2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Необходимость и достаточность условия для сходимости
Сообщение30.10.2016, 19:03 


14/04/15
187
Объясните пожалуйста, как сделать это задание.
Имеется пространство $\ell_\infty$, и есть условие:
$\forall k\in\mathbf{N}$ существует предел числовой последовательности $x_n(k)$.
Нужно ответить, является ли заданное условие для сходимости последовательности $x_n(k)$ в метрическом пространстве $\ell_\infty$?
Объясните пожалуйста, как сделать это задание?:
a) необходимым;
б) достаточным;
в)необходимым и достаточным.
Объясните пожалуйста, как сделать это задание?
Я знаю, что метрикой пространства $\ell_\infty$ является
$d(x_n,y_n)=\sup\limits_{k\in\mathbf{N}}|x_n(k)-y_n(k)|$. Сходимось последовательности означает существование предела в метрическом пространстве, то есть
$\forall \varepsilon>0\, \exists n_\varepsilon \in \mathbb{N} : \forall n \geqslant n_\varepsilon\, d(x_n,a) \leqslant \varepsilon$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Необходимость и достаточность условия для сходимости
Сообщение30.10.2016, 19:17 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Aiyyaa
Приведите, пожалуйста, пример последовательности из этого пространства, которая 1) удовлетворяет этому условию, 2) не удовлетворяет ему.

 Профиль  
                  
 
 Re: Необходимость и достаточность условия для сходимости
Сообщение30.10.2016, 19:47 


14/04/15
187
Otta в сообщении #1164434 писал(а):
пример последовательности из этого пространства, которая 1) удовлетворяет этому условию, 2) не удовлетворяет ему.

я не понимаю, мне нужно привести пример последовательности, которая сходится по метрике из пространства $\ell_\infty$, то 2 последовательности $x_n(k)$ и $a(k)$, такие, что $a=\lim\limits_{n\to\infty}x_n(k)$ и такую последовательность, к которой невозможно подобрать такой функции, к которой бы она сходилась?

 Профиль  
                  
 
 Re: Необходимость и достаточность условия для сходимости
Сообщение30.10.2016, 19:50 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Нет. У Вас есть условие, которое предлагается проверить на необходимость (или достаточность). Какое?
Вот и приведите пример двух последовательностей. Обе из $\ell_\infty$.
Первая - чтобы удовлетворяла этому условию.
Вторая - чтобы не удовлетворяла.

 Профиль  
                  
 
 Re: Необходимость и достаточность условия для сходимости
Сообщение30.10.2016, 20:05 


14/04/15
187
Otta в сообщении #1164447 писал(а):
Первая - чтобы удовлетворяла этому условию.

гармонический ряд $x_n=\frac{1}{n}$ сходится,
Otta в сообщении #1164447 писал(а):
Вторая - чтобы не удовлетворяла.

ряд $y_n=\frac{1}{\sqrt{n}}$ не сходится

 Профиль  
                  
 
 Re: Необходимость и достаточность условия для сходимости
Сообщение30.10.2016, 20:09 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Про сходится и не сходится речи не было. Была речь про условие. Какое условие Вам надо проверять на необходимость (достаточность) для сходимости?

 Профиль  
                  
 
 Re: Необходимость и достаточность условия для сходимости
Сообщение30.10.2016, 20:16 


14/04/15
187
Otta в сообщении #1164457 писал(а):
Про сходится и не сходится речи не было. Была речь про условие. Какое условие Вам надо проверять на необходимость (достаточность) для сходимости?

Вот это условие:
$\forall k\in\mathbf{N}$ существует предел числовой последовательности $x_n(k)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Необходимость и достаточность условия для сходимости
Сообщение30.10.2016, 20:21 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
Отлично. С условием временно разобрались. А вот теперь неплохо бы понять, кто лежит в $\ell_\infty$. Что является элементами этого пространства?

 Профиль  
                  
 
 Re: Необходимость и достаточность условия для сходимости
Сообщение30.10.2016, 20:33 


14/04/15
187
Otta в сообщении #1164463 писал(а):
кто лежит в $\ell_\infty$. Что является элементами этого пространства?

$\ell_\infty$ является пространством последовательностей, следовательно в нём лежат числовые последовательности

 Профиль  
                  
 
 Re: Необходимость и достаточность условия для сходимости
Сообщение30.10.2016, 20:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Aiyyaa в сообщении #1164454 писал(а):
гармонический ряд $x_n=\frac{1}{n}$ сходится,

Давно ли он начал сходиться? :shock:

 Профиль  
                  
 
 Re: Необходимость и достаточность условия для сходимости
Сообщение30.10.2016, 20:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Brukvalub в сообщении #1164471 писал(а):
Давно ли он начал сходиться?
С тех пор, как потерял знак суммы :-)

Aiyyaa а как, по вашему, выглядит последовательность, элементы которой лежат в $l_{\infty}$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Необходимость и достаточность условия для сходимости
Сообщение30.10.2016, 20:57 


14/04/15
187
provincialka в сообщении #1164474 писал(а):
выглядит последовательность, элементы которой лежат в $l_{\infty}$?

ну бесконечное количество чисел в скобках, что-то вроде $(1, \frac{1}{n},\frac{1}{n^2},...)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Необходимость и достаточность условия для сходимости
Сообщение30.10.2016, 21:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Aiyyaa в сообщении #1164480 писал(а):
ну бесконечное количество чисел в скобках, что-то вроде $(1, \frac{1}{n},\frac{1}{n^2},...)$

Это ошибочное представление. Выходит, вы не понимаете даже определения объекта, о котором пытаетесь рассуждать. Пока вам рано решать подобные задачи.

 Профиль  
                  
 
 Re: Необходимость и достаточность условия для сходимости
Сообщение30.10.2016, 21:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11018
Hogtown
Aiyyaa в сообщении #1164430 писал(а):
Сходимось последовательности

чего последовательности?

 Профиль  
                  
 
 Re: Необходимость и достаточность условия для сходимости
Сообщение30.10.2016, 21:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
Aiyyaa в сообщении #1164480 писал(а):
ну бесконечное количество чисел в скобках, что-то вроде $(1, \frac{1}{n},\frac{1}{n^2},...)$

Нет! Так выглядит только один элемент из $\ell_\infty$. А в последовательности таких элементов -- бесконечное множество.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 66 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: tolstopuz


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group