2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Как можно и как нельзя - о длине кривой
Сообщение23.11.2016, 15:31 


15/06/15
51
Москва
Ну например эту формулу можно вывести так (длина складывается как сумма отрезков, образующих кривую):
$ Len(f) = \lim\limits_{N\to\infty}\sum\limits_{i=1}^N \bigg|f(t_i)-f(t_{i-1})\bigg|=\lim\limits_{N\to\infty}\sum\limits_{i=1}^N \left|\frac{f(t_i)-f(t_{i-1})}{\Delta t}\right|\Delta t=\int\limits_a^b \Big|f'(t)\Big|\ dt.$
Кривые обычно задаются параметрически. В вашем случае видимо подразумевается, что $ y=f(t), x=t  $.

 Профиль  
                  
 
 Re: Длина кривой
Сообщение23.11.2016, 15:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
12806
Москва
nazarov_m в сообщении #1171164 писал(а):
Ну например эту формулу можно вывести так (длина складывается как сумма отрезков, образующих кривую):
$ Len(f) = \lim\limits_{N\to\infty}\sum\limits_{i=1}^N \bigg|f(t_i)-f(t_{i-1})\bigg|=\lim\limits_{N\to\infty}\sum\limits_{i=1}^N \left|\frac{f(t_i)-f(t_{i-1})}{\Delta t}\right|\Delta t=\int\limits_a^b \Big|f'(t)\Big|\ dt.$

Это нужно поместить в рамочку с комментарием: "Вот что бывает, когда кто-то, ни бельмеса не понимающий, пытается учить других". :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Длина кривой
Сообщение23.11.2016, 15:42 


15/06/15
51
Москва
Brukvalub в сообщении #1171166 писал(а):
nazarov_m в сообщении #1171164 писал(а):
Ну например эту формулу можно вывести так (длина складывается как сумма отрезков, образующих кривую):
$ Len(f) = \lim\limits_{N\to\infty}\sum\limits_{i=1}^N \bigg|f(t_i)-f(t_{i-1})\bigg|=\lim\limits_{N\to\infty}\sum\limits_{i=1}^N \left|\frac{f(t_i)-f(t_{i-1})}{\Delta t}\right|\Delta t=\int\limits_a^b \Big|f'(t)\Big|\ dt.$

Это нужно поместить в рамочку с комментарием: "Вот что бывает, когда кто-то, ни бельмеса не понимающий, пытается учить других". :D

И что же вам так не нравится, не достаточно подробно расписано, или вывод не строгий? Могу расписать подробнее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Длина кривой
Сообщение23.11.2016, 15:45 
Заслуженный участник


14/01/11
1052

(Оффтоп)

Brukvalub в сообщении #1171166 писал(а):
Это нужно поместить в рамочку с комментарием: "Вот что бывает, когда кто-то, ни бельмеса не понимающий, пытается учить других". :D

Но ведь с другой стороны
Дуглас Адамс писал(а):
Когда вам хочется что-то по-настоящему понять, нет лучшего способа, чем попытаться втолковать это кому-то другому.
:-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Длина кривой
Сообщение23.11.2016, 15:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
12806
Москва
nazarov_m в сообщении #1171176 писал(а):
И что же вам так не нравится

Мне не нравится, когда длина единичного отрезка $x=t , 0\leq t\leq 1, y=f(t)=0$ становится равной нулю, когда некомпетентные люди лезут отвечать, и когда за шиворот попадает снег.

-- Ср ноя 23, 2016 15:50:17 --

nazarov_m в сообщении #1171181 писал(а):
По определению можно считать длину равной пределу сумм отрезков, на которые разбивается кривая, при мелкости разбиения стремящейся к нулю.

Отрезок - это множество точек, а длина - это ЧИСЛО! Хватит нести чушь!

 Профиль  
                  
 
 Re: Длина кривой
Сообщение23.11.2016, 15:51 


15/06/15
51
Москва
Brukvalub в сообщении #1171185 писал(а):
nazarov_m в сообщении #1171176 писал(а):
И что же вам так не нравится

Мне не нравится, когда длина единичного отрезка $x=t , 0\leq t\leq 1, y=f(t)=0$ становится равной нулю, когда некомпетентные люди лезут отвечать, и когда за шиворот попадает снег.

-- Ср ноя 23, 2016 15:50:17 --

nazarov_m в сообщении #1171181 писал(а):
По определению можно считать длину равной пределу сумм отрезков, на которые разбивается кривая, при мелкости разбиения стремящейся к нулю.

Отрезок - это множество точек, а длина - это ЧИСЛО! Хватит нести чушь!

Хм, и как же она там станет равной нулю? Вы может быть там знака модуля не заметили, или считаете что модуль от вектора возьмётся как-то по особому?

Да, пропустил слово, большая беда, от этого смыл радикально исказился. Пределу сумм длин отрезков.

 Профиль  
                  
 
 Re: Длина кривой
Сообщение23.11.2016, 15:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
12806
Москва
nazarov_m в сообщении #1171187 писал(а):
Вы может быть там знака модуля не заметили, или считаете что модуль от вектора возьмётся как-то по особому?

Я старенький, слепенький, я там и вектора-то не заметил! :D Зато заметил, что вы начали выкручиваться, пытаясь оправдать написанные глупости.

 Профиль  
                  
 
 Re: Длина кривой
Сообщение23.11.2016, 15:58 


15/06/15
51
Москва
Brukvalub в сообщении #1171189 писал(а):
nazarov_m в сообщении #1171187 писал(а):
Вы может быть там знака модуля не заметили, или считаете что модуль от вектора возьмётся как-то по особому?

Я старенький, слепенький, я там и вектора-то не заметил! :D Зато заметил, что вы начали выкручиваться, пытаясь оправдать написанные глупости.

А как мне ещё прикажите записать эту формулу в общем виде? Если это расписанный модуль вектора, то понятно откуда корень и квадраты в итоговой формуле для случая $y = f(x)$. И нету тут никаких глупостей, это стандартный способ доказательства данной формулы. Если сами не знаете, то может быть не стоит сразу бочку катить?

 Профиль  
                  
 
 Re: Длина кривой
Сообщение23.11.2016, 15:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
12806
Москва
nazarov_m в сообщении #1171181 писал(а):
По определению можно считать длину равной пределу сумм длин отрезков, на которые разбивается кривая

На отрезки можно разбить только ЛОМАНУЮ, попробуйте разбить на отрезки окружность :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Длина кривой
Сообщение23.11.2016, 16:19 


15/06/15
51
Москва
Надоело спорить, распишу полностью.
Пусть дана функция $ \bold{f} : [a, b] \rightarrow R^2  $. Введем разбиение отрезка $ t_{i} = a + \Delta t \cdot i $, где $ \Delta t = (b-a)/N $, а индексы $i=0,\ldots,N$.
Мы можем разбить нашу кривую на дуги, а вместо длин дуг использовать длины отрезков, сведя задачу к простому суммированию длин отрезков.
$$ Len(\bold{f}) = \lim\limits_{N\to\infty}\sum\limits_{i=1}^N \bigg|\bold{f}(t_i)-\bold{f}(t_{i-1})\bigg|=\lim\limits_{N\to\infty}\sum\limits_{i=1}^N \left|\frac{\bold{f}(t_i)-\bold{f}(t_{i-1})}{\Delta t}\right|\Delta t=\int\limits_a^b \Big|\bold{f}'(t)\Big|\ dt = \int\limits_a^b  \sqrt{\bold{f}'_{x}^{2}(t) + \bold{f}'_{y}^{2}(t)  } \ dt.$$

И вот в той версии формулы подразумевается что $ \bold f = (t,u(t))$, что и даёт первую формулу от топикстартера.

-- 23.11.2016, 16:20 --

Brukvalub в сообщении #1171191 писал(а):
nazarov_m в сообщении #1171181 писал(а):
По определению можно считать длину равной пределу сумм длин отрезков, на которые разбивается кривая

На отрезки можно разбить только ЛОМАНУЮ, попробуйте разбить на отрезки окружность :D

Опять не по существу замечание. Да кривая разбивается на дуги, а эти дуги мы можем приблизить отрезками. Суммировать длины дуг --- это бред, в пределе суммирование длин отрезков даст нам длину кривой и всё будет прекрасно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Длина кривой
Сообщение23.11.2016, 16:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
12806
Москва
nazarov_m в сообщении #1171203 писал(а):
Опять не по существу замечание. Да кривая разбивается на ломанные

Ну я же предлагал: разбейте окружность на ломаные! :D Вы даже после указания на ваши ошибки делаете те же самые ошибки, это весьма печально...
Без подробного обоснования вот этого перехода:
nazarov_m в сообщении #1171203 писал(а):
$$...\lim\limits_{N\to\infty}\sum\limits_{i=1}^N \left|\frac{\bold{f}(t_i)-\bold{f}(t_{i-1})}{\Delta t}\right|\Delta t=\int\limits_a^b \Big|\bold{f}'(t)\Big|\ dt....$$

все вами написанное выглядит совсем неубедительно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Длина кривой
Сообщение23.11.2016, 16:30 


15/06/15
51
Москва
Brukvalub в сообщении #1171206 писал(а):
nazarov_m в сообщении #1171203 писал(а):
Опять не по существу замечание. Да кривая разбивается на ломанные

Ну я же предлагал: разбейте окружность на ломаные! :D Вы даже после указания на ваши ошибки делаете те же самые ошибки, это весьма печально...
Без подробного обоснования вот этого перехода:

Описался выше. Разбивается на дуги, а дуги приблизим отрезками. Всё нормально, и с окружностью тоже работает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Длина кривой
Сообщение23.11.2016, 16:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
12806
Москва

(Оффтоп)

nazarov_m, я, вдруг, понял, что уже час как БЕСПЛАТНО! репетирую с вами математический анализ! :cry: Хватит, дальше закрывайте дыры в вашем "образовании" без меня. :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Длина кривой
Сообщение23.11.2016, 16:36 


15/06/15
51
Москва
Brukvalub в сообщении #1171206 писал(а):
Без подробного обоснования вот этого перехода:
nazarov_m в сообщении #1171203 писал(а):
$$...\lim\limits_{N\to\infty}\sum\limits_{i=1}^N \left|\frac{\bold{f}(t_i)-\bold{f}(t_{i-1})}{\Delta t}\right|\Delta t=\int\limits_a^b \Big|\bold{f}'(t)\Big|\ dt....$$

все вами написанное выглядит совсем неубедительно.

Ну положим вы пропустили формулу $ \Delta t = (b-a)/N $, иначе выражение $ \lim\limits_{N\to \infty} \Delta t  = 0$ было бы вам очевидно?

-- 23.11.2016, 16:44 --

Brukvalub в сообщении #1171211 писал(а):

(Оффтоп)

nazarov_m, я, вдруг, понял, что уже час как БЕСПЛАТНО! репетирую с вами математический анализ! :cry: Хватит, дальше закрывайте дыры в вашем "образовании" без меня. :D

(Оффтоп)

На мой взгляд вы не матанализ репетируете, а придираетесь не по делу, вместо того чтобы затребовать более подробного вывода. При этом в безапелляционной форме постулируете неверность решения. Это как минимум не вежливо с вашей стороны. Получив подробный вывод начинаете придираться к очевидным логическим переходам.

 Профиль  
                  
 
 Re: Длина кривой
Сообщение23.11.2016, 18:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
6816
Hogtown
nazarov_m в сообщении #1171213 писал(а):
На мой взгляд вы не матанализ репетируете, а придираетесь не по делу, вместо того чтобы затребовать более подробного вывода. При этом в безапелляционной форме постулируете неверность решения. Это как минимум не вежливо с вашей стороны. Получив подробный вывод начинаете придираться к очевидным логическим переходам.

Вопросы: Что такое кривая? И что такое длина кривой? И для каких кривых ваш вывод работает?

Без ответа на эти вопросы Ваше "доказательство" будет кривым

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 34 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Brukvalub


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group