2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.
 
 Доказательство ВТФ для 4-й степени.
Сообщение18.11.2016, 21:37 


26/09/16
49
Несмотря на то, что моя прежняя тема закрыта, я знаю, что осталось немало желающих понять доказательство для 4-й степени. С разрешения начальства, я имею право приводить здесь это доказательство, с условием того, что покажу причину, по которой универсальные формулы разложения не позволяют доказать ВТФ для 3-й степени. Конечно же, я покажу всё это в дальнейшем - в этом нет абсолютно никаких проблем!
Я считаю, что найденные мной математические истины не должны быть преданы забвению или заживо похоронены. Скрывая истинные знания, мы, тем самым, топчемся на месте и не делаем прогресса в своём развитии. Но математика - царица наук! Именно из любви к математике и уважения к желающим понять моё элементарное доказательство, я решил повторить попытку донести истинные математические знания к умам всех желающих их понять.
Перед тем, как перейти непосредственно к самому доказательству, я хотел бы совместно с Вами уяснить некоторые очевидные утверждения, касающиеся бинома Ньютона для 4-й степени.
В формуле $(a + b)^4 = a^4 + 4 a^3  b + 6 a^2  b^2 + 4 a  b^3 + b^4$
$a$ и $b$ - какие-то два целых числа.
Без первого слагаемого в правой части равенства находится число
$4 a^3  b + 6 a^2  b^2 + 4 a  b^3 + b^4$, делящееся на целое число $b$.
При этом нам всё равно, какое значение принимает число $a$, поскольку число $b$ выносится за скобки без вовлечения в это вынесение числа $a$:
$4 a^3  b + 6 a^2  b^2 + 4 a  b^3 + b^4 = b (4 a^3 + 6 a^2  b + 4 a  b^2 + b^3)$.
Если кто не согласен с этим утверждением, пишите, задавайте вопросы!

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство ВТФ для 4-й степени.
Сообщение18.11.2016, 21:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
14273
Новомосковск
TPB в сообщении #1169942 писал(а):
Если кто не согласен с этим утверждением, пишите, задавайте вопросы!
Вы здесь обращаетесь к шестиклассникам? Давайте предположим, что базовые операции, такие, как вынесение общего множителя за скобки, разложение многочлена на множители и использование формул сокращённого умножения всем известно, поэтому не опускайтесь до таких деталей. Но доказательство излагайте небольшими порциями.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство ВТФ для 4-й степени.
Сообщение18.11.2016, 22:30 


26/09/16
49
Докажем, что уравнению (1) при $n = 4$ не могут удовлетворять никакие три целых положительных числа $X$, $Y$ и $Z$.
Для этого допустим, что такие три целых положительных числа $X$, $Y$ и $Z$ существуют, и воспользуемся одной из универсальных формул разложения - второй формулой для разложения суммы двух чисел в одинаковых чётных положительных степенях (11):
$Z^4 = X^4 + Y^4 = (X-Y)^4 + 4 (X-Y)^2  X Y + 2 X^2  Y^2 =
             (X-Y)^4 + X Y (4 (X-Y)^2 + 2 X Y)$ (14)
Поскольку любое целое число в четвёртой степени одновременно является целым числом в квадрате, то, как и для второй степени, в этой формуле числа $X$ и $Y$ должны иметь разную чётность, а число $Z$ – должно быть нечётным. К тому же будем считать, что все три числа $X$, $Y$ и $Z$ попарно не имеют общих делителей, иными словами – они взаимно просты. Действительно, если бы они не были взаимно простыми, то, поделив их на общий делитель, все три числа $X$, $Y$ и $Z$ стали бы взаимно простыми.
Теперь заметим, что в правой части равенства (14) содержится уже готовое число в четвёртой степени: $(X-Y)^4$, а то выражение, что к нему прибавляется, является дополнением до величины числа $Z^4$. При этом нечётное число $(X-Y)$ дополняется до нечётного числа $Z$ путём добавления некоторого чётного числа $r$.
Если воспользоваться формулой бинома Ньютона (8), то для равенства $Z = (X-Y + r)$ число $Z$ в четвёртой степени запишется в виде:
$Z^4 = (X-Y + r)^4 = (X-Y)^4 + 4 (X-Y)^3  r + 6 (X-Y)^2 r^2 +
 4 (X-Y) r^3 + r^4$,
откуда видно, что каждое слагаемое в правой части этого равенства, кроме первого, делится на число $r$, поэтому число $r$ в качестве единственного общего множителя можно вынести за скобки:
$Z^4 = (X-Y + r)^4 = (X-Y)^4 + r (4 (X-Y)^3 + 6 (X-Y)^2  r +
 4 (X-Y)  r^2 + r^3)$ (15)
Сравнивая имеющееся у нас равенство (14) с равенством (15), которые показывают, каким должно быть число $Z^4$, замечаем, что в исходном равенстве (14) выражение $X Y (4 (X-Y)^2 + 2 X Y)$ является тем же дополнением числа $(X-Y)^4$ до некоторого большего числа в четвёртой степени $Z^4$, что и выражение:
$r (4 (X-Y)^3 + 6 (X-Y)^2  r + 4 (X-Y) r^2 + r^3)$ в равенстве (15).
Приравняем правые части равенств (14) и (15), и получим следующее равенство: $(X-Y)^4 + X Y (4 (X-Y)^2 + 2 X Y) = (X-Y)^4 + r (4 (X-Y)^3 + 6 (X-Y)^2  r + 4 (X-Y) r^2 + r^3)$,
или, без первых слагаемых $(X-Y)^4$:
$X Y (4 (X-Y)^2 + 2 X Y) = r (4 (X-Y)^3 + 6 (X-Y)^2  r + 4 (X-Y) r^2 + r^3)$ (16)
Заметим, что поскольку числа $X$ и $Y$ не имеют общих делителей, то, следовательно, числа $X Y$ и $(X-Y)$ являются взаимно простыми. Взаимно простыми также будут числа $(X-Y)^4$ и $X Y (4 (X-Y)^2 + 2 X Y)$, а значит, и числа $(X-Y)^4$ и $r (4 (X-Y)^3 + 6 (X-Y)^2  r + 4 (X-Y) r^2 + r^3)$.
Поскольку мы допускаем, что существует целое чётное число $r$, которое в качестве единственного общего множителя выносится за скобки из всего выражения: $r (4 (X-Y)^3 + 6 (X-Y)^2  r + 4 (X-Y) r^2 + r^3)$ без вовлечения в это вынесение числа
$(X-Y)^3$, то оно точно не является целым делителем числа
$(4 (X-Y)^2 + 2 X Y)$, так как число $(X-Y)^2$ не может быть вовлечено в вынесение этого целого делителя, и поэтому число $r$ обязано быть либо равно числу $X Y$, либо быть одним из его делителей, и вместе с тем, как и число $X Y$, быть взаимно простым с числом $(X-Y)$.

-- 18.11.2016, 21:51 --

В том случае, если число $r$ равно числу $X Y$, мы, заменяя число $X Y$ на $r$, получаем равенство:
$(X-Y)^4 + X Y (4 (X-Y)^2 + 2 X Y) = (X-Y)^4 + r (4 (X-Y)^2 + 2 r) = (X-Y)^4 + 4 (X-Y)^3  r + 6 (X-Y)^2  r^2 + 4 (X-Y) r^3 + r^4$,
или, после сокращения, имеем следующее равенство:
$4 (X-Y)^2 + 2 r = 4 (X-Y)^3 + 6 (X-Y)^2  r + 4 (X-Y) r^2 + r^3$ (17)
Очевидно, что при целых положительных числах $(X-Y)$ и $r$, равенство (17) никогда не может быть справедливо, так как его левая часть всегда будет меньше правой. Это означает, что число $X Y$ на самом деле больше, чем число $r$. И поэтому число $r$ должно быть лишь одним из делителей числа $X Y$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство ВТФ для 4-й степени.
Сообщение18.11.2016, 23:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
12758
Москва
TPB в сообщении #1169960 писал(а):
Поскольку мы допускаем, что существует целое чётное число $r$, которое в качестве единственного общего множителя выносится за скобки из всего выражения: $r (4 (X-Y)^3 + 6 (X-Y)^2  r + 4 (X-Y) r^2 + r^3)$ без вовлечения в это вынесение числа
$(X-Y)^3$, то оно точно не является целым делителем числа
$(4 (X-Y)^2 + 2 X Y)$

Это не доказательство, а рукомахание.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство ВТФ для 4-й степени.
Сообщение19.11.2016, 00:02 


26/09/16
49
Brukvalub в сообщении #1169969 писал(а):
Это не доказательство

Тут важно понять, что $r (4 (X-Y)^3 + 6 (X-Y)^2  r + 4 (X-Y) r^2 + r^3)$ и $X Y (4 (X-Y)^2 + 2 X Y)$ - это одно и то же число!
Поэтому, если число $r$ выносится за скобки без вовлечение в это вынесение первого числа $(X-Y)$, то оно обязательно также должно выноситься за скобки из числа $X Y (4 (X-Y)^2 + 2 X Y)$ без вовлечение в это вынесение первого числа $(X-Y)$.

-- 18.11.2016, 23:04 --

Значит, можно записать, что $X Y = r X_1  Y_1$, где $X_1  Y_1$ – некий целый делитель числа $X Y$. После такой замены получим равенство (16) в следующем виде:
$r X_1  Y_1  (4 (X-Y)^2 + 2 r X_1  Y_1) = r (4 (X-Y)^3 + 6 (X-Y)^2  r + 4 (X-Y) r^2 + r^3)$ (18)
или, после сокращения левой и правой частей равенства (18) на $r$:
$X_1  Y_1  (4 (X-Y)^2 + 2 r X_1  Y_1) = 4 (X-Y)^3 + 6 (X-Y)^2  r + 4 (X-Y) r^2 + r^3$ (19)
из которого видно, что у всей правой части этого равенства, как и у его левой части, должен быть общий целый делитель $X_1  Y_1$.
Заметим, что для существования целого делителя $X_1  Y_1$ необходимо, чтобы целое число $r$, так же, как и число $(X-Y)$, не являлось целым делителем числа $X_1  Y_1$, иначе сумма всех слагаемых выражения $(4 (X-Y)^3 + 6 (X-Y)^2  r + 4 (X-Y) r^2 + r^3)$ не сможет нацело поделиться на число $X_1  Y_1$, так как все слагаемые этого выражения, кроме первого, делятся на число $r$, и, кроме последнего, делятся на число $(X-Y)$.
Поэтому для одновременного существования двух целых чисел $r$ и $X_1 Y_1$ необходимо, чтобы они между собой были взаимно простыми.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство ВТФ для 4-й степени.
Сообщение19.11.2016, 00:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
12758
Москва
TPB в сообщении #1169984 писал(а):
Поэтому, если число $r$ выносится за скобки без вовлечение в это вынесение первого числа $(X-Y)$, то оно обязательно также должно выноситься за скобки из числа $X Y (4 (X-Y)^2 + 2 X Y)$ без вовлечение в это вынесение первого числа $(X-Y)$.

-- 18.11.2016, 23:04 --

Значит, можно записать, что $X Y = r X_1  Y_1$, где $X_1  Y_1$ – некий целый делитель числа $X Y$.

Нет, число $X Y (4 (X-Y)^2 + 2 X Y)$ - четное, поэтому $r$ может быть, например, степенью двойки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство ВТФ для 4-й степени.
Сообщение19.11.2016, 00:22 


26/09/16
49
Brukvalub в сообщении #1169987 писал(а):
Нет, число $X Y (4 (X-Y)^2 + 2 X Y)$ - четное, поэтому $r$ может быть, например, степенью двойки.

Число $r$ может быть каким угодно чётным числом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство ВТФ для 4-й степени.
Сообщение19.11.2016, 00:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
14273
Новомосковск
TPB в сообщении #1169960 писал(а):
Поскольку мы допускаем, что существует целое чётное число $r$, которое в качестве единственного общего множителя выносится за скобки из всего выражения: $r (4 (X-Y)^3 + 6 (X-Y)^2  r + 4 (X-Y) r^2 + r^3)$
Где мы это допускаем? В вашем тексте выше нигде не сказано "допустим, что…", кроме второй фразы второго вашего сообщения, в которой речь идёт совсем о другом.
Будьте внимательны и не путайте допущения с доказанными утверждениями.

TPB в сообщении #1169960 писал(а):
$4 (X-Y)^2 + 2 r = 4 (X-Y)^3 + 6 (X-Y)^2  r + 4 (X-Y) r^2 + r^3$ (17)
Очевидно, что при целых положительных числах $(X-Y)$ и $r$, равенство (17) никогда не может быть справедливо, так как его левая часть всегда будет меньше правой.
Для положительных $X-Y$ и $r$ это, может быть, и верно, но я не вижу причины, по которой разность $X-Y$ обязана быть положительной. Почему бы ей не оказаться отрицательной? Поэтому утверждение
TPB в сообщении #1169960 писал(а):
число $X Y$ на самом деле больше, чем число $r$
не доказано. Более того, я не вижу, почему бы не оказаться $r=2XY$, поскольку $XY(4(X-Y)^2+2XY)=2XY(2(X-Y)^2+XY)$.

Пока это место не исправлено, дальше двигаться нельзя. В частности, не вижу смысла комментировать тот кусок, который Вы выложили, пока я писал это сообщение.

TPB в сообщении #1169942 писал(а):
я знаю, что осталось немало желающих понять доказательство для 4-й степени
Не наблюдал толпы желающих. Лично я прочёл (давно уже) доказательство для четвёртой степени в книге М. М. Постникова "Введение в теорию алгебраических чисел" и вполне его понял. А вообще, в этот раздел форума большинство посетителей ходят как в цирк.

TPB в сообщении #1169942 писал(а):
С разрешения начальства, я имею право приводить здесь это доказательство
Это какое начальство разрешило Вам продолжать закрытую тему?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство ВТФ для 4-й степени.
Сообщение19.11.2016, 01:10 


26/09/16
49
Someone в сообщении #1169993 писал(а):
TPB в сообщении #1169960

писал(а):
Поскольку мы допускаем, что существует целое чётное число $r$, которое в качестве единственного общего множителя выносится за скобки из всего выражения: $r (4 (X-Y)^3 + 6 (X-Y)^2  r + 4 (X-Y) r^2 + r^3)$ Где мы это допускаем? В вашем тексте выше нигде не сказано "допустим, что…", кроме второй фразы второго вашего сообщения, в которой речь идёт совсем о другом.
Будьте внимательны и не путайте допущения с доказанными утверждениями.

Когда я писал: "При этом нечётное число $(X-Y)$ дополняется до нечётного числа $Z$ путём добавления некоторого чётного числа $r$", я допускал, что существует целое чётное число $r$.

Someone: "Для положительных $X-Y$ и $r$ это, может быть, и верно, но я не вижу причины, по которой разность $X-Y$ обязана быть положительной. Почему бы ей не оказаться отрицательной?"

В равенстве: $Z^4 = X^4 + Y^4 = (X-Y)^4 + 4 (X-Y)^2  X Y + 2 X^2  Y^2 =
             (X-Y)^4 + X Y (4 (X-Y)^2 + 2 X Y)$ (14)
числа$X$ и $Y$ совершенно равноправны. И если $Y>X$, то мы в праве поменять их местами так, чтобы разница $X-Y$ стала положительной.

Поэтому утверждение:
число $X Y$ на самом деле больше, чем число $r$ доказано равенством (17).

Someone: "Не наблюдал толпы желающих. Лично я прочёл (давно уже) доказательство для четвёртой степени в книге М. М. Постникова "Введение в теорию алгебраических чисел" и вполне его понял. А вообще, в этот раздел форума большинство посетителей ходят как в цирк."

Здесь ведь речь не идёт только о 4-й степени. Это лишь фрагмент более общего доказательства, которое Вы нигде не прочтёте.
А насчёт посетителей, то если они этим интересуются, значит есть спрос на новые знания!

Someone: "Это какое начальство разрешило Вам продолжать закрытую тему?"

Jnrty писал(а): "Если по какой-то причине ваши рассуждения в случае третьей степени не проходят, излагайте их для наименьшей степени, для которой они годятся, с точным указанием места, где возникает препятствие в случае третьей степени".

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство ВТФ для 4-й степени.
Сообщение19.11.2016, 01:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
14273
Новомосковск
TPB в сообщении #1169996 писал(а):
Когда я писал: "При этом нечётное число $(X-Y)$ дополняется до нечётного числа $Z$ путём добавления некоторого чётного числа $r$", я допускал, что существует целое чётное число $r$.
Значит, Вы не понимаете, что делаете. На самом деле здесь ничего не "предполагается", а просто определяется $r=Z-(X-Y)$.

TPB в сообщении #1169996 писал(а):
В равенстве: $Z^4=X^4+Y^4=(X-Y)^4+4(X-Y)^2XY+2X^2Y^2=(X-Y)^4+XY(4(X-Y)^2+2XY)$ (14)
числа$X$ и $Y$ совершенно равноправны. И если $Y>X$, то мы в праве поменять их местами так, чтобы разница $X-Y$ стала положительной.
Здесь Вы можете. А в выражении $r(4(X-Y)^3+6(X-Y)^2r+4(X-Y)r^2+r^3)$ — нет, поскольку оно не симметрично относительно такой перестановки. Да и величина $r$ от этой перестановки меняется.

И не ясно, почему бы не быть $r=2XY$ или даже $r=4XY$: поскольку одно из чисел $X$ или $Y$ чётное, то $$XY(4(X-Y)^2+2XY)=4XY\left((X-Y)^2+\frac{XY}2\right)$$ делится на $8$ ($XY$ — чётное, и выражение в скобках целое); аналогично, так как $r$ — чётное, то и $$r(4(X-Y)^3+6(X-Y)^2r+4(X-Y)r^2+r^3)=$$ $$=4r\left((X-Y)^3+\frac{3r}2(X-Y)^2+r^2(X-Y)+\frac{r^3}4\right)$$ тоже делится на $8$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство ВТФ для 4-й степени.
Сообщение19.11.2016, 01:46 


26/09/16
49
Пока и эту тему не закрыли, я имею возможность обратиться к любителям математики, желающим понять моё элементарное доказательство.
Как Вы сами видите, я делаю в этом направлении всё, что могу!
Поэтому, если из-за непонимания или по какой-либо ещё другой причине эта тема будет закрыта, вопреки моему желанию, то хочу, чтобы Вы знали: у меня есть полное элементарное доказательство Великой теоремы Ферма для любой степени $n>3$. Оно несомненно верно, и более того, каждый желающий, пользуясь универсальными формулами разложения, может самостоятельно его повторить!

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство ВТФ для 4-й степени.
Сообщение19.11.2016, 02:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
14273
Новомосковск
TPB в сообщении #1170004 писал(а):
обратиться к любителям математики, желающим понять моё элементарное доказательство
Пока вижу не доказательство, а элементарные рассуждения с пробелами уже на начальном этапе. Будете отвлекаться — тему точно закроют, она и так висит на волоске.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство ВТФ для 4-й степени.
Сообщение19.11.2016, 02:15 


26/09/16
49
TPB в сообщении #1170004 писал(а):
Значит, Вы не понимаете, что делаете. На самом деле здесь ничего не "предполагается", а просто определяется $r=Z-(X-Y)$.

Когда я пишу "предполагается", то имею ввиду: "Допустим, что существует такое целое чётное число..., которое на самом деле (дальше мы это увидим) окажется нецелым".

В выражении (14) и (15) $X$ и $Y$ - это одни и те же числа. Поэтому их разница в любом случае - это положительное число. А число $r$ может быть только одним из делителей числа $X Y$. Я уже приводил этому доказательство (смотрите равенство (17)).
Если Вы мыслите дальше, то я могу продолжить доказательство в этом направлении.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство ВТФ для 4-й степени.
Сообщение19.11.2016, 02:37 
Модератор


16/01/07
1548
Северодвинск
Ну что же делать. Не понимаете своих ошибок — значит, не суждено.

 !  Jnrty:
Стало быть, тему закрываю ввиду бессмысленности продолжения.
На всякий случай предупреждаю, что возобновление закрытой темы не разрешается.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group