Предел минимального собственного числа матрицы

[prof.uskov]

Задана симметрическая положительно определенная матрица $A$.
Ее элементы являются функциями целого положительного параметра $N$, т.е. $a_{i, j}(N)$
Как наиболее просто доказать, что из $N\rightarrow + \infty$
следует $\lambda_{min} \rightarrow + \infty$, где $\lambda_{min}$ - наименьшее собственное число матрицы $A$.
Какие неравенства необходимо проверить?

Идея решения такая. Достаточно просто можно найти некоторые матричные нормы и, возможно, из $\lvert\lvert A \lvert\lvert \rightarrow + \infty$ будет следовать $\lambda_{min} \rightarrow + \infty$.

[Slav-27]

prof.uskov в сообщении #1170374 писал(а):

Как наиболее просто доказать, что из $N\rightarrow + \infty$
следует $\lambda_{min} \rightarrow + \infty$, где $\lambda_{min}$ - наименьшее собственное число матрицы $A$.

Это неверно: берём константную матрицу...

[Xaositect]

Надо не норму, а наоборот, $\mathrm{inf} \frac{\|Ax\|}{\|x\|}$

[prof.uskov]

Xaositect в сообщении #1170393 писал(а):

Надо не норму, а наоборот, $\mathrm{inf} \frac{\|Ax\|}{\|x\|}$

Это отношение найти уже сложнее. И вообще двойной предел получается.

-- 20.11.2016, 22:00 --

Slav-27 в сообщении #1170392 писал(а):

prof.uskov в сообщении #1170374 писал(а):

Как наиболее просто доказать, что из $N\rightarrow + \infty$
следует $\lambda_{min} \rightarrow + \infty$, где $\lambda_{min}$ - наименьшее собственное число матрицы $A$.

Это неверно: берём константную матрицу...

Что неверно? Может быть, я несовсем ясно сформулировал, необходимо проверить для заданных функций $a_{i, j}(N)$ - элементов матрицы.

[Otta]

prof.uskov в сообщении #1170394 писал(а):

Что неверно?

Без дополнительных требований это неверно. Возьмите единичную матрицу. Ее минимальное с.з. не стремится к бесконечности.

Не нравится? Возьмите диагональную матрицу $\operatorname{diag}\{N,1/N\}$.

Да, неясно сформулировали. Самое точное условие привел Xaositect. Норма в Вашем случае отвечает за максимальное с.з. От того, что оно будет сколь угодно большим, минимальное таким же быть не обязано.

[Xaositect]

Может, приведете пример матрицы?

[prof.uskov]

Otta в сообщении #1170397 писал(а):

prof.uskov в сообщении #1170394 писал(а):

Что неверно?

Без дополнительных требований это неверно. Возьмите единичную матрицу. Ее минимальное с.з. не стремится к бесконечности.

Не нравится? Возьмите диагональную матрицу $\operatorname{diag}\{N,1/N\}$.

Задача состоит как раз в том, чтобы получить простое достаточное условие, позволяющее определять выполняется это для данной матрицы или нет.

[Евгений Машеров]

Никак. Утверждение неверно.
Пусть $a_{i,j}=N$
Тогда все её с.з., кроме одного, будут нулями при любых N

[prof.uskov]

Евгений Машеров в сообщении #1170402 писал(а):

Никак. Утверждение неверно.
Пусть $a_{i,j}=N$
Тогда все её с.з., кроме одного, будут нулями при любых N

Я плохо сформулировал, сейчас подумаю, как это понятней сделать.

-- 20.11.2016, 23:07 --

Более ясная формулировка...

Задана симметрическая положительно определенная матрица $A$.
Ее элементы являются функциями целого положительного параметра $N$, т.е. $a_{i, j}(N)$
- такая матрица нам задана, мы ее не выбираем.

Необходимо проверить будет ли при $N\rightarrow + \infty$ выполняться $\lambda_{min} \rightarrow + \infty$, где $\lambda_{min}$ - наименьшее собственное число матрицы $A$.
Проверка должна быть простой, пускай это будет лишь достаточное условие.

[Евгений Машеров]

В любом случае утверждение неверно. Элементы матрицы могут расти как угодно, но если есть линейная зависимость, минимальное с.з. будет ноль.

[prof.uskov]

Евгений Машеров в сообщении #1170426 писал(а):

В любом случае утверждение неверно. Элементы матрицы могут расти как угодно, но если есть линейная зависимость, минимальное с.з. будет ноль.

Какое утверждение неверное? Мы ничего не утверждаем, вроде бы, мы хотим проверить, как ведет себя минимальное собственное число при росте N.

[Someone]

prof.uskov в сообщении #1170427 писал(а):

Какое утверждение неверное, мы ничего не утверждаем, вроде бы.

prof.uskov в сообщении #1170374 писал(а):

из $N\rightarrow + \infty$
следует $\lambda_{min} \rightarrow + \infty$, где $\lambda_{min}$ - наименьшее собственное число матрицы $A$.

[prof.uskov]

Евгений Машеров в сообщении #1170426 писал(а):

В любом случае утверждение неверно. Элементы матрицы могут расти как угодно, но если есть линейная зависимость, минимальное с.з. будет ноль.

Элементы матрицы в виде функций от N нам заданы.

[Slav-27]

Насколько я понимаю, дело вот в чём. У prof.uskov'а есть какие-то определённые функции, для которых он знает, что утверждение верно. Эти функции он нам не говорит по соображениям секретности. А хочет он, чтобы ему подсказали способ, который он на своих функциях в одиночестве попробует, и обрадуется, если у него получится.

[Vince Diesel]

prof.uskov в сообщении #1170403 писал(а):

Ее элементы являются функциями целого положительного параметра $N$, т.е. $a_{i, j}(N)$

Возможно, проще было сказать, что есть некоторая последовательность матриц $A_N$. Норма Фробениуса

$$\|A\|_2=\sqrt{\sum_{i,j=1}^n a_{ij}^2}$$

дает наибольшее собственное значение матрицы $A$ нужного вида. Так что критерием будет $\lim_{N\to\infty}\|A_N^{-1}\|_2=0$.