Необходимость и достаточность условия для сходимости

[Aiyyaa]

Otta в сообщении #1164590 писал(а):

Ограничены ли последовательности $x_n$ из моего примера

Вы имеете в виду одну последовательность $x_n= (1,2,3,\ldots,n,0,0,\ldots)$? Если так, то эта последовательность, состоящая из последовательностей $x_n(k)$, которые являются ограниченными по определению, поскольку лежат в пространстве $l_\infty$, наверное, не является ограниченной, так как при увеличении $n$ увеличивается $M_n$, такое что $|x_n|<M_n$, то есть $M$ не является постоянным числом, поэтому и последовательность из ограниченных последовательностей сама не является ограниченной.

[Otta]

Aiyyaa в сообщении #1164605 писал(а):

Вы имеете в виду одну последовательность $x_n= (1,2,3,\ldots,n,0,0,\ldots)$?

Нет. Я имею в виду каждый элемент последовательности $x_1,x_2,\ldots$.
Вы ранее установили, что каждый такой элемент - последовательность. Чтобы лежать в $l_\infty$, она (каждая такая последовательность) должна быть ограничена.
Поехали.
Первый элемент последовательности $x_1,x_2,\ldots$ какой? он ограничен?
Второй?
Третий?
$n$-й?

[Aiyyaa]

Otta в сообщении #1164607 писал(а):

Первый элемент последовательности $x_1,x_2,\ldots$ какой? он ограничен?

Первый элемент последовательности $x_1=(1,0,0,...)$ ограничен, и все элементы последовательности ограничены, поскольку они принадлежат пространству ограниченных функций. То есть все элементы последовательности $x_1x_2...x_n$ ограничены.

[Otta]

Aiyyaa в сообщении #1164672 писал(а):

То есть все элементы последовательности $x_1x_2...x_n$ ограничены.

Да, верно. То есть каждый из низ - элемент $l_\infty$. То есть это - последовательность элементов этого пространства. (Многоточие в хвосте после $x_n$ обязательно: только так Вы покажете, что понимаете (правда?), что речь не с конечным числом элементов.)

Важно! Отличать последовательность-элемент пространства и последовательность элементов, то есть последовательность из последовательностей.

А вот теперь далее. Про обозначение $x_n(k)$.

Это то, что стоит на $k$-м месте последовательности $x_n$

Например. $x_1=(1,0,0,\ldots)$.
Тогда $x_1(1)=1,x_1(k)=0$ при $k\ge2$.

Напишите для произвольного номера $x_n(k)$, чему он равен.

[Aiyyaa]

Otta в сообщении #1164868 писал(а):

произвольного номера $x_n(k)$

если $k\leqslant n$ то $x_n(k)=n$, если же $k>n$ то $x_n(k)=0$.

[Otta]

Aiyyaa в сообщении #1165050 писал(а):

если $k\leqslant n$ то $x_n(k)=n$

А ну-ка давайте посчитаем.
Берем $x_3$. Считаем, из чего она состоит. (Никуда не глядя и не вспоминая, что было выше. Только по Вашим формулам.)

[Aiyyaa]

да, там ошибка, если $k\leqslant n$ то $x_n(k)=k$, то есть
$x_3=(1,2,3,0,0,...)$

[Otta]

Так. Вот и смотрите, выполнено условие

Aiyyaa в сообщении #1164430 писал(а):

$\forall k\in\mathbf{N}$ существует предел числовой последовательности $x_n(k)$.

или нет.

[Aiyyaa]

то есть мне нужно посчитать $\lim\limits_{n \to\infty} x_n(k)$ для любого $k$ ? То есть пределом при $k\leqslant n$ будет сумма первых $k$ членов последовательности, а при $ k>n$ пределом будет $\lim\limits_{n\to \infty} x_n(k)=\frac{x_n(1)+x_n(n)}{2}\cdot n $ , то есть сумма первых $n$ ненулевых членов последовательности, которую можно найти по формуле арифметической прогрессии ?

[Otta]

Aiyyaa в сообщении #1165204 писал(а):

То есть пределом при $k\leqslant n$ будет сумма первых $k$ членов последовательности, а при $ k>n$

Предел по $n$ зависит от $n$, да?
И тут.

Aiyyaa в сообщении #1165204 писал(а):

$\lim\limits_{n\to \infty} x_n(k)=\frac{x_n(1)+x_n(n)}{2}\cdot n $ ,

Это вообще откуда?

[Aiyyaa]

Otta в сообщении #1165212 писал(а):

Предел по $n$ зависит от $n$, да?

я не понимаю

Otta в сообщении #1165212 писал(а):

Это вообще откуда?

в $x_n$ в каждой ограниченной последовательности, то есть в последовательности $x_1$, последовательности $x_2$ и так далее всего $n$ ненулевых членов последовательности, это сумма арифметической прогрессии для этих последовательностей, из которых состоит $x_n$.

[Someone]

Aiyyaa в сообщении #1165223 писал(а):

это сумма арифметической прогрессии

Откуда вообще взялась сумма, если она нигде не упоминалась?

[Aiyyaa]

последовательность, состоящая из ограниченных последовательностей $x_n=(1,2,3,...,n,0,0,...)$,
ограниченные последовательности, из которых она состоит:
$x_1=(1,0,0,...)$; $x_2=(1,2,0,...)$; $x_3=(1,2,3,0,0,...)$ и так далее, первые $n$ членов каждой из этих последовательностей составляют арифметическую прогрессию.

[provincialka]

Aiyyaa в сообщении #1165232 писал(а):

первые $n$ членов каждой из этих последовательностей составляют арифметическую прогрессию.

Ну и что? Разве, увидев прогрессию (хоть арифметическую, хоть нет) нужно ее суммировать? Почему?

-- 02.11.2016, 00:42 --

$x_1=(1,0,0,0,0,...)$
$x_2=(1,2,0,0,0,...)$
$x_3=(1,2,3,0,0,...)$
$x_4=(1,2,3,4,0,...)$
...
Каждая последовательность $x_n$, при фиксированном $n$ расположена в этом списке по горизонтали. А последовательность $x_n(k)$ при фиксированном $k$ -- где?

[Aiyyaa]

provincialka в сообщении #1165242 писал(а):

А последовательность $x_n(k)$ при фиксированном $k$ -- где?

Разве $x_n(k)$ это последовательность? По-моему это число, которое расположено на к-ом месте.