Одномерный бигармонический дифур со сложными г.у.

[Pumpov]

Здравствуйте.

Есть задача -- решить дифференциальное уравнение:
$x\in[0,a]$
$D \frac{d^4w(x)}{dx^4} = q(x)$ , граничные условия при $x=0$ , $x=a$ :
$\frac{d^3w(x)}{dx^3}=0$ , $\frac{d^2w(x)}{dx^2}=0$ .

Данное уравнение соответствует случаю, когда тонкая балка со свободными краями подвергается поперечному воздействию заданных сил $q(x)$. В литературе по теории упругости нигде не удалось найти такой случай граничных условий, именно задачу в таком виде.
Есть вариант решить это уравнение с помощью конечного преобразования Фурье. http://www.math.usm.edu/lambers/mat417/lecture18.pdf

С такими г.у. подходит косинус-преобразование. При переходе к образам, возникают два неизвестных параметра: $\frac{dw(x)}{dx}$ при $x=0$ и $x=a$ . Используя граничные условия для второй производной получается два уравнения - два ряда, равных нулю, включающих эти параметры. Но, так устроена математика, что удаётся найти только разность этих параметров, а не каждый в отдельности.
Видимо, в косинус-преобразовании для данной задачи получается неполная система функций. Я вот не уверен, но кто точно знает, можно как в стандартном Фурье применять сразу синус- и косинус-преобразования? Правда, это, наверное, супер-громоздко выйдет...

Проконсультируйте, пожалуйста, знатоки теории упругости и дифуров! Особенно мехмат тут должен быть в курсе. 0

[DeBill]

Pumpov в сообщении #1174962 писал(а):

с помощью конечного преобразования Фурье.

которое, судя по тексту, по-русски называется рядами Фурье, и входит во все стандартные курсы математики...
А нет ли у Вас опечатки? Может, надо $q(w)$, а не $q(x)$? Или $w\cdot q(x)$ ?
Потому что, (если - нет), то проблем никаких нет: Интегрируем 4 раза, и константы интегрирования (их как раз 4 штуки) ищем из граничных условий (линейная система, получающаяся при этом, вроде бы, вполне хорошо разрешима). А вааще, ОДУ с такого сорта условиями (когда в нескольких точках задают значения нескольких производных, общим количеством равное порядку дифура, вроде бы, достаточно подробно исследованы. И даже исследованы - для линейных уравнений (это - для варианта "Или") - соответствующие задачи Штурма-Лиувилля; применительно к разрешимости дифуров, ответ будет тогда выглядеть типа так: если нуль - не точка спектра, то при любых значениях граничных условий решение существует и единственно. К сожалению, ссылок дать не могу; задача, вроде бы, называется "с РАЗДЕЛЕННЫМИ граничными условиями" )

[Red_Herring]

Безусловно правая часть $q(x)$ и задача легко интегрируется. При таких граничных условиях однако
1) Решение определено с точностью до произвольной линейной функции
2) И оно существует только при $q(x)$ т.ч. $\int_0^a q(x)\,dx=\int_0^a xq(x)\dx=0$ (суммарная сила и её момент равны 0)

И, $\cos$ ряды Фурье здесь плохо применимы.

[Pumpov]

Red_Herring в сообщении #1174982 писал(а):

Безусловно правая часть $q(x)$ и задача легко интегрируется. При таких граничных условиях однако
1) Решение определено с точностью до произвольной линейной функции
2) И оно существует только при $q(x)$ т.ч. $\int_0^a q(x)\,dx=\int_0^a xq(x)\dx=0$ (суммарная сила и её момент равны 0)

И, $\cos$ ряды Фурье здесь плохо применимы.

Мне очень понравился Ваш ответ. Но хочу сказать следующее:

1) Насчёт равенства нулю сил и моментов -- это да.
2) То, что задача легко интегрируется -- а если правая часть состоит из дельта-функций? Точечно действуют силы.
Как 4 раза неопределённый интеграл тогда брать? Или, я где-то видел, есть разложение дельта-функции в ряд по тригонометрическим функциям. Да, вот нашёл. Брать от ряда почленно?...
3) Ряды Фурье в таких задачах применимы, например для функции и её вторых производных -- в крайних точках, равных нулю (свободное оперение) берёшь ряд по синусам - и легко получаешь решение через обратное преобразование.
А для этих, сложных г.у., брал косинусы. Однако они тоже содержат подвох - первые производные тогда равны нулю, получаются. Поэтому и задумываешься: если брать преобразование, то синусы вместе с косинусами, стандартное.

[Red_Herring]

Pumpov в сообщении #1174994 писал(а):

1) Насчёт равенства нулю сил и моментов -- это да.
2) То, что задача легко интегрируется -- а если правая часть состоит из дельта-функций? Точечно действуют силы.
Как 4 раза неопределённый интеграл тогда брать?

Цитата:

Подумаешь бином Ньютона!

А чему равна первообразная от $\delta(x)$? Или по другому--чья производная равна $\delta(x)$? И т.д.

Цитата:

Или, я где-то видел, есть разложение дельта-функции в ряд по тригонометрическим функциям. Да, вот нашёл. Брать от ряда почленно?..

https://www.youtube.com/watch?v=R9CJ9BVtBJg писал(а):

Нормальные герои всегда идут в обход!

Цитата:

3) Ряды Фурье в таких задачах применимы, например для функции и её вторых производных -- в крайних точках, равных нулю (свободное оперение) берёшь ряд по синусам - и легко получаешь решение через обратное преобразование.
А для этих, сложных г.у., брал косинусы. Однако они тоже содержат подвох - первые производные тогда равны нулю, получаются. Поэтому и задумываешься: если брать преобразование, то синусы вместе с косинусами, стандартное.

г.у. $u(0)=u''(0)=0$ или $u'(0)=u'''(0)=0$ и аналогично на правом конце, то да. А если как у Вас, то так плохо. И синусы с косинусами тоже плохо. Можно конечно искать собственные частоты и функции, но простое интегрирование здесь самое лучшее

[Pumpov]

Pumpov в сообщении #1174962 писал(а):

А чему равна первообразная от $\delta(x)$? Или по другому--чья производная равна $\delta(x)$? И т.д.

Я понимаю так: написать дельта-функцию в виде ряда или интеграла Фурье, и проинтегрировать по параметру. Собственно говоря, то, что для приложенной к балке точечной силы в произволной точке отрезка, в разложении будут синусы и косинусы, говорит о том, что одной тригонометрической функцией здесь не обойтись.

[Red_Herring]

Pumpov в сообщении #1175095 писал(а):

Я понимаю так: написать дельта-функцию в виде ряда или интеграла Фурье, и проинтегрировать по параметру

Я Вам уже намекал, что у Вас "проктологический" подход. Не надо всего этого, все просто, как мычание. Чему равна первообразная от дельты? Ну найдите это хотя бы гуглом

[Pumpov]

Red_Herring в сообщении #1175116 писал(а):

Pumpov в сообщении #1175095 писал(а):

Я понимаю так: написать дельта-функцию в виде ряда или интеграла Фурье, и проинтегрировать по параметру

Я Вам уже намекал, что у Вас "проктологический" подход. Не надо всего этого, все просто, как мычание. Чему равна первообразная от дельты? Ну найдите это хотя бы гуглом

Пардон, функция Хевисайда. Правильно ли я понимаю, что нужно кусочно интегрировать 4 раза по отрезку: тогда получится суперпозиция полиномов 3-й степени на каждом участке между точками приложения. + учесть г.у. на стыках и условия равновесия.

?

Однако нет, решение не может быть из полиномов 3-й степени, 4-й степени и т.д. При проверке уравнения получится ноль, константа,... точно не дельта-функция в узлах.

Без собственных функций или тригонометрических рядов не вижу выхода.

[Red_Herring]

Pumpov в сообщении #1175122 писал(а):

Правильно ли я понимаю, что нужно кусочно интегрировать 4 раза по отрезку: тогда получится суперпозиция полиномов 3-й степени на каждом участке между точками приложения. + учесть г.у. на стыках и условия равновесия.

Безусловно

Pumpov в сообщении #1175122 писал(а):

Однако нет, решение не может быть из полиномов 3-й степени, 4-й степени и т.д. При проверке уравнения получится ноль, константа,... точно не дельта-функция в узлах.

При 3х кратном дифференцировании получится константа между узлами--но это будут разные константы, т.е. будет функция скачков, и последняя производная даст Дирака

[Pumpov]

Red_Herring в сообщении #1175156 писал(а):

При 3х кратном дифференцировании получится константа между узлами--но это будут разные константы, т.е. будет функция скачков, и последняя производная даст Дирака

Через некоторое время после своего последнего ответа я так и подумал-передумал.

Ну, вообще, удивительно, что так легко. Надеюсь проверить.

[Pumpov]

Red_Herring в сообщении #1175156 писал(а):

При 3х кратном дифференцировании получится константа между узлами--но это будут разные константы, т.е. будет функция скачков, и последняя производная даст Дирака

Позвольте уточнить.
На каждом интервале между точками приложения, кусочно, задаём разные полиномы 3-й степени и в каждом узле приравниваем
значения соседних: самих функций смещения, их первых производных, их вторых производных; а третьи производные различаются на значение силы в узле, делённой на $D$.

Если есть участки балки за крайней точкой приложения силы -- до свободного края, то там вообще форма полинома 1-й степени -- при данных граничных условиях.

Правильно?

[Red_Herring]

Pumpov в сообщении #1175393 писал(а):

Правильно?

Да

[Pumpov]

Red_Herring в сообщении #1175432 писал(а):

Pumpov в сообщении #1175393 писал(а):

Правильно?

Да

Спасибо. Я на простом примере проверил.
Хотел переложить данный метод на 2-мерный случай, с пластиной, точечно нагруженной. Но не получилось совершенно. Бигармонический оператор содержит перекрёстный член. На плоскости уже к бесконечным рядам ведь придётся прибегать, Вы согласны?

[Red_Herring]

С какой пластиной? Круглой? Тогда все хорошо.
Прямоугольной? Тогда действительно, смешанный член мешает разделению переменных

[Pumpov]

Red_Herring в сообщении #1175481 писал(а):

С какой пластиной? Круглой? Тогда все хорошо.
Прямоугольной? Тогда действительно, смешанный член мешает разделению переменных

С круглой разделение переменных $w = R(r)F(\theta)$ и разделятся переменные, даже если точечные нагрузки не симметричны относительно поворота, прошу прощения?
И г.у. лишь на границе круга $\frac{\partial^3 w(r,\theta)}{\partial r^3}=0$ , $\frac{\partial^2 w(r,\theta)}{\partial r^2}=0$ ?