2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Предел минимального собственного числа матрицы
Сообщение20.11.2016, 22:34 
Аватара пользователя


12/01/14
1127
Дело в том, что достаточное условие должно работать для любой матрицы.
Пример матрицы для проверки, если так хотите:
$\left( \begin{array}{cc} N & \sum\limits_{i=1}^{N}}{{i} \\ \sum\limits_{i=1}^{N}}{{i} & \sum\limits_{i=1}^{N}}{{i^2} \end{array} \right)$

-- 20.11.2016, 23:35 --

Vince Diesel в сообщении #1170439 писал(а):
Так что критерием будет $\lim_{N\to\infty}\|A_N^{-1}\|_2=0$.

Это сложно, нужно обратную матрицу искать.

-- 20.11.2016, 23:44 --

Slav-27 :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел минимального собственного числа матрицы
Сообщение20.11.2016, 22:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
prof.uskov в сообщении #1170440 писал(а):
Дело в том, что достаточное условие должно работать для любой матрицы.

Тяжелый случай... ТС не понимает смысла термина "достаточное условие", но пытается его использовать. Кроме того, он не может внятно сформулировать задачу, поскольку сам не понимает, чего он хочет.
Пора звать штатных экстрасенсов! :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел минимального собственного числа матрицы
Сообщение20.11.2016, 22:55 
Аватара пользователя


12/01/14
1127
Brukvalub в сообщении #1170448 писал(а):
prof.uskov в сообщении #1170440 писал(а):
Дело в том, что достаточное условие должно работать для любой матрицы.

Тяжелый случай... ТС не понимает смысла термина "достаточное условие", но пытается его использовать. Кроме того, он не может внятно сформулировать задачу, поскольку сам не понимает, чего он хочет.
Пора звать штатных экстрасенсов! :D

Достаточное условие, чтобы $\lambda_{min} \rightarrow + \infty$, т.е. я предполагаю, что может существовать матрица А, для которой будет $\lambda_{min} \rightarrow + \infty$, но проверка условия для нее будет давать отрицательный результат.

Когда я писал "Дело в том, что достаточное условие должно работать для любой матрицы" я подразумевал, что любую матрицу в него можно подставить, т.е. с любыми функциями и любой размерности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел минимального собственного числа матрицы
Сообщение20.11.2016, 23:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9496
Москва
Поиграю в Вольфа Мессинга. Матрица не просто положительно определённая, а матрица Грама. А таинственный N это большая размерность матрицы, перемножением которой на себя получается матрица Грама. Но стремления минимального с.з. к бесконечности не гарантируется, лишь его неубывание.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел минимального собственного числа матрицы
Сообщение20.11.2016, 23:09 
Аватара пользователя


12/01/14
1127
Евгений Машеров в сообщении #1170453 писал(а):
Поиграю в Вольфа Мессинга. Матрица не просто положительно определённая, а матрица Грама. А таинственный N это большая размерность матрицы, перемножением которой на себя получается матрица Грама. Но стремления минимального с.з. к бесконечности не гарантируется, лишь его неубывание.

Честно говоря ничего не понял. Но что-то умное. :)
Я привел пример матрицы для проверки. Кстати, Евгений Машеров, Вы-то должны догадаться откуда она взята?!

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел минимального собственного числа матрицы
Сообщение21.11.2016, 00:26 
Заслуженный участник


16/02/13
4105
Владивосток
А какие размерности у ваших матриц? Для приведённой вами проще всего, как по мне, таки записать выражение для корней, хоть оно и будет зубодробительным. Что может быть сильно проще — как-то не верю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел минимального собственного числа матрицы
Сообщение21.11.2016, 00:31 
Аватара пользователя


12/01/14
1127
iifat в сообщении #1170465 писал(а):
А какие размерности у ваших матриц? Для приведённой вами проще всего, как по мне, таки записать выражение для корней, хоть оно и будет зубодробительным. Что может быть сильно проще — как-то не верю.

В общем случае любой. Для размерности 1 решение тривиально. Получается, для размерности 2 уже имеются значительные сложности?

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел минимального собственного числа матрицы
Сообщение21.11.2016, 00:33 
Заслуженный участник


05/08/14
1564
iifat в сообщении #1170465 писал(а):
Для приведённой вами проще всего, как по мне, таки записать выражение для корней, хоть оно и будет зубодробительным.

Учитывая чему равны суммы, предел считается без проблем.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел минимального собственного числа матрицы
Сообщение21.11.2016, 00:59 
Аватара пользователя


12/01/14
1127
Для матрицы $\left( \begin{array}{cc} N & \sum\limits_{i=1}^{N}}{{i} \\ \sum\limits_{i=1}^{N}}{{i} & \sum\limits_{i=1}^{N}}{{i^2} \end{array} \right)$
получается характеристическое уравнение, если я не напутал
$\lambda{^2}-\lambda(N+\sum\limits_{i=1}^{N}}{{i^2})+(N\sum\limits_{i=1}^{N}{i}-(\sum\limits_{i=1}^{N}}{{i^2})^2)=0$
Как не решая показать, что при $N\rightarrow + \infty$ будет $\lambda \rightarrow + \infty ?$

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел минимального собственного числа матрицы
Сообщение21.11.2016, 01:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
prof.uskov в сообщении #1170470 писал(а):
если я не напутал
$\lambda{^2}-\lambda(N+\sum\limits_{i=1}^{N}}{{i^2})+(N\sum\limits_{i=1}^{N}{i}-(\sum\limits_{i=1}^{N}}{{i^2})^2)=0$
Конечно, напутали.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел минимального собственного числа матрицы
Сообщение21.11.2016, 01:22 
Аватара пользователя


12/01/14
1127
Someone в сообщении #1170472 писал(а):
prof.uskov в сообщении #1170470 писал(а):
если я не напутал
$\lambda{^2}-\lambda(N+\sum\limits_{i=1}^{N}}{{i^2})+(N\sum\limits_{i=1}^{N}{i}-(\sum\limits_{i=1}^{N}}{{i^2})^2)=0$
Конечно, напутали.

Одну опечатку нашел
$\lambda{^2}-\lambda(N+\sum\limits_{i=1}^{N}}{{i^2})+(N\sum\limits_{i=1}^{N}{i^2}-(\sum\limits_{i=1}^{N}}{{i^2})^2)=0$

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел минимального собственного числа матрицы
Сообщение21.11.2016, 01:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Ну, кстати, можно посмотреть на коэффициенты характеристического многочлена. Если $\sigma_k(\vec{\lambda})$ большие, то и все $\lambda_i$ будут большие.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел минимального собственного числа матрицы
Сообщение21.11.2016, 05:44 
Заслуженный участник


16/02/13
4105
Владивосток
prof.uskov в сообщении #1170470 писал(а):
получается характеристическое уравнение
Ну, дальше же ж. $\sum\limits_{i=1}^Ni=\frac{N(N+1)}2$. И т.п.
Кстати, корни при росте $N$ получаются разных знаков. Вас интересует минимальное по модулю, или минимальное число?

-- 21.11.2016, 13:01 --

prof.uskov в сообщении #1170466 писал(а):
значительные
Ну, значительные или нет — смотреть надо конкретно.
Xaositect в сообщении #1170475 писал(а):
Если $\sigma_k(\vec{\lambda})$ большие, то и все $\lambda_i$ будут большие
Вот этого не понял. Фиксируем корень $0,1$, а второй устремляем к $+\infty$ — разве $\sigma_{1,2}$ не будут расти?

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел минимального собственного числа матрицы
Сообщение21.11.2016, 08:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9496
Москва
Xaositect в сообщении #1170475 писал(а):
Ну, кстати, можно посмотреть на коэффициенты характеристического многочлена. Если $\sigma_k(\vec{\lambda})$ большие, то и все $\lambda_i$ будут большие.


Вовсе не обязательно. Отчего бы уравнению с большими коэффициентами не иметь один малый корень?

-- 21 ноя 2016, 08:49 --

prof.uskov в сообщении #1170454 писал(а):
Кстати, Евгений Машеров, Вы-то должны догадаться откуда она взята?!


Ну, регрессию Вы считаете,

(Оффтоп)

не бином Ньютона и я не Мориарти
. $X^TX$ - матрица Грама, полученная перемножением матрицы Х на себя же, но транспонированную. Вы желаете, чтобы при пополнении набора данных мультиколлинеарность сама собою уходила. Не будет. Вообще говоря, минимальное собственное значение не обязано расти. Неубывать - будет. По оценкам для собственных значений суммы матриц. Но не более. Может оставаться тем же.

-- 21 ноя 2016, 08:51 --

iifat в сообщении #1170491 писал(а):
Кстати, корни при росте $N$ получаются разных знаков. Вас интересует минимальное по модулю, или минимальное число?


Не должно. Матрица должна быть положительно определённой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел минимального собственного числа матрицы
Сообщение21.11.2016, 10:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Евгений Машеров в сообщении #1170510 писал(а):
Вовсе не обязательно. Отчего бы уравнению с большими коэффициентами не иметь один малый корень?
Да, Вы правы, там тоже максимальный корень.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 42 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group