2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Неравенство с квадратными корнями
Сообщение24.11.2016, 15:33 


03/03/12
1380
grizzly, очень красиво. Большое спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство с квадратными корнями
Сообщение26.11.2016, 09:07 


25/08/11

1074
grizzly обычно это производной от прогрессии доказывается, но Вы это и без меня знаете.

TOTAL да, это решение, которое есть на AoPS. Догадаться непросто, это и есть вроде обратная индукция, так же.

Sergic Primazon - пересчитал, понял Ваше гениальное решение. Всё так просто, но простому человеку этого не придумать. Вы знали это решение или подобное, или нашли его сами? С Вами можно познакомиться в личке?

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство с квадратными корнями
Сообщение27.11.2016, 10:14 


03/03/12
1380
sa233091 в сообщении #1170682 писал(а):
Если я не ошибся, то тут проходит самая обычная индукция.

Здесь обычная индукция может быть использована при оценке ряда $\sum_1^n\frac{n}{2^n}$ (в книге есть указание на метод матиндукции; действительно, очень просто) . Должна получится оценка, как у grizzly, т.е. с запасом. Только ограничения на (n) другие, но это, возможно, не принципиально. Останется (арифметика) показать, что, действительно, выходим на (3).

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство с квадратными корнями
Сообщение27.11.2016, 20:32 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
Докажите, что:
$$\sqrt{1+\sqrt{2+\sqrt{3+...+\sqrt{n}}}}<2$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство с квадратными корнями
Сообщение27.11.2016, 21:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
arqady в сообщении #1172252 писал(а):
$$\sqrt{1+\sqrt{2+\sqrt{3+...+\sqrt{n}}}}<2$$

Это что-то первокурсное. Нужно доказать, что:
$$\sqrt{2+\sqrt{3+...+\sqrt{n}}}<3$$$$\sqrt{2+\sqrt{3+...+\sqrt{n}}}=\sqrt2\sqrt{1+\sqrt{\frac34+\sqrt{\frac4{16}+...+\sqrt{\frac{n}{2^{2(n-2)}}}}}}<\sqrt2\sqrt{1+\sqrt{2+...+\sqrt{n-1}}}<2\sqrt2<3.$$С мат.индукцией в предпоследнем неравенстве.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство с квадратными корнями
Сообщение27.11.2016, 22:04 


30/03/08
196
St.Peterburg
arqady в сообщении #1172252 писал(а):
Докажите, что:
$$\sqrt{1+\sqrt{2+\sqrt{3+...+\sqrt{n}}}}<2$$


$$\sqrt{1+\sqrt{2+\sqrt{3+...+\sqrt{n}}}}<\sqrt{1+\sqrt{2\sqrt{3\ ...\ \sqrt{n}}}}<\sqrt{1+3}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство с квадратными корнями
Сообщение27.11.2016, 23:49 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
А вот такое?
Пусть $S_n=\sqrt{n+\sqrt{n-1+\sqrt{n-2+...+\sqrt{2+\sqrt1}}}}$, где $n\geq2$.
Докажите, что $S_{n^2-n}<n$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство с квадратными корнями
Сообщение28.11.2016, 08:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5420
Нов-ск
sergei1961 в сообщении #1171753 писал(а):
TOTAL да, это решение, которое есть на AoPS. Догадаться непросто, это и есть вроде обратная индукция, так же.
Это обычная индукция по количеству корней.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство с квадратными корнями
Сообщение28.11.2016, 22:00 


25/08/11

1074
TOTAL - я думаю, что это обратная индукция, если правильно всё изложить.
Что в доказательстве Sergic Primazon я не понимаю. Казалось бы, если применить тривиальное неравенство и к первому сомножителю $\sqrt{2}$ , а не пропустить его, или не применять к последнему сомножителю произведения-то тоже всё должно получится. Но выходит только в таком варианте-к первому не применять, а к последнему-применить. Мистика.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство с квадратными корнями
Сообщение29.11.2016, 00:00 


30/03/08
196
St.Peterburg
arqady в сообщении #1172299 писал(а):
А вот такое?
Пусть $S_n=\sqrt{n+\sqrt{n-1+\sqrt{n-2+...+\sqrt{2+\sqrt1}}}}$, где $n\geq2$.
Докажите, что $S_{n^2-n}<n$.


$S_{n^2-n-k} \le n - \dfrac{n+k}{2n}+\dfrac{S_{n^2-n-k-1}}{2n}$

$$S_{n^2-n} \le  \left ( n- \dfrac{n}{2n} \right )+\dfrac{1}{2n}\left( n- \dfrac{n+1}{2n}\right)+ \ ...\ +\dfrac{1}{(2n)^{n^2-n-2}}\left( n- \dfrac{n+(n^2-n-2)}{2n}\right)+\dfrac{1}{(2n)^{n^2-n-1}}\left( n \right)=$$

$= n-\dfrac{1}{(2n)^2}-\dfrac{2}{(2n)^3}- \ ... \ - \dfrac{n^2-n-2}{(2n)^{n^2-n-1}}< n$

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство с квадратными корнями
Сообщение29.11.2016, 07:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5420
Нов-ск
sergei1961 в сообщении #1172549 писал(а):
TOTAL - я думаю, что это обратная индукция, если правильно всё изложить.
Что конкретно в ней обратного?

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство с квадратными корнями
Сообщение02.12.2016, 02:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
VPro в сообщении #1173502 писал(а):
Еще короче:
$s_n=\sqrt{n+s_{n-1}}<\sqrt{n+s_{n}}$
Решая квадратичное неравенство $s_n^2-s_n-n<0$, получим $s_n<\frac{1+\sqrt{1+4n}}{2}$. После постановки$ n^2-n$ получим $s_{n^2-n}<n$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 27 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group