Как можно и как нельзя - о длине кривой

[nazarov_m]

Ну например эту формулу можно вывести так (длина складывается как сумма отрезков, образующих кривую):
$ Len(f) = \lim\limits_{N\to\infty}\sum\limits_{i=1}^N \bigg|f(t_i)-f(t_{i-1})\bigg|=\lim\limits_{N\to\infty}\sum\limits_{i=1}^N \left|\frac{f(t_i)-f(t_{i-1})}{\Delta t}\right|\Delta t=\int\limits_a^b \Big|f'(t)\Big|\ dt.$
Кривые обычно задаются параметрически. В вашем случае видимо подразумевается, что $ y=f(t), x=t $.

[Brukvalub]

nazarov_m в сообщении #1171164 писал(а):

Ну например эту формулу можно вывести так (длина складывается как сумма отрезков, образующих кривую):
$ Len(f) = \lim\limits_{N\to\infty}\sum\limits_{i=1}^N \bigg|f(t_i)-f(t_{i-1})\bigg|=\lim\limits_{N\to\infty}\sum\limits_{i=1}^N \left|\frac{f(t_i)-f(t_{i-1})}{\Delta t}\right|\Delta t=\int\limits_a^b \Big|f'(t)\Big|\ dt.$

Это нужно поместить в рамочку с комментарием: "Вот что бывает, когда кто-то, ни бельмеса не понимающий, пытается учить других".

[nazarov_m]

Brukvalub в сообщении #1171166 писал(а):

nazarov_m в сообщении #1171164 писал(а):

Ну например эту формулу можно вывести так (длина складывается как сумма отрезков, образующих кривую):
$ Len(f) = \lim\limits_{N\to\infty}\sum\limits_{i=1}^N \bigg|f(t_i)-f(t_{i-1})\bigg|=\lim\limits_{N\to\infty}\sum\limits_{i=1}^N \left|\frac{f(t_i)-f(t_{i-1})}{\Delta t}\right|\Delta t=\int\limits_a^b \Big|f'(t)\Big|\ dt.$

Это нужно поместить в рамочку с комментарием: "Вот что бывает, когда кто-то, ни бельмеса не понимающий, пытается учить других".

И что же вам так не нравится, не достаточно подробно расписано, или вывод не строгий? Могу расписать подробнее.

[Sender]

(Оффтоп)

Brukvalub в сообщении #1171166 писал(а):

Это нужно поместить в рамочку с комментарием: "Вот что бывает, когда кто-то, ни бельмеса не понимающий, пытается учить других".

Но ведь с другой стороны

Дуглас Адамс писал(а):

Когда вам хочется что-то по-настоящему понять, нет лучшего способа, чем попытаться втолковать это кому-то другому.

[Brukvalub]

nazarov_m в сообщении #1171176 писал(а):

И что же вам так не нравится

Мне не нравится, когда длина единичного отрезка $x=t , 0\leq t\leq 1, y=f(t)=0$ становится равной нулю, когда некомпетентные люди лезут отвечать, и когда за шиворот попадает снег.

-- Ср ноя 23, 2016 15:50:17 --

nazarov_m в сообщении #1171181 писал(а):

По определению можно считать длину равной пределу сумм отрезков, на которые разбивается кривая, при мелкости разбиения стремящейся к нулю.

Отрезок - это множество точек, а длина - это ЧИСЛО! Хватит нести чушь!

[nazarov_m]

Brukvalub в сообщении #1171185 писал(а):

nazarov_m в сообщении #1171176 писал(а):

И что же вам так не нравится

Мне не нравится, когда длина единичного отрезка $x=t , 0\leq t\leq 1, y=f(t)=0$ становится равной нулю, когда некомпетентные люди лезут отвечать, и когда за шиворот попадает снег.

-- Ср ноя 23, 2016 15:50:17 --

nazarov_m в сообщении #1171181 писал(а):

По определению можно считать длину равной пределу сумм отрезков, на которые разбивается кривая, при мелкости разбиения стремящейся к нулю.

Отрезок - это множество точек, а длина - это ЧИСЛО! Хватит нести чушь!

Хм, и как же она там станет равной нулю? Вы может быть там знака модуля не заметили, или считаете что модуль от вектора возьмётся как-то по особому?

Да, пропустил слово, большая беда, от этого смыл радикально исказился. Пределу сумм длин отрезков.

[Brukvalub]

nazarov_m в сообщении #1171187 писал(а):

Вы может быть там знака модуля не заметили, или считаете что модуль от вектора возьмётся как-то по особому?

Я старенький, слепенький, я там и вектора-то не заметил! Зато заметил, что вы начали выкручиваться, пытаясь оправдать написанные глупости.

[nazarov_m]

Brukvalub в сообщении #1171189 писал(а):

nazarov_m в сообщении #1171187 писал(а):

Вы может быть там знака модуля не заметили, или считаете что модуль от вектора возьмётся как-то по особому?

Я старенький, слепенький, я там и вектора-то не заметил! Зато заметил, что вы начали выкручиваться, пытаясь оправдать написанные глупости.

А как мне ещё прикажите записать эту формулу в общем виде? Если это расписанный модуль вектора, то понятно откуда корень и квадраты в итоговой формуле для случая $y = f(x)$. И нету тут никаких глупостей, это стандартный способ доказательства данной формулы. Если сами не знаете, то может быть не стоит сразу бочку катить?

[Brukvalub]

nazarov_m в сообщении #1171181 писал(а):

По определению можно считать длину равной пределу сумм длин отрезков, на которые разбивается кривая

На отрезки можно разбить только ЛОМАНУЮ, попробуйте разбить на отрезки окружность

[nazarov_m]

Надоело спорить, распишу полностью.
Пусть дана функция $ \bold{f} : [a, b] \rightarrow R^2 $. Введем разбиение отрезка $ t_{i} = a + \Delta t \cdot i $, где $ \Delta t = (b-a)/N $, а индексы $i=0,\ldots,N$.
Мы можем разбить нашу кривую на дуги, а вместо длин дуг использовать длины отрезков, сведя задачу к простому суммированию длин отрезков.

$$ Len(\bold{f}) = \lim\limits_{N\to\infty}\sum\limits_{i=1}^N \bigg|\bold{f}(t_i)-\bold{f}(t_{i-1})\bigg|=\lim\limits_{N\to\infty}\sum\limits_{i=1}^N \left|\frac{\bold{f}(t_i)-\bold{f}(t_{i-1})}{\Delta t}\right|\Delta t=\int\limits_a^b \Big|\bold{f}'(t)\Big|\ dt = \int\limits_a^b \sqrt{\bold{f}'_{x}^{2}(t) + \bold{f}'_{y}^{2}(t) } \ dt.$$

И вот в той версии формулы подразумевается что $ \bold f = (t,u(t))$, что и даёт первую формулу от топикстартера.

-- 23.11.2016, 16:20 --

Brukvalub в сообщении #1171191 писал(а):

nazarov_m в сообщении #1171181 писал(а):

По определению можно считать длину равной пределу сумм длин отрезков, на которые разбивается кривая

На отрезки можно разбить только ЛОМАНУЮ, попробуйте разбить на отрезки окружность

Опять не по существу замечание. Да кривая разбивается на дуги, а эти дуги мы можем приблизить отрезками. Суммировать длины дуг --- это бред, в пределе суммирование длин отрезков даст нам длину кривой и всё будет прекрасно.

[Brukvalub]

nazarov_m в сообщении #1171203 писал(а):

Опять не по существу замечание. Да кривая разбивается на ломанные

Ну я же предлагал: разбейте окружность на ломаные! Вы даже после указания на ваши ошибки делаете те же самые ошибки, это весьма печально...
Без подробного обоснования вот этого перехода:

nazarov_m в сообщении #1171203 писал(а):

$$...\lim\limits_{N\to\infty}\sum\limits_{i=1}^N \left|\frac{\bold{f}(t_i)-\bold{f}(t_{i-1})}{\Delta t}\right|\Delta t=\int\limits_a^b \Big|\bold{f}'(t)\Big|\ dt....$$

все вами написанное выглядит совсем неубедительно.

[nazarov_m]

Brukvalub в сообщении #1171206 писал(а):

nazarov_m в сообщении #1171203 писал(а):

Опять не по существу замечание. Да кривая разбивается на ломанные

Ну я же предлагал: разбейте окружность на ломаные! Вы даже после указания на ваши ошибки делаете те же самые ошибки, это весьма печально...
Без подробного обоснования вот этого перехода:

Описался выше. Разбивается на дуги, а дуги приблизим отрезками. Всё нормально, и с окружностью тоже работает.

[Brukvalub]

(Оффтоп)

nazarov_m, я, вдруг, понял, что уже час как БЕСПЛАТНО! репетирую с вами математический анализ! Хватит, дальше закрывайте дыры в вашем "образовании" без меня.

[nazarov_m]

Brukvalub в сообщении #1171206 писал(а):

Без подробного обоснования вот этого перехода:

nazarov_m в сообщении #1171203 писал(а):

$$...\lim\limits_{N\to\infty}\sum\limits_{i=1}^N \left|\frac{\bold{f}(t_i)-\bold{f}(t_{i-1})}{\Delta t}\right|\Delta t=\int\limits_a^b \Big|\bold{f}'(t)\Big|\ dt....$$

все вами написанное выглядит совсем неубедительно.

Ну положим вы пропустили формулу $ \Delta t = (b-a)/N $, иначе выражение $ \lim\limits_{N\to \infty} \Delta t = 0$ было бы вам очевидно?

-- 23.11.2016, 16:44 --

Brukvalub в сообщении #1171211 писал(а):

(Оффтоп)

nazarov_m, я, вдруг, понял, что уже час как БЕСПЛАТНО! репетирую с вами математический анализ! Хватит, дальше закрывайте дыры в вашем "образовании" без меня.

(Оффтоп)

На мой взгляд вы не матанализ репетируете, а придираетесь не по делу, вместо того чтобы затребовать более подробного вывода. При этом в безапелляционной форме постулируете неверность решения. Это как минимум не вежливо с вашей стороны. Получив подробный вывод начинаете придираться к очевидным логическим переходам.

[Red_Herring]

nazarov_m в сообщении #1171213 писал(а):

На мой взгляд вы не матанализ репетируете, а придираетесь не по делу, вместо того чтобы затребовать более подробного вывода. При этом в безапелляционной форме постулируете неверность решения. Это как минимум не вежливо с вашей стороны. Получив подробный вывод начинаете придираться к очевидным логическим переходам.

Вопросы: Что такое кривая? И что такое длина кривой? И для каких кривых ваш вывод работает?

Без ответа на эти вопросы Ваше "доказательство" будет кривым