2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Еше одна трехдиагональная матрица
Сообщение01.11.2016, 02:08 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
- по второму разу, конечно, уже не то.

Мне эта задача досталась "по наследству". :D

Найти
$ \begin{vmatrix}
 \lambda& n &0 &\cdots &0&0\\
-1 & \lambda  &n-1&\cdots &0& 0\\
0 & -2 & \lambda& \cdots&0 & 0 \\
\hdotsfor{6}\\
0&0&0&\cdots & \lambda & 1\\
0 & 0 & 0& \cdots &-n &\lambda \\
\end{vmatrix}$

 Профиль  
                  
 
 Уточнение формулировки
Сообщение02.11.2016, 23:39 


11/07/16
801
Пожалуйста, уточните форму матрицы. При $n=3$ это $$  \left[ \begin {array}{ccc} \lambda&3&0\\ \noalign{\medskip}-1&\lambda
&2\\ \noalign{\medskip}0&-2&\lambda\end {array} \right] 
 ?$$ Да или нет? А как выглядит матрица при $n=4?$

 Профиль  
                  
 
 Re: Еше одна трехдиагональная матрица
Сообщение02.11.2016, 23:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Нет, при $n = 3$ это будет $\begin{bmatrix} \lambda & 3 & 0 & 0 \\ -1 & \lambda & 2 & 0 \\ 0 & -2 & \lambda & 1 \\ 0 & 0 & -3 & \lambda \end{bmatrix}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Еше одна трехдиагональная матрица
Сообщение02.11.2016, 23:48 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Markiyan Hirnyk Вы написали попытались написать матрицу для $n=2$. Наверное.
$$  \left[ \begin {array}{ccc} \lambda&2&0\\ \noalign{\medskip}-1&\lambda
&1\\ \noalign{\medskip}0&-2&\lambda\end {array} \right] 
$$

Случай другой размерности все еще нуждается в уточнении? Мне казалось, там все однозначно. :(

Xaositect
Да, спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Спасибо
Сообщение03.11.2016, 00:55 


11/07/16
801
Понял.

 Профиль  
                  
 
 Re: Еше одна трехдиагональная матрица
Сообщение23.11.2016, 05:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5413
Нов-ск
При $\lambda = -i(n-2p)$, $p=0,1, \dots, n$, система уравнений $Ax=0$ имеет решение
$$
x_k=i^k\sum_{m=0}^p(-2)^m C^m_p\frac{[k]^m}{[n]^m}, \; k=0,1, \dots, n,
$$
в чем можно убедиться подстановкой и сравнением коэффициентов перед $[k]^m$, где обозначено $[k]^m=k(k-1)\cdots(k-m+1)$.

Поэтому
$$
Det(A) = \prod_{p=0}^n(\lambda + i(n-2p)) = \left(\lambda^2+n^2\right)\left(\lambda^2+(n-2)^2\right)\cdots
$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Еше одна трехдиагональная матрица
Сообщение04.12.2016, 10:39 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
На самом деле, задача имеет довольно красивое и естественное решение. Понятно, что матрица - характеристическая для некоторого оператора. Если удачно выбрать оператор и пространство, то решение получается очень красивым.

Пока оставлю это так. Может, кто придумает. Ну а не придумает - позже напишу.
Все-таки думаю, что кто-нибудь да придумает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Еше одна трехдиагональная матрица
Сообщение10.12.2016, 23:03 
Заслуженный участник


09/05/13
8904

(Подсказка)

Оператор дифференцирования на пространстве однородных тригонометрических многочленов нужной степени в помощь.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group