2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Перестановки цифр и делимость
Сообщение19.11.2016, 16:54 
Заслуженный участник


26/10/14
380
Новосибирск
Мне кажется, что должно быть больше 135. (косяк, см. update)
Если число $n$ взаимнопросто с десяткой, то по т. Эйлера $10^{\varphi(n)}-1$ (куча девяток) делится на $n$. Можно взять в девять раз бОльшую кучу единичек, поэтому для всякого нечётного $n$, не делящегося на $5$, существует достаточно большая куча единичек, делящаяся на $n$.
Если число чётно, то:
1) Если степень двойки в разложении не превосходит трёх, то подходит кууча восьмёрок;
2) Если нечётный множитель не превосходит девяти, то подходит этот нечётный множитель с кучей нулей;
Поэтому чётное число с таким свойством должно быть не меньше $16\cdot 11=176$.
Если число нечётно (и делится на 5), то
1) Если степень пятёрки в разложении не превосходит единицы, то подходит кууча пятёрок;
2) Если оставшийся нечётный множитель не превосходит девяти, то снова подходит этот нечётный множитель с кучей нулей;
Поэтому делящееся на 5 нечётное с таким свойством должно быть не меньше $25 \cdot 11=275$.

Upd: накосячил, в чётном случае, куча восьмёрок не подходит, если нечётный множитель делится на пять.

Зато можно считать это доказательством отсутствия меньших 110, так как если число чётно, и нечётный множитель делится на 5, то число оканчивается на 0, а примеры для всех таких чисел, меньших 110, тоже легко строятся.

 Профиль  
                  
 
 Re: Перестановки цифр и делимость
Сообщение19.11.2016, 16:56 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
VAL в сообщении #1170103 писал(а):
Ktina в сообщении #1170101 писал(а):
VAL
$7\cdot 10^n$ делится на 70 при любой перестановке цифр.
На до же! :shock: :-)
А 110?

Да!

-- 19.11.2016, 16:58 --

NSKuber в сообщении #1170104 писал(а):
Мне кажется, что должно быть больше 135.

Правильный ответ - 110.

 Профиль  
                  
 
 Re: Перестановки цифр и делимость
Сообщение19.11.2016, 17:18 
Заслуженный участник


27/06/08
4058
Волгоград
Ktina в сообщении #1170105 писал(а):
VAL в сообщении #1170103 писал(а):
А 110?

Да!

Ура!!

PS: Сколько раз зарекался. Нельзя мне делать два дела одновременно. Ну не Цезарь я. Но всякий раз опять проверяю: а вдруг таки Цезарь? :?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 18 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group