2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6 ... 9  След.
 
 Re: равномерная непрерывность и условие Липшища
Сообщение07.12.2016, 19:57 


14/04/15
187
mihaild в сообщении #1174967 писал(а):
$e_2 = (0, 1, 0, \ldots) \in l_2$

то есть это такая бесконечная последовательность, в которой все элементы кроме второго равны нулю, а второй единице?

 Профиль  
                  
 
 Re: равномерная непрерывность и условие Липшища
Сообщение07.12.2016, 21:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8355
Цюрих
Aiyyaa в сообщении #1174969 писал(а):
то есть это такая бесконечная последовательность, в которой все элементы кроме второго равны нулю, а второй единице?
Да. И такая последовательность принадлежит $l_2$ (почему?).

 Профиль  
                  
 
 Re: равномерная непрерывность и условие Липшища
Сообщение08.12.2016, 00:00 


14/04/15
187
mihaild в сообщении #1174989 писал(а):
Да. И такая последовательность принадлежит $l_2$ (почему?).

потому что этот ряд сходится, то есть сумма $\sum\limits_{n=1}^{\infty}|e_2|^2=1< \infty$
но мне не понятно, оператор $F_1$ применяется к последовательностям, которые на всех местах, кроме второго, имеют нули, а на втором месте постоянное число, не зависящее от n?

 Профиль  
                  
 
 Re: равномерная непрерывность и условие Липшища
Сообщение08.12.2016, 00:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8355
Цюрих
Нет, $F_1$ - это отображение $l_2 \to l_1$.
Aiyyaa в сообщении #1172512 писал(а):
$F_1x=(0,\sqrt[5]{x^2(1) \sin x(1)},0,...)$

 Профиль  
                  
 
 Re: равномерная непрерывность и условие Липшища
Сообщение08.12.2016, 00:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4610
mihaild в сообщении #1175050 писал(а):
но мне не понятно, оператор $F_1$ применяется к последовательностям, которые на всех местах, кроме второго, имеют нули, а на втором месте постоянное число, не зависящее от n?

$F_1$ применяется к любым последовательностям, которые принадлежат $l_2$.
В частности, вот эта последовательность, про которую Вы говорите, принадлежит $l_2$ и поэтому к ней можно применять отображение $F_1$. Но его можно применять и ко многим другим последовательностям.
Важно то, что $F_1$ действует сразу на всю последовательность (и превращает её в другую последовательность, лежащую уже в $l_1$), а не на какие-то отдельные члены этой последовательности.

 Профиль  
                  
 
 Re: равномерная непрерывность и условие Липшища
Сообщение08.12.2016, 00:33 


14/04/15
187
Mikhail_K в сообщении #1175052 писал(а):
Важно то, что $F_1$ действует сразу на всю последовательность (и превращает её в другую последовательность, лежащую уже в $l_1$), а не на какие-то отдельные члены этой последовательности.

то есть отображение $F_1$ переводит последовательность $x\in l_2$ в последовательность $F_1x=(0,\sqrt[5]{x^2(1)\sin x(1)},0,0,...) \in l_1$? В этом отображении $x(1)$ это первый элемент последовательности. Вместо второго элемента $x(2)$ последовательности из $l_2$ ставится корень пятой степени из квадрата первого элемента умноженного на синус первого элемента, и вместо остальных элементов последовательности ставятся нули?

 Профиль  
                  
 
 Re: равномерная непрерывность и условие Липшища
Сообщение08.12.2016, 01:44 


20/03/14
12041
Aiyyaa
А Вас предупреждали.
Расшифруйте все обозначения из Вашего стартового поста самостоятельно, пожалуйста. Напишите это там.

А вообще, шли бы Вы сперва Треногина порешали.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение08.12.2016, 01:45 


20/03/14
12041
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

См. выше. До очередного самоликбеза и расшифровки обозначений.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение09.12.2016, 17:19 


20/03/14
12041
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

 Профиль  
                  
 
 Re: равномерная непрерывность и условие Липшища
Сообщение10.12.2016, 18:19 


14/04/15
187
mihaild в сообщении #1174757 писал(а):
представьте функцию в виде суммы двух, как вам советовал DeBill. И подумайте, что можно сказать про непрерывность/равномерную непрерывность/липшицевость суммы.

то есть отображение $F$, которое переводит последовательность $x \in l_2$ в последовательность $Fx=(0,\sqrt[5]{x^2(1) \sin x(1)},\frac{x(1)}{2},\frac{x(2)}{3},...) \in l_1$, представляется в виде суммы $F_1x=(0,\sqrt[5]{x^2(1) \sin x(1)},0,...)$ и $F_2 x=(0,0,\frac{x(1)}{2},\frac{x(2)}{3},...)$. В $F_1x$ на месте $x(2)$ находится $\sqrt[5]{x^2(1) \sin x(1)}$, которая фактически является функцией корня из числа, которая, как известно, является равномерно-непрерывной, но не удовлетворяет условию Липшица в силу того, что производная этой функции стремится к бесконечности при $x$ стремящейся к нулю. То есть всё отображение $Fx$ из-за этого точно не удовлетворяет условию Липшица?

 Профиль  
                  
 
 Re: равномерная непрерывность и условие Липшища
Сообщение12.12.2016, 12:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8355
Цюрих
Aiyyaa в сообщении #1175734 писал(а):
В $F_1x$ на месте $x(2)$

Так говорить нехорошо. Нет никакого "места" $x(2)$. Если хотите, можно говорить об $(Fx)(2)$ (раз уж вы используете функциональную нотацию для последовательностей).

Aiyyaa в сообщении #1175734 писал(а):
которая фактически является функцией корня из числа

Что такое "фактически является функцией"?

Давайте так:
введем функцию $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(t) = \sqrt[5]{t^2\sin t}$, и запишем $F_1 x = (0, f(x(1)), 0, \ldots)$.
К функции $f$ ваши рассуждения применимы (только надо как-то обосновать равномерную непрерывность). Но как связаны непрерывность/равномерная непрерывность/липшицевость функций $f$ и $F_1$?

Aiyyaa в сообщении #1175734 писал(а):
То есть всё отображение $Fx$ из-за этого точно не удовлетворяет условию Липшица?

Нет, конечно - то, что функция представляется в виде суммы слагаемых, одно из которых нелипшицево, еще не влечет ее нелипшицевости. Пример: $0 = x^2 - x^2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: равномерная непрерывность и условие Липшища
Сообщение12.12.2016, 20:12 


14/04/15
187
mihaild в сообщении #1176178 писал(а):
Что такое "фактически является функцией"?

в сообщении DeBill написано, что $ \sqrt[5]{x^2(1) \sin x(1)} $
Цитата:
фактически обычная функция на прямой

mihaild в сообщении #1176178 писал(а):
К функции $f$ ваши рассуждения применимы (только надо как-то обосновать равномерную непрерывность). Но как связаны непрерывность/равномерная непрерывность/липшицевость функций $f$ и $F_1$?

Я не знаю, как связаны.
mihaild в сообщении #1176178 писал(а):
только надо как-то обосновать равномерную непрерывность

все функции вида $f(x)=\sqrt[n]x, x\in \mathbb{ N }$ являются равномерно-непрерывными.

 Профиль  
                  
 
 Re: равномерная непрерывность и условие Липшища
Сообщение12.12.2016, 20:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8355
Цюрих
Aiyyaa в сообщении #1176352 писал(а):
в сообщении DeBill написано, что $ \sqrt[5]{x^2(1) \sin x(1)} $
Там это было на уровне идеи. На обоснование это не тянет.

Aiyyaa в сообщении #1176352 писал(а):
Я не знаю, как связаны.
Подумайте. Распишите определение, например, равномерной непрерывности для $f$ и для $F_1$, подставив явно соответствующие метрики.

 Профиль  
                  
 
 Re: равномерная непрерывность и условие Липшища
Сообщение12.12.2016, 20:28 


14/04/15
187
mihaild в сообщении #1176354 писал(а):
Распишите определение, например, равномерной непрерывности для $f$ и для $F_1$, подставив явно соответствующие метрики.

Расписать определение равномерной непрерывности для отображения $F_1$ в пространстве бесконечных последовательностей?

 Профиль  
                  
 
 Re: равномерная непрерывность и условие Липшища
Сообщение12.12.2016, 20:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8355
Цюрих
Да.
И не надо про каждый шаг спрашивать, надо ли его делать, если у вас есть идея, что делать - лучше сделать, вам в крайнем случае подскажут, что было не так.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 133 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6 ... 9  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group