2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Расстояние между прямыми. В чем здесь подвох?
Сообщение08.11.2016, 14:20 


13/02/16
129
Изображение

Задача: Найти расстояние между $AB$ и $D_1C_1$ в единичном кубе.

Расстояние между скрещивающимися прямыми -- длина общего перпендикуляра к двум прямым. Здесь ясно, что $BC_1$ - общий перпендикуляр, потому как $AB\perp BCC_1$, а значит и $BC_1$. Аналогично с $D_1C_1$. Тогда расстояние между прямыми будет $\sqrt{2}$.

С другой стороны, мы можем провести через прямую $AB$ плоскость, параллельную $D_1C_1$. Очевидно, что это плоскость $ABC$. Тогда расстоянием между прямыми будет расстояние от любой точки прямой $D_1C_1$ до плоскости $ABC$. А это расстояние будет равно $1$.

А в итоге должно быть $\sqrt{2}$ или $1$. И почему. Не мог найти дырку в своих рассуждениях.

 Профиль  
                  
 
 Re: Расстояние между прямыми. В чем здесь подвох?
Сообщение08.11.2016, 14:28 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
NL0 в сообщении #1167147 писал(а):
Расстояние между скрещивающимися прямыми

Они не скрещивающиеся.

 Профиль  
                  
 
 Re: Расстояние между прямыми. В чем здесь подвох?
Сообщение08.11.2016, 14:29 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
NL0 в сообщении #1167147 писал(а):
Расстояние между скрещивающимися прямыми
А где тут скрещивающиеся прямые?
NL0 в сообщении #1167147 писал(а):
С другой стороны, мы можем провести через прямую $AB$ плоскость, параллельную $D_1C_1$. Очевидно, что это плоскость $ABC$.
Ой ли? Вернее, конечно, эта плоскость будет параллельной, но одна ли она такая?

 Профиль  
                  
 
 Re: Расстояние между прямыми. В чем здесь подвох?
Сообщение08.11.2016, 14:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
NL0 в сообщении #1167147 писал(а):
Не мог найти дырку в своих рассуждениях.
Определений не знаете.

 Профиль  
                  
 
 Re: Расстояние между прямыми. В чем здесь подвох?
Сообщение08.11.2016, 16:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
NL0 в сообщении #1167147 писал(а):
Тогда расстоянием между прямыми будет расстояние от любой точки прямой $D_1C_1$ до плоскости $ABC$.

А с чего бы это вдруг?

Ваша кепка находится на расстоянии 1 метр 80 сантиметров над дорогой. В двух километрах от вас по дороге ползёт червяк. Разве можно сказать, что расстояние от кепки до червяка 1 метр 80 сантиметров, только потому, что через червяка проходит плоскость дороги?

 Профиль  
                  
 
 Re: Расстояние между прямыми. В чем здесь подвох?
Сообщение08.11.2016, 16:37 


06/07/13
4
Первый вариант верен, т.к. действительно $BC_1$ - расстояние между прямыми $AB$ и $D_1C_1$.
Что касается плоскости $ABC$ - она действительно параллельна прямой $D_1C_1$, но через прямую $AB$ можно провести бесконечное количество плоскостей параллельных прямой $D_1C_1$. $ABC$ - не единственная плоскость параллельная $D_1C_1$. Поэтому ответ однозначный: расстояние между $AB$ и $D_1C_1$ - прямая $BC_1$, равная $\sqrt{2}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Расстояние между прямыми. В чем здесь подвох?
Сообщение08.11.2016, 18:38 
Заслуженный участник


20/08/14
11067
Россия, Москва
Можно провести плоскость через все четыре точки $ABC_1D_1$ и перевести задачу в планиметрию, где станет очевидной правильность первого ответа. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Расстояние между прямыми. В чем здесь подвох?
Сообщение09.11.2016, 00:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14430
По-моему, здесь единственный (с точностью до симметрий) интересный вариант это: Найти расстояние между $AB$ и $A_1C$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Расстояние между прямыми. В чем здесь подвох?
Сообщение09.11.2016, 00:51 
Заслуженный участник


20/08/14
11067
Россия, Москва
Или расстояние от точки $D_1$ до прямой $AC$. Или даже до прямой $AC_1$. :-)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group