Алгебры изображения". Это понятие и правда вводится автором статьи и, если оно до этого Вам не встречалось,
это совсем не значит, что оно не верно и не имеет право на существование (надеюсь, это предложение не прозвучало грубо,
если же так - приношу извинения). С позиций теории, описанной в статье в УФН, я решил много практических задач,
причём довольно неплохие решения получились.

Ссылки
50. Гренандер У. Лекции по теории образов: Регулярные структуры. -М.: Мир, 1983.
221. Фу К. Структурные методы в распознавании образов. -М.: Мир, 1977.

Про упорядоченность и структурированность написано у Гренандера на стр. 11 так:
"Поиск регулярности — это доминирующая тема в попытках чечеловека понять окружающий его мир. Любая попытка такого рода
базируется на неявном или явном допущении о том, что явления природы и события искусственного мира, созданного человеком,
подчиняются определенным законам, определяющим упорядоченность и структуру."

170. Розен В.В. Цель - оптимальность - решение (математические модели принятия оптимальных решений). -М.: Радио и связь, 1974.
217. Фишберн П. Теория полезности для принятия решений. -М.: Наука, 1978.
237. Шеффер Х. Топологические векторные пространства. -М.: Мир, 1971.

Получается, что для упорядоченности и структурированности вводятся их математические понятия,
что понимается под упорядоченным множеством значений, множеством значений функции $f(x,y,z)$,
а также как трактуется структурированность.

[arseniiv]

iagsav в сообщении #1176127 писал(а):

По поводу оффтопика: не правильно там то, что множество значений $T$ описывается через $T$?

Я бы сказал, неправильно, что оно не описывается через не $T$. Можно вместо него подставить любое множество, и $T = \{t : t\in T\}$ будет всё так же иметь место. Но это не единственная из проблем языка этого источника, и я бы не хотел отвлекать текущее обсуждение на остальные, т. к. вопрос пока в нахождении смысла отношения, которое требуется по тем двум постулируемым свойствам.

(Потому остальные комментарии спрячу здесь)

iagsav в сообщении #1176127 писал(а):

По поводу наблюдаемости. Если Вы говорите, что указанное условие не обязательно,
то получается, что функция воздействия может не принадлежать подклассу действительных
функций действительного аргумента. Тогда, получается, она может быть функцией комплексного
переменного или комплексозначной функцией. Или я ошибаюсь?

Вообще практически какой угодно в зависимости от того, что мы будем считать наблюдаемостью. Прибор мы можем заставть показывать много что, например.

iagsav в сообщении #1176127 писал(а):

Единственное, что могу отметить, то что
чтобы каким-то образом получить информацию о физическом воздейсвтии нужно его каким-то образом
измерить, т.е. ввести на нём меру, сравнить с некоторым эталоном, численно охарактеризовать.

Эта мера имеет мало общего с мерой в смысле теории меры, являющейся обобщением длин на прямой, площадей на плоскости и т. д..

iagsav в сообщении #1176127 писал(а):

Это понятие и правда вводится автором статьи и, если оно до этого Вам не встречалось,
это совсем не значит, что оно не верно и не имеет право на существование (надеюсь, это предложение не прозвучало грубо, если же так - приношу извинения).

Нет, не грубо, и в общем случае вы правы, но я пока и не говорил, что всё плохо, т. к. не вижу всей предполагаемой мотивации для этого понятия и вряд ли буду настолько глубоко интересоваться ей, чтобы иметь возможность сделать точное заключение. У меня пока есть только ощущение. В любом случае, применимость аппарата и аккуратность его обоснований — это вещи отдельные, и мне интересна больше вторая, т. к. я считаю, что все практически полезные теории можно сформулировать ясно и лаконично.

В любом случае, защищать тезисы авторов источников вам не обязательно, т. к., повторюсь, не это предмет разговора.

iagsav в сообщении #1176127 писал(а):

Про упорядоченность и структурированность написано у Гренандера на стр. 11 так:
"Поиск регулярности — это доминирующая тема в попытках чечеловека понять окружающий его мир. Любая попытка такого рода
базируется на неявном или явном допущении о том, что явления природы и события искусственного мира, созданного человеком,
подчиняются определенным законам, определяющим упорядоченность и структуру."

Ну, это понятно, но более-менее ни о чём, и тем более не доходит до какого-то математически формулируемого критерия.

Через какое-то время попробую поискать и посмотреть ссылки.

[Munin]

iagsav
Извините за некоторый офтопик, у вас научрук есть?

А то такое впечатление, что вы в этом качестве используете arseniiv (а он увлёкся).

[arseniiv]

(Я не увлёкся, я просто не могу взять и всё бросить. Вообще вопрос далеко не из интереснейших, разумеется.)

(UPD: Накаркал я. Похоже, теперь не соберусь это прочитать никогда.)