2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Периодические траектории векторного поля на R^3
Сообщение12.11.2016, 15:34 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
На $\mathbb{R}^3$ с координатами $x,y,z$ задано векторное поле $X=(ax^2-y^2-z^2)\frac{\partial}{\partial{x}}+(ay^2-x^2-z^2)\frac{\partial}{\partial{y}}+(az^2-x^2-y^2)\frac{\partial}{\partial{z}}$,
где $a$ - вещественное число. Найдите все периодические траектории этого поля.

 Профиль  
                  
 
 Re: Периодические траектории векторного поля на R^3
Сообщение12.11.2016, 23:07 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
Слаживая все три дифура, получим
$(x+y+z)^{.}=(a-2)(x^2 +y^2 +z^2)$.
Потому при $a\ne 2$ нет пер-х траекторий (ну, кроме особой точки). (интеграл по периоду не будет равен 0).
При $a=2$: есть первый интеграл $c = x+y+z$. И все теперь можно смотреть на его поверхностях уровня.
Ну, я посмотрел случай $c=0$: там ур-я однородные, все решается, и пер-х - нет.
А вот при при прочих $c$ - непонятки. Хочь система и квадратичная, но....
Впрочем: у исходной системы есть инвариантные поверхности $x=y, x=z, y=z$, и неизолированные особые точки $x=y=z, x=y=-z, x=-y=z, -x=y=z$.
У двумерной: 4 особых точки : узел (происходит из точек на "биссектрисе" $x=y=z$), и три седла (от прочих), причем у седел есть могучие глобальные сепаратрисы - те линии , что получились из инвар-х плоскостей (а у узла - все три).
Если бы имелась периодическая траектория (отличная от особой точки), то - общая теория грит: внутре этого цикла есть особая точка. Но у нас их всего четыре, и через каждую проходит могучая сепаратриса - а она не уместится в нутре у цикла!
Итого: нету - кроме тривиальных.

 Профиль  
                  
 
 Re: Периодические траектории векторного поля на R^3
Сообщение12.11.2016, 23:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11014
Hogtown
После нахождения $a=2$ умножить первое на $x^2$, второе на $y^2$, .... и сложить...

 Профиль  
                  
 
 Re: Периодические траектории векторного поля на R^3
Сообщение12.11.2016, 23:29 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
Red_Herring
Вах! :!:

 Профиль  
                  
 
 Re: Периодические траектории векторного поля на R^3
Сообщение13.11.2016, 09:58 
Заслуженный участник


17/09/10
2132
DeBill, Red_Herring, все верно.
Для $a\ne{2}$ производная от $x+y+z$. а для $a=2$ производная от $x^3+y^3+z^3$ вдоль траектории решают вопрос.
Замечу также, что это рассуждение (с заменой $2$ на $n-1$) годится для любой размерности $\mathbb{R}^n$, $n>1$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group