2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему
 
 Аддитивная комбинаторика на поле над корнями третьей степени
Сообщение02.12.2016, 02:01 


08/09/13
174
Сначала постановка задачи, потом маленькое пояснение.
Для $A,B \subset {\mathbb N}$ определим
$A+B = \left\lbrace{a+b : a \in A, b \in B}\right\rbrace$
$T(A,B,C) = \left\lbrace{a + b e^{2 \pi i \frac{1}{3}} + c e^{2 \pi i \frac{2}{3}} : a \in A, b \in B, c \in C}\right\rbrace$
Задача (вернее, гипотеза, не знаю, доказуемая ли). Доказать существование такой универсально константы $\gamma$, что при $|A+A| \le C |A|$ будет выполнено $|T(A,A,A)| \le C^{\gamma} |A|^2$

Собственно, задача придумана мной после прочтения этой лекции, а именно вдохновлена теоремой о том, что при $|A+A| \le C |A|$ выполнено $|kA-lA| \le C^{O(k)+O(l)} |A|$ (в смысле $kA=A+\dots+A$, где слагаемых $k$ штук).
Там эта теорема доказывается через красивую лемму $|U ||V-W| \le |V-U| |U-W|$ (эта лемма верна для всяких множеств $U,V,W$ в произвольной группе без ограничений). Для доказательства искомого утверждения из $|A+A| \le C |A|$, конечно, привлекается чуть более сложная конструкция, но из $|A+A+A| \le C |A|$ всё выводится через лемму практически прямым применением.
Я попробовал обобщить тривиально лемму и получил $|U||T(A,B,C)| \le |T(U,B,C)| |T(A,U,C)| |T(A,B,U)|$. К сожалению, прилепить в левую часть ещё какой-нибудь множитель $|W|$ не получается - доказательство из лекции не обобщается, потому что невозможно однозначно восстановить $u \in U$ и $w \in W$. А имеющегося обобщения леммы, кажется, недостаточно, что ни подставляй.

В общем, предлагаю подумать, кого заинтересует. Повторюсь, верно ли вообще искомое следствие, не знаю. Может быть, имеет смысл поискать какие-то общие контрпримеры.

 Профиль  
                  
 
 Re: Аддитивная комбинаторика на поле над корнями третьей степени
Сообщение02.12.2016, 13:56 


08/09/13
174
Маленькое уточнение - ещё один множитель в лемму действительно нельзя добавить если речь идёт о множествах $U,A,B,C$, элементы которых лежат на треугольной решётке (то есть имеют вид $a_0 + a_1 e^{2 \pi i \frac{1}{3}} + a_2 e^{2 \pi i \frac{2}{3}}, a_i \in {\mathbb Z}$).
Если же предположить, что $W,U,A,B,C \subset {\mathbb Z}$, то вполне можно утверждать, что $|W| |U| |T(A,B,C)| \le |T(A,W,V)| |T(V,B,W)| |T(W,V,C)|$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group