Коэффициент ковариации

[dima_1985]

Случайная величина $X\sim R(-1;1)$, $Y=\cos(X)$. Найти $K_{XY}$. Решение найдем функцию плотности распределения по формуле $f_y(x)=(g^{-1}(x))^\prime f_{x}(g^{-1}(x))$. Так как функция $\cos(x)$ не монотонна на интервале $[-1;1]$. Разобьем функцию на две $g_1^{-1}(x)=\arccos(y) y \in [-1;0]$ и $g_2^{-1}(x)=1 - \arccos(y) y \in [0;1]$. После подстановки получим что $f_y(x)=0$. Используя неравенство $K_{XY}^2\leqslant D[x]D[y]$ отсюда следует что $K_{XY} = 0$. Я не уверен что правильно нашел функцию плотности распределения f_y(x)? Поправите пожалуйста если где не прав.

[Otta]

Плотность. Нулевая. Да?

[dima_1985]

Да ерунда получается она по определению должна быть $\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(x)=1$

[ewert]

dima_1985, математики иногда любят рисовать разные чёрточки. Вот в Вашей замечательной формуле (для пересчитываемой плотности) этих чёрточек явно не хватает.

И ещё: если Вам нужна только ковариация/корреляция, то пересчитывать плотность и вовсе ни к чему. Если только Вас не заставляли её считать специально, из зловредности.

[alisa-lebovski]

Плотность $Y$ здесь считать не нужно, совсем. Надо использовать формулу математического ожидания функции от случайной величины.

[dima_1985]

ewert в сообщении #1174428 писал(а):

И ещё: если Вам нужна только ковариация/корреляция, то пересчитывать плотность и вовсе ни к чему. Если только Вас не заставляли её считать специально, из зловредности.

Да вы правы если только нужно посчитать ковариация/корреляция то можно сказать сразу она равна нулю.Так как коэффициент ковариация характеризует линейную зависимость между СВ? Плотность хочу посчитать из зловредности.

[ewert]

dima_1985 в сообщении #1174436 писал(а):

Плотность хочу посчитать из зловредности.

Ну так поднимите конспект или учебник, которые Вы нечаянно уронили -- и посмотрите, чего не хватает в Вашей формуле.

Между прочим, в определённом смысле проще пересчитывать не плотность, а функцию распределения: там нет никаких нюансов, которые надо было бы специально запоминать, а требуется лишь аккуратность. Потом, если очень захочется, легко и плотность найти.

[dima_1985]

Посчитаем функцию распределения 1)если $y<\cos(-1)$, то $F(y) =\int\limits_{-\infty}^{-\arccos(y)}0dx=0 $.
2) если $\cos(-1)<y<\cos(1)$, то $F(y) = P(-1<x<-\arccos(y))+P(\arccos(y)<x<1)$
$= \int\limits_{-1}^{-\arccos(y)}0.5dx + \int\limits_{\arccos(y)}^{1}0.5dx=\frac{\pi}{2}-\arccos(y)$.
3) если $y>\cos(1)$, то $F(y)=\int\limits_{-1}^{1}0.5dx=1$.
Плотность получится $f(y)= \begin{cases} 0,&\text{если $y\notin [\cos(-1);\cos(1)]$;}\\ \frac{1}{\sqrt{1-y^2}},&\text{если $y\in [\cos(-1);\cos(1)]$;}\\ \end{cases} $. Но я не уверен что правильно найдена функция распределения? Не совсем понял alisa-lebovski. Как можно воспользоваться формулой математического ожидания?

[alisa-lebovski]

Да, правильно.

Я говорю о том, что для вычисления $M[f(X)]$ не обязательно находить распределение новой случайной величины $Y=f(X)$, а потом ее математическое ожидание. Можно посчитать сразу.

[ewert]

dima_1985 в сообщении #1174707 писал(а):

Как можно воспользоваться формулой математического ожидания?

$E(\varphi(X))=\int_{-\infty}^{\infty}\varphi(x)f_X(x)\,dx)$

И это, между прочим, практически по определению что плотности, что матожиданиев, что функции от СВ самой по себе.. Как классов.

[dima_1985]

Используя формулу математического ожидания получим $M[\varphi(x)]=\int\limits_{\cos(-1)}^{\cos(1)} 0.5\cos(x)dx = 0$ и $M[X]=\int\limits_{-1}^{1}0.5x dx = 0$. Потом посчитаем коэффициент ковариации $K_{X\varphi(x)}=M[X\varphi(x)]-M[X]M[\varphi(x)]$. Отсюда получим $K_{X\varphi(x)} = M[X\varphi(x)]$. А как получить $M[X\varphi(x)]$ ? Или я где-то перемудрил?

[ewert]

dima_1985 в сообщении #1176048 писал(а):

получим $M[\varphi(x)]=\int\limits_{\cos(-1)}^{\cos(1)} 0.5\cos(x)dx = 0$

Пределы интегрирования неправильные (пусть на ответ они и не влияют, но не годятся -- приблизительно никуда).

dima_1985 в сообщении #1176048 писал(а):

А как получить $M[X\varphi(x)]$ ?

Никак, пока что. Пока что Вы запутались в больших и маленьких буковках. А как распутаетесь -- рецепт станет очевиден.

[dima_1985]

Интегрировать надо в пределах в которых изменяется x,$M[\varphi(X)]=\int\limits_{-1}^{1}0.5\cos(x)dx=\sin(1)$. Мат. ожидание $M[X\varphi(X)]=\int\limits_{-1}^{1}0.5x\cos(x)dx=0$? Отсюда $K_{XY}=0$ ?

[--mS--]

dima_1985 в сообщении #1180889 писал(а):

$M[\varphi(X)]=\int\limits_{-1}^{1}0.5\cos(x)dx=\sin(1)$.

Этот интеграл не равен $\sin(1)$.

[dima_1985]

$0.5\int\limits_{1}^{-1}\cos(x)dx=0.5(\sin(1)+\sin(1))\approx0.8415$. Имелось ввиду синус 1 радиана. Из-за этого не правильно ? Другие выкладки в

dima_1985 в сообщении #1180889 писал(а):

Интегрировать надо в пределах в которых изменяется x,$M[\varphi(X)]=\int\limits_{-1}^{1}0.5\cos(x)dx=\sin(1)$. Мат. ожидание $M[X\varphi(X)]=\int\limits_{-1}^{1}0.5x\cos(x)dx=0$? Отсюда $K_{XY}=0$ ?

правильные?