2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Re: Квантовая механика в школе
Сообщение15.06.2017, 00:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
7196
Hogtown
fred1996 в сообщении #1225529 писал(а):
Но вот переход к сферической симметрии как раз и является камнем преткновения

А для этого многомерный гармонический осциллятор и нужен. У него перемденные хорошо разделяются, причем как декартовы, так и сферические. И из-за первого с.ф. выписываются через произведения . функций Эрмита

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовая механика в школе
Сообщение15.06.2017, 01:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/13
1657
Москва
Red_Herring в сообщении #1225526 писал(а):
Зато с многомерным гармоническим осциллятором собственные значения и функции очень простые.

Да, вот с этим не поспоришь.
Red_Herring в сообщении #1225526 писал(а):
Ну, волновые функции простые ($\sin kx, \cos kx $ при $|x|<a$, $e^{-\ell |x|} $ при $|x|>a$, что гораздо проще спецфункций (там же нужны и Лагранж, и Лагер).

Ну, полиномы Лагерра выписывать легко и приятно. Никто ведь не заставляет приводить общую формулу для них! А вот Лагранжа Вы упомянули - я что-то запамятовал... Помнится, там какая-то гипергеометрия вылезает... Жуть, конечно, это правда.

В общем, наверное, Вы правы, прямоугольная яма не такая плохая. Мне сначала не понравилось то, что получается функция, из кусков составленная. В школе такие могут и не встречаться до того. Ну, пусть посмотрят. Хотя о чём это я? Кто бы стал это школьникам показывать? Нынешние школьные учителя?..

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовая механика в школе
Сообщение15.06.2017, 01:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
7196
Hogtown
Metford в сообщении #1225536 писал(а):
Лагранжа

Mille pardo, Лежандр

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовая механика в школе
Сообщение15.06.2017, 04:05 
Аватара пользователя


09/10/15
1977
San Jose, USA
Red_Herring в сообщении #1225531 писал(а):
fred1996 в сообщении #1225529 писал(а):
Но вот переход к сферической симметрии как раз и является камнем преткновения

А для этого многомерный гармонический осциллятор и нужен. У него перемденные хорошо разделяются, причем как декартовы, так и сферические. И из-за первого с.ф. выписываются через произведения . функций Эрмита


Ну да, ну да.
Собственые функции, собственные значения, ортонормированные базисы в бесконечномерных гильбертовых пространствах, спектральная теория самосопраженных операторов...
Я понимаю, как все это красиво и греет душу.
Но перед вами дети!
Эти дети еще толком не проходили курс линейной алгебры.
Для них разложение Фурье и стоячие волны в струне - это пока верх математической абстракции.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовая механика в школе
Сообщение15.06.2017, 04:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
7196
Hogtown
fred1996 в сообщении #1225558 писал(а):
Собственые функции, собственные значения, ортонормированные базисы в бесконечномерных гильбертовых пространствах, спектральная теория самосопраженных операторов...
Я понимаю, как все это красиво и греет душу.
Не надо громких слов. Просто если разбирать сферически симметричное уравнение Шрёдингера, то гармонический осциллятор проще, чем водород.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовая механика в школе
Сообщение15.06.2017, 06:07 
Аватара пользователя


09/10/15
1977
San Jose, USA
Ну разве что осциллятор.

Но в любом случае сферически симметричный Шредингер - это и есть та абстракция, об которую все ломается.
Дети умеют преобразовывать системы координат, но они еще не поимают реально, что такое частные производные. В терминах стандартного американского образования это Stewart, из которого в продвинутых школах проходят первую половину. А вторая половина даже издается отдельно, наверное чтобы не пугать преждевременно и все-таки изучается исключительно в ВУЗах.
Я не знаю ни одного школьника, кто бы реально понял, как из трехмерного Шредингера получить сферического, даже если им это расписать.
Лично проверял.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовая механика в школе
Сообщение15.06.2017, 07:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
7196
Hogtown
fred1996 в сообщении #1225567 писал(а):
то бы реально понял, как из трехмерного Шредингера получить сферического, даже если им это расписать.
Я расписываю через квадратичные формы. Немного сложнее теоретически, зато без громоздких вычислений. Впрочем, у меня речь идет о третьекурсниках (но не математиках: физиках, астрономах, химиках, статистиках, ...).

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовая механика в школе
Сообщение15.06.2017, 07:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/13
1657
Москва
Red_Herring в сообщении #1225571 писал(а):
Я расписываю через квадратичные формы.

Можно полюбопытствовать насчёт деталей? В моём представлении там обычное разделение переменных в сферических координатах делается и фактически главным образом требуется лапласиан в этих координатах. Если его знать, то ничего особенного не остаётся (я помню, что речь о школьниках изначально шла). Как использовать здесь квадратичные формы? Действительно, интересно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовая механика в школе
Сообщение15.06.2017, 07:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
7196
Hogtown
Metford в сообщении #1225572 писал(а):
фактически главным образом требуется лапласиан в этих координатах
Разумеется. Но можно тупо делать замену координат во вторых производных (громоздко и легло ошибиться), а можно:
\begin{multline*} \iiint \Delta u\cdot v \,dxdydz = - \iiint \nabla u\cdot \nabla v \,dxdydz =\\ 
-\iiint \Bigl(u_r v_r + r^{-2} u_\phi v_\phi + r^{-2}\sin^{-2}(\phi) u_\theta v_\theta\Bigr) r^2 \sin (\phi)\,drd\theta \phi = \\
\iiint \Bigl( (r^2 \sin (\phi) u_r)_r +  (\sin (\phi)u_\phi )_\phi + (\sin^{-1}(\phi)u_\theta)_\theta\Bigr) u\cdot v\, drd\phid\theta =
 \iiint \Lambda u\cdot v  r^2\sin(\phi)\,drd\phid\theta\end{multline*}
где
\begin{multline*}\Lamba u =   r^{-2}\sin^{-1}(\phi)\Bigl( (r^2 \sin (\phi) u_r)_r +  (\sin (\phi)u_\phi )_\phi + (\sin^{-1}(\phi)u_\theta)_\theta\Bigr) u=\\
(r^2u_r)_r + r^{-2}\sin^{-1}(\phi)  (\sin (\phi)u_\phi )_\phi+ r^{-2}\sin^{-2}(\phi)u_{\theta\theta}\end{multline*}

В американской традиции $\phi$ и $\theta$ местами меняются, да и $\rho$ вместо $r$

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовая механика в школе
Сообщение15.06.2017, 09:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/16
1217
Metford в сообщении #1225524 писал(а):
А для прямоугольной ямы конечной глубины и число связанных состояний ищется довольно громоздко, и волновые функции так себе.

А можно взять более простую модель: прямоугольная яма конечной величины с одной бесконечной стенкой. Там, конечно, выражения для энергии связанных состояний получаются из жуткого и напрямую нерешаемого уравнения, но зато:
  • эта модель показывает (как, конечно? и яма с 2мя конечными стенками), что внутри ямы может и не быть дискретных уровней (типа, хоть потенциал и позволяет, но система не может образовать даже одно связанное состояние);
  • школьников можно заставить поанализировать уравнение для энергий ручками (а чО, пущай тренируют скиллы, нефиг фсё на калькуляторах графики стоить :lol: );
  • эта система является кривой диссоциации двухатомной молекулы, изображённой кубистами, т.е. у неё есть реальный химический прообраз (в отличие от простой ямы).
Ещё можно взять в качестве примера уравнение для 2-мерного жёсткого волчка. Там тоже приложений можно найти: это модель вращения каких-то кусков молекулы, и (одновременно) движения электрона в кольцевых $\pi$-системах. И в обоих случаях можно даже привести сравнение с экспериментальными данными (с ИК-спектрами и с УФ-спектрами, соответственно). :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовая механика в школе
Сообщение15.06.2017, 09:42 
Заслуженный участник


28/12/12
4524
madschumacher в сообщении #1225588 писал(а):
А можно взять более простую модель: прямоугольная яма конечной величины с одной бесконечной стенкой.

Так мы просто выберем антисимметричные функции вдвое более широкой ямы со стенками одинаковой высоты.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовая механика в школе
Сообщение15.06.2017, 09:49 
Аватара пользователя


09/10/15
1977
San Jose, USA
Ладно, господа, вижу я, далеки вы от народа... :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовая механика в школе
Сообщение15.06.2017, 09:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/16
1217
DimaM в сообщении #1225589 писал(а):
Так мы просто выберем антисимметричные функции вдвое более широкой ямы со стенками одинаковой высоты.

А зачем? Извините, я просто не очень понял... :?

(2 fred1996)

fred1996, смотря от какого Народа. :lol: Учитывая Ваше географическое положение, в евклидовой метрике в 3D пространстве, лично я сравнительно далёк. Но вот к Народу, который вокруг меня непосредственно, я очень даже близко. :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовая механика в школе
Сообщение15.06.2017, 10:08 
Заслуженный участник


28/12/12
4524
madschumacher в сообщении #1225593 писал(а):
А зачем? Извините, я просто не очень понял..

Я к тому, что состояния в такой яме с одной бесконечной стенке - это подмножество состояний в яме удвоенной ширины с одинаковыми стенками (антисимметричные, с узлом в середине).

 Профиль  
                  
 
 Re: Квантовая механика в школе
Сообщение15.06.2017, 10:16 
Аватара пользователя


09/10/15
1977
San Jose, USA
madschumacher

(Оффтоп)

Разрешите полюбопытствовать, а какой возраст вашего окружения? Я не имею ввиду ваших приятелей, а тех, кому вы преподаете вышеизложенное вами. Наш канадский друг честно признался, что это 3-й курс естественных наук, но никак не школьный уровень математической подготовки.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 71 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.

Модераторы: Модераторы, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group