2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Интересные ряды
Сообщение07.12.2016, 02:45 
Аватара пользователя


14/08/12
309
Ряды вида $$F(a,b)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{\sqrt{k^2+ak+b}}$$ обнаруживают интересные свойства.
Пока что сделаю обзор для $a>0$ и $b>0$.
Интересные свойства:
$$F(1,1)+F(3,3)=1$$
$$F(2,1)+F(4,4)=1$$
И далее, для $n\in\mathbb{N}$,
$$F(n+1,1)+F(n+3,n+3)=1$$
Другая закономерность:
$$F(1,2)+F(3,4)=\frac{1}{\sqrt{2}}$$
$$F(1,3)+F(3,5)=\frac{1}{\sqrt{3}}$$
И далее,
$$F(1,n)+F(3,n+2)=\frac{1}{\sqrt{n}}$$
И некоторые приближённые значения:
$F(2,2)-F(2,3)\approx0.10100006$
$10F(2,9)-F(2,10)\approx1.60002$
$F(1,\frac 1 {25})-1-2\log_{3}7\approx0.00001$
А также
$$\sum_{i=0}^{100}F(P_{2i+1},P_{2i+2})\approx3.99993$$
$P_n$ - n-е простое число, начиная с $P_1=1$.
$$\sum_{i=0}^{\infty}F(\Phi_{2i+1},\Phi_{2i+2})-e^{\sqrt{2}-1}\approx0.0007$$
$\Phi_n$ - числа Фибоначчи.
При $a\to\infty$:
$F(a,b)\to\frac 1 {\sqrt{b}}$
Много случаев просто красивых чисел, приведу несколько:
$F(1,4)+F(4,2)\approx0.750575725$
$F(5,7)\approx0.22117772$
$F(24,7)^{-1}\approx3.654356434$

***

Когда же вводим функцию с суммированием начиная с единицы:
$$G(a,b)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^k}{\sqrt{k^2+ak+b}}$$
то получаем такие, например, соотношения:
$$G(0,n)+F(2,n+1)=0$$
для натуральных $n$ и $n=0$.
И взаимосвязь с закономерностями для $F$ видна здесь:
$$G(1,n)+F(3,n+3)=0$$
$$G(n+1,1)+F(n+3,n+3)=0$$

Можно, похоже, вывести эти свойства просто из вида рядов, но не все очевидны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интересные ряды
Сообщение07.12.2016, 08:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
Если оба корня действительны (а может даже это необязательно), то вашу функцию $F$ можно свести к Трансцедентной функции Лерча.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интересные ряды
Сообщение07.12.2016, 14:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
Alex_J в сообщении #1174783 писал(а):
Ряды вида $$F(a,b)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{\sqrt{k^2+ak+b}}$$ обнаруживают интересные свойства.
Пока что сделаю обзор для $a>0$ и $b>0$.
Интересные свойства:
$$F(1,1)+F(3,3)=1$$
$$F(2,1)+F(4,4)=1$$

Правильно ли я понимаю, что существует забавное обобщение:
Ряды вида $$F(a,b,\gamma )=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(k^2+ak+b)^\gamma }$$ для $a,b,\gamma >0$ обнаруживают интересные свойства:
$$F(1,1, \gamma)+F(3,3, \gamma)=1$$
$$F(2,1,\gamma)+F(4,4,\gamma)=1$$
Ну и так далее. У Вас $\gamma =1/2$, но смысл этих формул совсем в другом, как видите.

-- 07.12.2016, 14:08 --

PS. Совет: для суммирования этих выражений проще использовать пальцы одной руки, чем калькулятор.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интересные ряды
Сообщение08.12.2016, 00:45 
Аватара пользователя


14/08/12
309
grizzly в сообщении #1174842 писал(а):
для $a,b,\gamma >0$ обнаруживают интересные свойства:



Сохраняется только это свойство, не так ли? )

kp9r4d

Благодарю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интересные ряды
Сообщение08.12.2016, 02:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
Alex_J в сообщении #1175060 писал(а):
Сохраняется только это свойство, не так ли? )
Нет, не так. Ничего Вы не поняли. Возьмите карандаш в руки и распишите пару членов любого из Ваших открытий (если пальцев одной руки Вам для этого мало) -- оцените сами уровень банальности.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group