2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Перестановки цифр и делимость
Сообщение19.11.2016, 12:33 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
При каком наименьшем натуральном $n$ существует лишь конечное множество натуральных чисел, которые при любой перестановке их десятичных цифр делятся на $n$?
(Помните, что число не может начинаться с нуля. К примеру, перестановками числа 101 будут 101 и 110, но не 011.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Перестановки цифр и делимость
Сообщение19.11.2016, 13:15 
Заслуженный участник


27/06/08
4058
Волгоград
Вроде бы, при $n=13$, если "не существует" считать за "существует лишь конечное число".

 Профиль  
                  
 
 Re: Перестановки цифр и делимость
Сообщение19.11.2016, 15:40 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
VAL в сообщении #1170048 писал(а):
Вроде бы, при $n=13$, если "не существует" считать за "существует лишь конечное число".

111111 разве на 13 не делится?

-- 19.11.2016, 15:44 --

А следовательно, и любой репьюнит, кратный 6.

-- 19.11.2016, 15:45 --

Вернее, количество единиц в котором кратно 6.

-- 19.11.2016, 15:46 --

Таким образом, получаем счётное множество чисел, которые при любой перестановке цифр делятся на 13.

 Профиль  
                  
 
 Re: Перестановки цифр и делимость
Сообщение19.11.2016, 16:05 
Заслуженный участник


27/06/08
4058
Волгоград
Ktina в сообщении #1170080 писал(а):
111111 разве на 13 не делится?
Да, это я сморозил :oops:
Тогда (если опять ответить, не подумав :-) ) получается 16.

 Профиль  
                  
 
 Re: Перестановки цифр и делимость
Сообщение19.11.2016, 16:06 
Заслуженный участник


26/10/14
380
Новосибирск
Только хотел написать про 111111, Ktina опередила.
Также 111111 делится на 7, поэтому 222222 делится на 14, значит 14 тоже не годится.
555 делится на 15. Единица с достаточным числом нулей подходит для 16. Есть подозрение, что 17 подходит.
Upd: не подходит - число из 16 единичек делится на 17. Да и вообще любое нечётное простое, кроме 5, делит некоторое число из единичек.

 Профиль  
                  
 
 Re: Перестановки цифр и делимость
Сообщение19.11.2016, 16:22 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
VAL
NSKuber
16 не годится, как и любая степень двойки.
17 не годится, как и любое простое число (помните задачу, в которой первоклассник Петя знает только цифру 1?)

 Профиль  
                  
 
 Re: Перестановки цифр и делимость
Сообщение19.11.2016, 16:23 
Заслуженный участник


27/06/08
4058
Волгоград
NSKuber в сообщении #1170086 писал(а):
Только хотел написать про 111111, Ktina опередила.
Также 111111 делится на 7, поэтому 222222 делится на 14, значит 14 тоже не годится.
555 делится на 15. Единица с достаточным числом нулей подходит для 16.
Точно! Опять ляпнул! :-(
Цитата:
Есть подозрение, что 17 подходит.
Конечно, нет! Чем оно лучше 13?
Цитата:
Upd: не подходит - число из 16 единичек делится на 17.
С этими нулями на конце уж не знаю, что подходит. Может, 135? Если нет, то обязуюсь начать думать :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Перестановки цифр и делимость
Сообщение19.11.2016, 16:25 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Правильный ответ вас шокирует.
Он не дотягивает до 135, но найти его по-детски просто. Чуть сложнее (вернее, нуднее) доказать перебором, что все меньшие числа не годятся.

 Профиль  
                  
 
 Re: Перестановки цифр и делимость
Сообщение19.11.2016, 16:28 
Заслуженный участник


27/06/08
4058
Волгоград
135 тоже не годится! Последняя надежда на 270.

 Профиль  
                  
 
 Re: Перестановки цифр и делимость
Сообщение19.11.2016, 16:30 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
VAL в сообщении #1170091 писал(а):
135 тоже не годится! Последняя надежда на 270.

Говорю же, правильный ответ не дотягивает до 135.

 Профиль  
                  
 
 Re: Перестановки цифр и делимость
Сообщение19.11.2016, 16:32 
Заслуженный участник


27/06/08
4058
Волгоград
Ну, раз меньше 135, тогда не 270, а 54.

PS: Про 270 я раньше написал.

PPS: Думать так и не начал, некогда :-)

-- 19 ноя 2016, 16:37 --

Тьфу, черт! Оба не годятся. Таки пошел думать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Перестановки цифр и делимость
Сообщение19.11.2016, 16:43 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
VAL в сообщении #1170094 писал(а):
Ну, раз меньше 135, тогда не 270, а 54.

Больше, чем 54...

 Профиль  
                  
 
 Re: Перестановки цифр и делимость
Сообщение19.11.2016, 16:46 
Заслуженный участник


27/06/08
4058
Волгоград
Ktina в сообщении #1170098 писал(а):
VAL в сообщении #1170094 писал(а):
Ну, раз меньше 135, тогда не 270, а 54.

Больше, чем 54...
Осталось 70 (Опять не дали подумать :-) )

 Профиль  
                  
 
 Re: Перестановки цифр и делимость
Сообщение19.11.2016, 16:50 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
VAL
$7\cdot 10^n$ делится на 70 при любой перестановке цифр.

-- 19.11.2016, 16:52 --

Ответ больше 70 :lol:

 Профиль  
                  
 
 Re: Перестановки цифр и делимость
Сообщение19.11.2016, 16:53 
Заслуженный участник


27/06/08
4058
Волгоград
Ktina в сообщении #1170101 писал(а):
VAL
$7\cdot 10^n$ делится на 70 при любой перестановке цифр.
На до же! :shock: :-)
А 110?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 18 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group