Почему парадокс Бертрана парадокс?

[atlakatl]

Как сформулировано в Википедии:

Цитата:

вероятность не может быть чётко определена, пока не определён механизм или метод выбора случайной величины

И приводится пример самого Бертрана, где результат задачи зависит от интерпретации термина "выбрать наудачу".
Дальше в статье идёт "инвариантное" "решение Джейнса с использованием принципа неопределенности". При чём здесь квантовая механика, непонятно. Джейнс просто рассчитывает длину хорды, произвольно двигая окружность по бесконечной плоскости, хаотично расчерченной прямыми. И объявляет, что его решение "самое правильное".
В недоумении залез в английскую Википедию. Там то же самое. Только в конце новый раздел "Последние события", где говорится, что

Цитата:

парадокс будет намного сложнее решить , чем предполагалось ранее

.
Мне кажется, что "выбрать наудачу" всё-таки феномен языка, филологии. И объявлять парадоксом неопределённость, механически возникающую при его буквальном применении в математике, некорректно.
С таким же успехом я стану автором парадокса, объявив, что дальность полёта "стрелы" не может быть чётко ограничена, пока мы не разберёмся, стрела это заострённая ветка или ПЗРК.

[Brukvalub]

А, если назвать не "парадоксом", а иллюстрацией того, что слово "наудачу" можно трактовать по-разному (т.е. с помощью разных мат.моделей), то что изменится?

[atlakatl]

Brukvalub
Думаю, что парадоксом в математике следует называть более глубокие вещи. Тем более, мне непонятен тезис английской Википедии

Цитата:

парадокс будет намного сложнее решить , чем предполагалось ранее

Что учёные в этой сфере всё-таки решают?

[Brukvalub]

atlakatl в сообщении #1171558 писал(а):

Что учёные в этой сфере всё-таки решают?

1. Вы уверены, что разноязычные Вики пишут ученые?
2. Может, про бред разумнее всего спрашивать именно того, кто этот бред написал?

[atlakatl]

Brukvalub
Не уверен. Я и сам иногда правлю явные ляпы. - В русской.

[ИСН]

И какие же, например, вещи следует называть парадоксом? По-моему, они все таковы. Противоречивые теории никому не нужны, значит, все парадоксы - кажущиеся, и вызваны обычно нечёткостью естественных языков.

[atlakatl]

Brukvalub
ИСН
Спасибо.
Прояснилось.

[Munin]

atlakatl в сообщении #1171556 писал(а):

Дальше в статье идёт "инвариантное" "решение Джейнса с использованием принципа неопределенности". При чём здесь квантовая механика, непонятно.

Там нигде не сказано, что это квантовый принцип. Это какой-то другой принцип неопределённости, просто случайно называющийся похожим словом.

[arseniiv]

Я ничего не читал, но по названию этот принцип похож на смысл принципа максимальной энтропии: если известны какие-то параметры распределения случайной величины (обычно несколько моментов и область определения), но не само распределение, то надо выбрать такое, энтропия которого максимальна. Когда это вообще возможно.

-- Пт ноя 25, 2016 14:43:44 --

Таки открыл, и принцип какой-то не тот принципиальный…

[atlakatl]

arseniiv
Из Википедии:

Цитата:

предложил решение парадокса Бертрана, основанное на принципе неопределённости: мы не должны использовать информацию, которая не дана в условии. Джейнс указал, что проблема Бертрана не задаёт положение или размер круга, и утверждал, что в таком случае любые точные и объективные решения должны быть «безразличны» к размеру и положению. Иными словами, решение должно быть инвариантно к размерам и трансформациям

Энтропию сюда можно притянуть, но задним числом: окружность с хордами методом Джейнса на картинке выглядит наиболее "однородно-серой". При остальных двух методах заметна некая структура.

[Лукомор]

У меня знакомство с парадоксом Бертрана вызвало два вопроса.
Вопрос №1. Случайную хорду можно получить, двумя совершенно равноправными способами:
- бросить на окружность случайный отрезок,
- либо бросить на прямую линию случайную окружность.
Первый способ ведет к парадоксу из-за многих возможных способов определения понятия "случайный отрезок".
Второй способ вполне однозначен, так как случайную окружность естественно определить расстоянием ее центра до прямой.
Искомая вероятность при втором способе равна $p=\frac{1}{2}$, то-есть совпадает таки с тем значением вероятности, которое получил Джейнс исходя из принципа неопределенности (на самом деле - "принципа безразличия"="principle of indifference", в оригинале), причем Джейнс показал в своей работе что это единственное решение, которое "инвариантно к размерам и трансформациям". (Так в Вики ) В оригинале доказаныRotational Invariance, Scale Invariance and Translational Invariance, именно для этого единственного решения.
А ведь еще в 1912 году Анри Пуанкаре в своей книге "Теория вероятностей" начав главу седьмую с рассмотрения парадокса Бертрана, и затем рассмотрев другие задачи на непрерывные вероятности, в частности задачу об игле Бюффона, завершает эту главу следующим пассажем:

Цитата:

Я могу считать отрезок фиксированным, а окружности - подвижными.
Вероятность того, что одна из окружностей пересекает отрезок, пропорциональна его длине; тогда вероятность того, что $C^\prime$ пересекает отрезок, равна отношению длин двух окружностей, т.е. $\frac{1}{2}$. Так мы возвращаемся к одной из гипотез Бертрана.

Собственно, вопрос заключается в следующем: "Почему столь разнообразные методы и соображения указывают на один и тот же вариант решения?"
И вопрос №2.Насколько правомочно считать все три классических решения парадокса Бертрана
определением именно "случайной хорды", ведь в первом способе молчаливо подразумевается, что случайно брошенная на плоскость точка обязательно упадет на окружность (вероятность чего нулевая), а уж потом через эту точку мы проведем прямую в действительно случайном направлении. Во втором и третьем случаях точка действительно выбирается случайно, уже внутри окружности, но зато потом прямая случайно проводится строго под прямым углом к радиусу через эту точку.
Вот так вот в случайном направлении, но всегда под прямым углом (вероятность чего, опять же - нулевая).

[iifat]

Хорду окружности можно определить разными способами. Определим на плоскости с окружностью полярную систему координат.
1) Координата одного из концов (полярный угол, коли уж конец заведомо лежит на окружности) и «угол между хордой и окружностью» (угол между хордой и касательной, между хордой и радиус-вектором конца, угол, стягиваемый хордой — не суть).
2) Полярный угол одного из концов и расстояние от центра до хорды.
3) Полярные координаты середины хорды.
Поскольку рассматривается случайная хорда, имеем три двумерных случайных величины, любые две из которых выражаются через третью. А парадокс превращается в (слегка обобщая) ничем не примечательный и вполне очевидный факт: «если две случайных величины связаны соотношением $Y=f(X)$, то равномерность распределения $X$ не влечёт равномерности распределения $Y$». Если, к примеру, потребовать равномерности распределения третьей, пересчитать во вторую и правильно посчитать интересующую нас вероятность, получится всё та же скучная $\frac14$, что и при элементарном подсчёте напрямую.
Споры же, какое именно распределение случайных величин наиболее близко народу и, следовательно, перспективно — это уже не математика, имхо.

[Brukvalub]

(Оффтоп)

iifat в сообщении #1171635 писал(а):

Споры же, какое именно распределение случайных величин наиболее близко народу и, следовательно, перспективно — это уже не математика, имхо.

Подытожу: «Узок круг этих революционеров распределений. Страшно далеки они от народа. Но дело их не пропало. Декабристы Распределения разбудили Герцена Бертрана. Герцен Бертран начал революционную парадоксальную агитацию».

[Лукомор]

iifat в сообщении #1171635 писал(а):

Споры же, какое именно распределение случайных величин наиболее близко народу и, следовательно, перспективно — это уже не математика, имхо.

В рамках этого раздела форума все правильно у Вас!
Замечу только, что, на самом деле основной вопрос, который до сих пор вызывает споры в вопросе о парадоксе Бертрана лежит, IMHO, в совершенно другой плоскости.
Проблема заключается в том, как определить само понятие "хорда".
Если, вслед за Евклидом, определять его как отрезок, соединяющий пару точек окружности, то действительно, можно получить множество распределений случайных величин, причем, действительно, каждое из таких распределений будет равномерным в некотором смысле. Это подход самого Бертрана, прежде всего, и он тиражируется во множестве учебников по ТВ. Этот подход и есть причина сущствования парадокса.
Другое определение понятия "хорда" применительно к задаче Бертрана, восходит к Анри Пуанкаре, следует упомянуть в этой связи еще статью О.Ю.Шмидта, и конечно же Э.Т. Джейнса, которого я уже здесь упоминал ранее.
Все они отталкивались в своих решениях от определения хорды, как части прямой линии, лежащей внутри окружности.
То есть рассматривали пересечение окружности случайной прямой.
В такой постановке задача Бертрана тривиальна, решение ее $p=\frac{1}{2}$, в силу теоремы Коши, прежде всего, хотя его можно получить и другими способами, и никакого парадокса в этом случае не возникает.

[iifat]

Лукомор в сообщении #1171757 писал(а):

То есть рассматривали пересечение окружности случайной прямой

Ну, если «случайная прямая» для вас звучит однозначнее «случайной хорды», то конечно. Как по мне, дык что в лоб, что по лбу, вот только с вероятностью практически единица случайная прямая упадёт где-нить в сторонке...

Лукомор в сообщении #1171757 писал(а):

В такой постановке задача Бертрана тривиальна, решение ее $p=\frac{1}{2}$, в силу теоремы Коши

Не верю я вам.
Беря прямую и кидая на неё окружность, вы уже выбрали конкретный способ, конкретную случайную величину, которая будет распределена равномерно.
Вот вам встречное предложение: провожу прямую и прибиваю к ней в некоторой точке окружность. Потом подхожу и пинаю её, чтоб она крутилась вокруг этой точки. Как остановится, вот она и хорда. Подозреваю, решением задачи столь же тривиально станет $p=\frac13$, не?