2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Неравенство с квадратными корнями
Сообщение20.11.2016, 16:25 


25/08/11

1074
Доказать неравенство
$$
\sqrt{2\sqrt{3\dots\sqrt{n}}} < 3.
$$
Я увидел на другом форуме относительно элементарное решение методом обратной индукции - но сложно до такого догадаться, там доказывается другое неравенство, а не данное. Увидел решения через ряды-тоже не совсем тривиальные, так как логарифмирование и стандартная грубая оценка логарифма дают худшую постоянную.
Вопрос: всё-таки у этого неравенства есть несложное простое доказательство?

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство с квадратными корнями
Сообщение20.11.2016, 18:02 
Заслуженный участник


25/02/11
1786
Можно воспользоваться неравенством $n\leq 2^{n/2}$, справедливым для всех натуральных $n\ne3$.

PS. Ну а дальше через ряды. Не знаю, имели ли вы в виду это доказательство.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство с квадратными корнями
Сообщение20.11.2016, 22:16 


30/03/08
196
St.Peterburg
sergei1961 в сообщении #1170335 писал(а):
Доказать неравенство
$$
\sqrt{2\sqrt{3\dots\sqrt{n}}} < 3.
$$
Я увидел на другом форуме относительно элементарное решение методом обратной индукции - но сложно до такого догадаться, там доказывается другое неравенство, а не данное. Увидел решения через ряды-тоже не совсем тривиальные, так как логарифмирование и стандартная грубая оценка логарифма дают худшую постоянную.
Вопрос: всё-таки у этого неравенства есть несложное простое доказательство?



$$A= 2^{1/2}3^{1/4}\cdot  ... \cdot n^{1/2^{n-1}} \ge \sqrt{2} \cdot (2\cdot4)^{1/8}\cdot \ ... \ \cdot \left( (n-1) \cdot (n+1) \right) ^{1/2^n}= \sqrt{2}\cdot \dfrac{\sqrt[4]{A}}{n^{1/2^{n+1}}}\cdot \dfrac{A}{\sqrt{2}\cdot\sqrt[4]{3}} \cdot (n+1)^{1/2^n}$$

$$A \le 3 \cdot \left ( \dfrac{n}{n+1} \right )^{1/2^{n-1}}\cdot  \dfrac{1}{(n+1)^{1/2^{n-1}}}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство с квадратными корнями
Сообщение21.11.2016, 00:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5002
ФТИ им. Иоффе СПб
А вот, в детство впадаем, на простые задачки потянуло..
$$ 
\begin{align}
\ln\sqrt{2\sqrt{3\dots\sqrt{n}}} &= \frac{1}{2}\left(\ln2+\frac{1}{2}\left(\ln3+\dots+\frac{1}{2}\left(\ln N\right)\right.\dots\right)=\sum_1^N\frac{\ln n}{2^n}\le\quad\text{это у Vince Diesel спёр}\\
&\le \sum_1^N\frac{\ln 2^\frac{n}{2}}{2^n}=\frac{\ln 2}{2}\sum_1^N\frac{ n}{2^n}=\frac{\ln 2}{2}\frac{(-1)}{\ln 2}\frac{d}{d\alpha}\left.\sum_1^N\frac{ 1}{2^{\alpha n}}\right|_{\alpha=1}=\frac{N+1}{2^N}\ln 2\\
\end{align}
$$
Максимум у этого безобразия, как функции $N$, если я не ошибаюсь, что весьма вероятно, находится в точке N=1. Т.е., у меня вообще
$$ \sqrt{2\sqrt{3\dots\sqrt{n}}}\le 2 $$
(Соврал, небось, где-то, но лень искать.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство с квадратными корнями
Сообщение21.11.2016, 01:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
amon
В конце первой строки лишняя двойка в знаменатель затесалась. Так что если в последнем неравенстве получим справа 4, то это слабее, чем требовалось.

-- 21.11.2016, 02:16 --

Не, если и во второй строчке все ошибки поправить, то как раз на нужное и выйдем.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство с квадратными корнями
Сообщение21.11.2016, 02:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5002
ФТИ им. Иоффе СПб
grizzly в сообщении #1170478 писал(а):
В конце первой строки лишняя двойка в знаменатель затесалась.

Угу, а еще там корень был в последней строчке, неизвестно откуда взявшийся, а еще вот это
Vince Diesel в сообщении #1170351 писал(а):
справедливым для всех натуральных $n\ne3$.
прощёлкал. В общем, не гожусь в математики.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство с квадратными корнями
Сообщение21.11.2016, 21:57 


11/08/16
193
sergei1961 в сообщении #1170335 писал(а):
увидел на другом форуме относительно элементарное решение методом обратной индукции - но сложно до такого догадаться, там доказывается другое неравенство, а не данное

Если я не ошибся, то тут проходит самая обычная индукция. И вовсе не требуется обратной .

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство с квадратными корнями
Сообщение21.11.2016, 23:54 


25/08/11

1074
sa233091 - покажите.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство с квадратными корнями
Сообщение23.11.2016, 06:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5413
Нов-ск
Индукция по количеству корней. При всех натуральных $n$ верно $\sqrt{n} < n+1$.
Поэтому при всех натуральных $n$ верно $\sqrt{n\sqrt{n+1}} < \sqrt{n(n+2)}< n+1$.
И так далее. Это прямая индукция или как?

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство с квадратными корнями
Сообщение23.11.2016, 13:39 


25/08/11

1074
TOTAL - к сожалению, не понял. Тройка-откуда возьмётся?

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство с квадратными корнями
Сообщение24.11.2016, 07:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5413
Нов-ск
sergei1961 в сообщении #1171106 писал(а):
TOTAL - к сожалению, не понял. Тройка-откуда возьмётся?

$$
\sqrt{n\sqrt{(n+1)\dots\sqrt{n+m}}} < n+1.
$$
Весто $n$ подставляйте двойку, тройку, десятку, вольта и короля.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство с квадратными корнями
Сообщение24.11.2016, 13:29 


03/03/12
1380
amon в сообщении #1170467 писал(а):
$$ 

\ln\sqrt{2\sqrt{3\dots\sqrt{n}}} &= \frac{1}{2}\left(\ln2+\frac{1}{2}\left(\ln3+\dots+\frac{1}{2}\left(\ln N\right)\right.\dots\right)=\sum_1^N\frac{\ln n}{2^n}\le\quad\text{это у Vince Diesel спёр}\\
&\le \sum_1^N\frac{\ln 2^\frac{n}{2}}{2^n}=\frac{\ln 2}{2}\sum_1^N\frac{ n}{2^n}
$$

grizzly в сообщении #1170478 писал(а):
, если и во второй строчке все ошибки поправить, то как раз на нужное и выйдем

Гугл говорит, что $\sum_1^\infty\frac{n}{2^n}=2$.
Не понятно, как этим методом выйти в исходном неравенстве на тройку. В книге видела этот ряд (без решения, но дано указание; сумма ряда должна найтись простым школьным методом).

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство с квадратными корнями
Сообщение24.11.2016, 14:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
TR63 в сообщении #1171415 писал(а):
Гугл говорит, что $\sum_1^\infty\frac{n}{2^n}=2$.
Гугл не знает, что в этой задаче суммировать нужно не от 1, а от 2. (Нужно не забывать ещё о крошечной проблеме с $n=3$, но давайте пока для упрощения не будем об этом.
TR63 в сообщении #1171415 писал(а):
В книге видела этот ряд (без решения, но дано указание; сумма ряда должна найтись простым школьным методом).
Докажите, что ряд сходится, а потом представьте его в виде суммы геометрических прогрессий.
TR63 в сообщении #1171415 писал(а):
Не понятно, как этим методом выйти в исходном неравенстве на тройку.
Получится даже чуть лучше -- $\exp(3/2\ln 2)$, что даёт возможность c большим запасом вспомнить о проблеме с $n=3$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство с квадратными корнями
Сообщение24.11.2016, 15:10 


03/03/12
1380
grizzly

(Оффтоп)

grizzly в сообщении #1171419 писал(а):
Докажите, что ряд сходится, а потом представьте его в виде суммы геометрических прогрессий.

монотонное возрастание и ограниченность проблем не вызывают; указание дано следующее: рассмотрите произведение $(1-\frac1 2)a_n$. У меня получается другим способом ( мажорирование геометрической прогрессией) доказать лишь, что сумма ряда не более 2. Использовать предложенное в книге (и Ваше) указание не знаю каким образом. Конечно в данной теме это оффтоп, но просто заинтересовал этот ряд.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство с квадратными корнями
Сообщение24.11.2016, 15:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
TR63
Я коротко обозначу своё рассуждение:
$$
\frac12+\frac24+\frac38...=\frac12+\frac14+\frac14+\frac18+\frac18+\frac18+...=\left( \frac12+\frac14+\frac18+...\right) +\left( \frac14+\frac18+...\right) + \left( \frac18+...\right)... = 1+\frac12+\frac14...=2.
$$Надеюсь, понимание и обоснование переходов не вызовет затруднений.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 27 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group