2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Задача по геометрии
Сообщение13.11.2016, 21:22 
Аватара пользователя


15/11/15
1297
Москва
Медианы треугольника ABC разрезают его на 6 треугольников. Докажите, что центры описанных окружностей этих треугольников лежат на одной окружности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по геометрии
Сообщение13.11.2016, 21:31 


11/07/16
801
Доказательство с Мэйплом здесь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по геометрии
Сообщение13.11.2016, 22:21 
Аватара пользователя


15/11/15
1297
Москва
Есть "более синтетическое" доказательство.

-- 13.11.2016, 23:21 --

Какой вообще интерес решать задачи вычислительным методом, вся геометрия уходит в алгебру?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по геометрии
Сообщение14.11.2016, 11:01 


11/07/16
801
Rusit8800 в сообщении #1168738 писал(а):
Какой вообще интерес решать задачи вычислительным методом, вся геометрия уходит в алгебру?

Вычислительная геометрия (см. также англоязычную версию статьи) является актуальным направлением современной математики. В частности, это теория для GPS.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по геометрии
Сообщение14.11.2016, 17:15 
Аватара пользователя


15/11/15
1297
Москва
Но все же вычислительные доказательства я не считаю красивыми.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по геометрии
Сообщение15.11.2016, 04:44 


21/05/16
4292
Аделаида
Rusit8800 в сообщении #1169010 писал(а):
Но все же вычислительные доказательства я не считаю красивыми.

Именно!

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по геометрии
Сообщение15.11.2016, 16:32 
Аватара пользователя


15/11/15
1297
Москва
видимо задача слишком сложна для синтетического доказательства

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по геометрии
Сообщение15.11.2016, 18:28 
Аватара пользователя


04/10/15
291
Нужно показать, что шестиугольник, вершинами которого являются центры описанных окружностей, будет вписанным, делать это можно несколькими способами, например, для начала нужно показать, что его противоположные стороны попарно параллельны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по геометрии
Сообщение15.11.2016, 19:06 


11/07/16
801
iou в сообщении #1169284 писал(а):
Нужно показать, что шестиугольник, вершинами которого являются центры описанных окружностей, будет вписанным, делать это можно несколькими способами, например, для начала нужно показать, что его противоположные стороны попарно параллельны.

Последнее утверждение неверно (см. рисунок.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по геометрии
Сообщение15.11.2016, 22:18 
Аватара пользователя


15/11/15
1297
Москва
Шестиугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны является вписанным тогда и только тогда, когда его "главные" диагонали равны. При этом этот факт остается верным и для самопересекающегося шестиугольника. Этим фактом надо воспользоваться.

-- 15.11.2016, 23:32 --

Цитата:
Последнее утверждение неверно
Это утверждение верно не для самого шестиугольника, а для некоторой ломаной, содержащей эти 6 точек.

-- 15.11.2016, 23:37 --

Попробуйте воспользоваться векторами

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по геометрии
Сообщение16.11.2016, 01:48 


30/03/08
196
St.Peterburg
Rusit8800 в сообщении #1168714 писал(а):
Медианы треугольника ABC разрезают его на 6 треугольников. Докажите, что центры описанных окружностей этих треугольников лежат на одной окружности.


Изображение


$O_1,O_2,O_3,O_4 -$ центры описанных окружностей $\triangle AGB_1 , \triangle BC_1G , \triangle BA_1G, \triangle CB_1G.$

$O_1O_4 \parallel O_2O_3$

Докажем, что : $O_1O_2 = O_3O_4$

$$\ctg(\alpha_1)= \dfrac{3}{2}\cdot \dfrac{GC_1^2+BC_1^2-BG^2}{S}\  ,\   \ctg(\beta_1)= \dfrac{3}{2}\cdot \dfrac{AG^2+AB_1^2-GB_1^2}{S}$$

$$O_2N-O_1M=\dfrac{BB_1}{6} \cdot \left( 2  \ctg(\alpha_1)-\ctg(\beta_1) \right)= -\dfrac{BB_1}{4S}\cdot \left( \dfrac{b^2}{4}+\dfrac{BB_1^2}{3}\right )$$

Поэтому : $O_2N-O_1M= O_3N-O_4M$

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по геометрии
Сообщение16.11.2016, 03:08 


30/03/08
196
St.Peterburg
Изображение

Получили : $O_6O_1 \parallel O_3O4 \  ,\  O_1O_2 \parallel O_4O_5 \ ,\ O_2O_3 \parallel O_5O_6$ и $O_1O_4=O_2O_5=O_3O_6 \Rightarrow O_1,O_2,O_3,O_4,O_5,O_6 -$ лежат на одной окружности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по геометрии
Сообщение16.11.2016, 12:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11014
Hogtown
Картинка и tex.source ; точка $K$ это центр той самой окружности. Можно менять декларации вершин и все остальное меняется автоматически при компиляции. Геометрам на заметку: пакет tkz-euclide (входит в стандартные "раздачи"). Автор работает над обновление, с большим количеством команд

код: [ скачать ] [ спрятать ]
Используется синтаксис LaTeX
\documentclass{standalone}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-euclide}
\usetkzobj{all}
\begin{document}
\begin{tikzpicture}
\tkzDefPoints{0/0/A,9/0/B,3/6/C};
\draw[blue] (A)--(B)--(C)--(A);
\node[below] at (A) {$A$};
\node[below] at (B) {$B$};
\node[above] at (C) {$C$};
\tkzDefMidPoint(A,B) \tkzGetPoint{C1}
\tkzDefMidPoint(A,C) \tkzGetPoint{B1}
\tkzDefMidPoint(B,C) \tkzGetPoint{A1}
\node[right] at (A1) {$A_1$};
\node[left] at (B1) {$B_1$};
\node[below] at (C1) {$C_1$};
\draw[blue!50!cyan!50] (A)--(A1);
\draw[blue!50!cyan!50] (B)--(B1);
\draw[blue!50!cyan!50] (C)--(C1);
\tkzInterLL(A,A1)(B,B1) \tkzGetPoint{G}
\node[below] at (G) {$G$};
\tkzCircumCenter(A,G,C1) \tkzGetPoint{O1}
\tkzCircumCenter(B,G,C1) \tkzGetPoint{O6}
\tkzCircumCenter(B,G,A1) \tkzGetPoint{O5}
\tkzCircumCenter(C,G,A1) \tkzGetPoint{O4}
\tkzCircumCenter(C,G,B1) \tkzGetPoint{O3}
\tkzCircumCenter(A,G,B1) \tkzGetPoint{O2}
\fill[blue] (O2) circle (.02);
\tkzCircumCenter(O1,O3,O5) \tkzGetPoint{K}
\tkzDrawCircle[color=brown,  thin](K,O1)
\node[right] at (K) {$K$};
\tkzDrawCircle[color=cyan,  thin](O1,A);
\tkzDrawCircle[color=cyan,  thin](O2,A);
\tkzDrawCircle[color=cyan,  thin](O3,C);
\tkzDrawCircle[color=cyan,  thin](O4,C);
\tkzDrawCircle[color=cyan,  thin](O6,B);
\tkzDrawCircle[color=cyan,  thin](O5,B);
\draw[green, thin] (O1)--(O2)--(O3)--(O4)--(O5)--(O6)--(O1);
\fill[red] (G) circle (.02);
\fill[blue] (O1) circle (.02);
\fill[blue] (O6) circle (.02);
\fill[blue] (O5) circle (.02);
\fill[blue] (O4) circle (.02);
\fill[blue] (O3) circle (.02);
\fill[brown] (K) circle (.02);
\end{tikzpicture}
\end{document}


Вложения:
sixpoints.png
sixpoints.png [ 18.55 Кб | Просмотров: 1995 ]
 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по геометрии
Сообщение16.11.2016, 15:56 
Аватара пользователя


15/11/15
1297
Москва
Sergic Primazon в сообщении #1169357 писал(а):
Rusit8800 в сообщении #1168714 писал(а):
Медианы треугольника ABC разрезают его на 6 треугольников. Докажите, что центры описанных окружностей этих треугольников лежат на одной окружности.


Изображение


$O_1,O_2,O_3,O_4 -$ центры описанных окружностей $\triangle AGB_1 , \triangle BC_1G , \triangle BA_1G, \triangle CB_1G.$

$O_1O_4 \parallel O_2O_3$

Докажем, что : $O_1O_2 = O_3O_4$

$$\ctg(\alpha_1)= \dfrac{3}{2}\cdot \dfrac{GC_1^2+BC_1^2-BG^2}{S}\  ,\   \ctg(\beta_1)= \dfrac{3}{2}\cdot \dfrac{AG^2+AB_1^2-GB_1^2}{S}$$

$$O_2N-O_1M=\dfrac{BB_1}{6} \cdot \left( 2  \ctg(\alpha_1)-\ctg(\beta_1) \right)= -\dfrac{BB_1}{4S}\cdot \left( \dfrac{b^2}{4}+\dfrac{BB_1^2}{3}\right )$$

Поэтому : $O_2N-O_1M= O_3N-O_4M$

Верно. Это доказательство даже немного легче того, которое я хотел привести.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по геометрии
Сообщение16.11.2016, 16:13 


11/07/16
801
Вычислительное доказательство проще.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 17 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group