2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.
 
 Интересные числа
Сообщение11.11.2016, 22:10 


11/11/16

1
$\[s\]$ - число, такое, что найдутся числа $\[(a,b,c,d \in \mathbb{Z} ,\geqslant 0)(a \ne c,b \ne d)\]$ такие, что:
$s = {2^a} + {3^b} = {2^c} + {3^d}$
Верно ли, что $\[s\]$ может принимать бесконечно много различных натуральных значений?
Случаи $\[a = 0\] $ или $\[b = 0\]$ тривиальны.
Если $\[a \ne 0 \wedge b \ne 0\]$:
$\[{2^a} - {2^c} = {3^d} - {3^b}\]$
$\[{2^c}({2^{a - c}} - 1) = {3^b}({3^{d - b}} - 1)\]$
$\[({2^{a - c}} - 1) \vdots 3 \Rightarrow (a - c) \vdots 2\]$
$\[({3^{b - d}} - 1) \vdots 4 \Rightarrow (b - d) \vdots 2\]$
Тогда в обеих частях разность квадратов, но она меня ни к чему не привела.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интересные числа
Сообщение11.11.2016, 22:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14424
Можно вообще посмотреть на числа вида $2^n+3^m$. Посчитав несколько штук, можно увидеть совпадения:
$5=2^1+3^1=2^2+3^0;$
$11=2^3+3^1=2^2+3^2;$
$17=2^3+3^2=2^4+3^0;$
$35=2^3+3^3=2^5+3^1; $, то есть такие числа есть.
Даже $259=2^8+3^1=2^4+3^5;$ ещё доступно для эксельки. А запустив скрипт мы ничего в обозримом диапазоне не найдём. Лезть в OEIS, конечно, нечестно, но придётся. Похоже, что это открытая проблема и решить её с наскока не получится :-(

 Профиль  
                  
 
 Re: Интересные числа
Сообщение11.11.2016, 22:54 
Заслуженный участник


20/08/14
11002
Россия, Москва
А есть вообще другие решения кроме
$5=2^2+3^0=2^1+3^1$
$11=2^3+3^1=2^1+3^2$
$17=2^4+3^0=2^3+3^2$
$35=2^5+3^1=2^3+3^3$
$259=2^8+3^1=2^4+3^5$
:?:

-- 11.11.2016, 23:24 --

В пределах $a \le  1000, d \le 600, b < d, c < a$ других решений не найдено.

-- 11.11.2016, 23:28 --

matematika314:
gris в сообщении #1168189 писал(а):
Лезть в OEIS, конечно, нечестно, но придётся. Похоже, что это открытая проблема и решить её с наскока не получится :-(
Да уж: A085634.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интересные числа
Сообщение11.11.2016, 23:34 


11/08/16
193
Очень много мыслей и никакой пользы :-(

-- 12.11.2016, 00:03 --

$\[{2^a}({2^b} - 1) = {3^c}({3^d} - 1)\]$ т.к. $\[{2^a}|({3^d} - 1)\]$, то при $\[a \geqslant 4\]$: $\[d = {2^{a}}k\]$

-- 12.11.2016, 00:10 --

т.к. $\[{3^c}|{2^b} - 1\]$, то при $\[c \geqslant 2\]$: $\[b = 2t{3^{c - 1}}\]$

-- 12.11.2016, 00:10 --

Противоречий с делимостью так же не увидел.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интересные числа
Сообщение12.11.2016, 00:28 
Заслуженный участник


10/01/16
2315

(Оффтоп)

sa233091
Шесть дней осталось до конца олимпиады, да?
И matematika314 решила Вам помочь, подняв снова (заблокированную до 17 ноября) Вашу тему?
А-я-яй

 Профиль  
                  
 
 Re: Интересные числа
Сообщение12.11.2016, 01:03 


20/03/14
12041
 !  sa233091
Блокировка за создание клона с целью повторного размещения задачи с действующей олимпиады topic112590.html, сроком на одну неделю. Аккаунт matematika314 блокируется бессрочно.


-- 12.11.2016, 03:20 --

Тема закрыта.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group