2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.
 
 Re: Вычисление и оценка коэффициентов a_0, a_1, ..., a_{n-1}.
Сообщение25.11.2016, 13:13 


31/03/06
1384
Я пока не знаю, как доказать ВТФ для всех $n$, но могу завершить доказательство ВТФ кодом для конкретных $n$.

Прежде всего установим, как меняются коэффициенты $b_0, b_1, ..., b_{n-1}$ при небольшом изменении $u$.
Код показывает, что все коэффициенты положительны, и каждый из них слегка уменьшается при увеличении $u$.
Но доказать это я пока не могу.

Каждый коэффициент является суммой произведений, поэтому оценим как меняется произведение, если известно, как меняются сомножители.
Пусть даны $k$ фунций $f_1(u), ..., f_k(u)$, два значения аргумента $u_1$ и $u_2$, и пусть $\lvert f_j(u_2)-f_j(u_1) \rvert \le \varepsilon_j$ для любого $j=1, ..., k$.
Пусть $\lvert f_j(u) \rvert \le M$ для любого $j=1, ..., k$.
Покажем по индукции, что $\lvert f_1(u_2) f_2(u_2) ... f_k(u_2)-f_1(u_1) f_2(u_1) ... f_k(u_1) \rvert \le M^{k-1} (\varepsilon_1+\varepsilon_2+...+\varepsilon_k)$.
При $k=1$ это дано.
Предположим это верно для $k=m$.
Покажем, что это верно для $k=m+1$.

$\lvert f_1(u_2) f_2(u_2) ... f_m(u_2) f_{m+1}(u_2)-f_1(u_1) f_2(u_1) ... f_m(u_1) f_{m+1}(u_1) \rvert=\lvert f_{m+1}(u_2) (f_1(u_2) f_2(u_2) ... f_m(u_2)-f_1(u_1) f_2(u_1) ... f_m(u_1))+f_1(u_1) f_2(u_1) ... f_m(u_1) (f_{m+1}(u_2)-f_{m+1}(u_1)) \rvert \le M M^{m-1} (\varepsilon_1+\varepsilon_2+...+\varepsilon_m)+M^m \varepsilon_{m+1}=M^m (\varepsilon_1+\varepsilon_2+...+\varepsilon_{m+1})$.

Мы доказали:

(44) $\lvert f_1(u_2) f_2(u_2) ... f_k(u_2)-f_1(u_1) f_2(u_1) ... f_k(u_1) \rvert \le M^{k-1} (\varepsilon_1+\varepsilon_2+...+\varepsilon_k)$.

Продолжение следует.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление и оценка коэффициентов a_0, a_1, ..., a_{n-1}.
Сообщение26.11.2016, 12:00 


31/03/06
1384
Функция $\sqrt{1-u}$ равномерно непрерывна на отрезке $[0, 1]$.
Если $u_1<u_2$ и $u_2-u_1<\delta$, то $\sqrt{1-u_1}-\sqrt{1-u_2} \le \sqrt{(1-u_1)-(1-u_2)}<\sqrt{\delta}$.

Функция $\sqrt{1-u_1 i_n^j}$ также равномерно непрерывна на отрезке $[0, 1]$, для любого $j=1, 2, ..., (n-1)$.
Согласно теореме о промежуточном значении:

(45) $\lvert \sqrt{1-u_2 i_n^j}-\sqrt{1-u_1 i_n^j} \rvert \le (u_2-u_1) \lvert (\sqrt{1-u_1 i_n^j})'_{u=\xi} \rvert$,

где $\xi$ - промежуточное значение между $u_1$ и $u_2$.

Заметим, что неравенство (45) отличается от равенства в теореме о промежуточном значении для функций с действительными значениями.
Мы применили теорему о промежуточном значении для векторзначных функций (Рудин, "Основы математического анализа", стр. 124, теорема 5.20).

Из (45) следует:

(46) $\lvert \sqrt{1-u_2 i_n^j}-\sqrt{1-u_1 i_n^j} \rvert \le (u_2-u_1) \lvert \frac{1}{2 \sqrt{1-\xi i_n^j}} \rvert$

Поскольку $\lvert 1-\xi i_n^j \rvert \ge \sin(2 \pi/n)$, то из (46) следует:

(47) $\lvert \sqrt{1-u_2 i_n^j}-\sqrt{1-u_1 i_n^j} \rvert \le \delta /(2 \sqrt{\sin(2 \pi/n)})$

Продолжение следует.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление и оценка коэффициентов a_0, a_1, ..., a_{n-1}.
Сообщение26.11.2016, 14:23 


31/03/06
1384
Из (44), (47) и неравенства $\sqrt{1-u_1}-\sqrt{1-u_2}<\sqrt{\delta}$ следует:

(48) $\lvert b_k(u_1)-b_k(u_2) \rvert \le C_n^{n-k} \sqrt{2}^{n-k-1} ((n-k) \, \delta /(2 \sqrt{\sin(2 \pi/n)})+\sqrt{\delta})$,

для любого $k=0, 1, ..., (n-1)$ (при условии $u_1<u_2$ и $u_2-u_1<\delta$)

Продолжение следует.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление и оценка коэффициентов a_0, a_1, ..., a_{n-1}.
Сообщение26.11.2016, 16:10 


31/03/06
1384
Установим теперь, как меняется произведение $b_k w^{(k-1)/2}$ при небольшом изменении $u$.
Пусть $u_1<u_2$ и $u_2-u_1<\delta$.

Тогда

$\lvert b_k(u_1) w(u_1)^{(k-1)/2}-b_k(u_2) w(u_2)^{(k-1)/2} \rvert=$ $\lvert w(u_1)^{(k-1)/2} (b_k(u_1)-b_k(u_2))+b_k(u_2) (w(u_1)^{(k-1)/2}-w(u_2)^{(k-1)/2}) \rvert \le$
$2^{(k-1)/2} C_n^{n-k} \sqrt{2}^{n-k-1} ((n-k) \, \delta /(2 \sqrt{\sin(2 \pi/n)})+\sqrt{\delta})+$ $C_n^{n-k} \sqrt{2}^{n-k} 2^{(k-3)/2} ((k-1)/2) \delta$.

Следовательно:

(49) $\lvert b_k(u_1) w(u_1)^{(k-1)/2}-b_k(u_2) w(u_2)^{(k-1)/2} \rvert \le $ $C_n^{n-k} \sqrt{2}^{n-4} (2 ((n-k) \, \delta /(2 \sqrt{\sin(2 \pi/n)})+\sqrt{\delta})+\sqrt{2}((k-1)/2) \delta)$,

для любого $k=1, 3, ..., n-2$.

Продолжение следует.

-- Сб ноя 26, 2016 17:00:16 --

Обозначим $\varepsilon_k=2 ((n-k) \, \delta /(2 \sqrt{\sin(2 \pi/n)})+\sqrt{\delta})+\sqrt{2}((k-1)/2) \delta$.
Обозначим $\varphi_j(u)=w_j(u)^{(n-1)/2}+b_{n-2} w_j(u)^{(n-3)/2}+...+b_3 w_j(u)+b_1$,
для любого $j=0, 1, ..., (n-1)$ где $w_0(u)=w(u), w_1(u), ..., w_{n-1}(u)$ - сопряжённые с $w(u)$ числа

Тогда из (49) следует:

(50) $\lvert \varphi_j(u_1)-\varphi_j(u_2) \rvert \le$ $\sqrt{2}^{n-4} (\sqrt{2} ((n-1)/2) \delta+C_n^2 \varepsilon_{n-2}+C_n^4 \varepsilon_{n-4}+...C_n^{n-1} \varepsilon_1)$,

для любого $j=0, 1, ..., (n-1)$ (при условии $u_1<u_2$ и $u_2-u_1<\delta$).

Продолжение следует.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление и оценка коэффициентов a_0, a_1, ..., a_{n-1}.
Сообщение26.11.2016, 17:37 


31/03/06
1384
Из (40), (44) и (50) следует:

(51) $\lvert N(\varphi(u_1))-N(\varphi(u_2)) \rvert \le$ $2^{(3/2) (n-1)^2} n \sqrt{2}^{n-4} (\sqrt{2} ((n-1)/2) \delta+C_n^2 \varepsilon_{n-2}+C_n^4 \varepsilon_{n-4}+...C_n^{n-1} \varepsilon_1)$,

где

$\varphi(u)=w(u)^{(n-1)/2}+b_{n-2} w(u)^{(n-3)/2}+...+b_3 w(u)+b_1$,
$\varepsilon_k=2 ((n-k) \, \delta /(2 \sqrt{\sin(2 \pi/n)})+\sqrt{\delta})+\sqrt{2}((k-1)/2) \delta$, для любого $k=0, 1, ..., n-1$,
при условии $u_1<u_2$ и $u_2-u_1<\delta$.

Продолжение следует.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление и оценка коэффициентов a_0, a_1, ..., a_{n-1}.
Сообщение26.11.2016, 21:06 


31/03/06
1384
Оценку (51) следует улучшить, потому что приращение $\delta$, которое позволило бы доказать ВТФ для $n=5$ слишком маленькое, и код исполнялся бы слишком много времени.
Я заменил в (51) $2^{(3/2) (n-1)^2}$ на $2^{(4/3) (n-1)^2}$ и взял приращение $\delta=1/3000000$.
Код на "Ubasic" исполнялся минут 15.
Разница норм в (51) получается довольно большой даже при таком маленьком приращении $\delta$ (а код показывает, что на самом деле разница норм очень маленькая).
Тем не менее код проверяет, что все вычисляемые нормы, больше $350000$, а разница норм в (51) получается не больше $330000$.
Таким образом, на интервале $u \in [0, 1]$ норма $N(w^2+b_3 w+b_1)$ больше $20000$, что завершает доказательство ВТФ для $n=5$.

Я обнаружил, что с этим приращением $1/3000000$, норма $N(w^2+b_3 w+b_1)$ сначала возрастает, затем начинает убывать.
Значит в интервале $u \in (0, 1)$ есть экстремум, который является максимумом нормы.

Продолжение следует.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление и оценка коэффициентов a_0, a_1, ..., a_{n-1}.
Сообщение27.11.2016, 03:32 


31/03/06
1384
Займёмся улучшением оценки (51).
Начнём с того, что:

(52) $\lvert 1-u i_n^j \rvert \le 2 \sin(j \pi/n)$, для любого $j=0, 1, ..., n-1$.

Пусть даны $k$ фунций $f_1(u), ..., f_k(u)$, два значения аргумента $u_1$ и $u_2$, и пусть $\lvert f_j(u_2)-f_j(u_1) \rvert \le \varepsilon_j$ для любого $j=1, ..., k$.
Пусть $\lvert f_j(u) \rvert \le M_j$ для любого $j=1, ..., k$.
Покажем по индукции, что $\lvert f_1(u_2) f_2(u_2) ... f_k(u_2)-f_1(u_1) f_2(u_1) ... f_k(u_1) \rvert \le$ $M_1 M_2 ... M_k (\frac{\varepsilon_1}{M_1}+\frac{\varepsilon_2}{M_2}+...+\frac{\varepsilon_k}{M_k})$.
При $k=1$ это дано.
Предположим это верно для $k=m$.
Покажем, что это верно для $k=m+1$.

$\lvert f_1(u_2) f_2(u_2) ... f_m(u_2) f_{m+1}(u_2)-f_1(u_1) f_2(u_1) ... f_m(u_1) f_{m+1}(u_1) \rvert=\lvert f_{m+1}(u_2) (f_1(u_2) f_2(u_2) ... f_m(u_2)-f_1(u_1) f_2(u_1) ... f_m(u_1))+f_1(u_1) f_2(u_1) ... f_m(u_1) (f_{m+1}(u_2)-f_{m+1}(u_1)) \rvert \le M_{m+1} M_1 M_2 ... M_m (\frac{\varepsilon_1}{M_1}+\frac{\varepsilon_2}{M_2}+...+\frac{\varepsilon_2}{M_m})+M_1 M_2 ... M_m \varepsilon_{m+1}=M_1 M_2 ... M_{m+1} (\frac{\varepsilon_1}{M_1}+\frac{\varepsilon_2}{M_2}+...+\frac{\varepsilon_k}{M_{m+1}})$.

Мы доказали:

(53) $\lvert f_1(u_2) f_2(u_2) ... f_k(u_2)-f_1(u_1) f_2(u_1) ... f_k(u_1) \rvert \le$ $M_1 M_2 ... M_k (\frac{\varepsilon_1}{M_1}+\frac{\varepsilon_2}{M_2}+...+\frac{\varepsilon_k}{M_k})$.

Мы ввели дроби в правой части неравенства (53), чтобы не писать громоздкие произведения.
Если $M_1=0$, то первое слагаемое будет не в форме дроби, а в форме произведения $M_2 ... M_k \varepsilon_1$.

Продолжение следует.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление и оценка коэффициентов a_0, a_1, ..., a_{n-1}.
Сообщение27.11.2016, 08:06 


31/03/06
1384
Функция $\sqrt{1-u}$ равномерно непрерывна на отрезке $[0, 1]$.
Если $u_1<u_2$ и $u_2-u_1<\delta$, то $\sqrt{1-u_1}-\sqrt{1-u_2} \le \sqrt{(1-u_1)-(1-u_2)}<\sqrt{\delta}$.

Следовательно:

(54) $\sqrt{1-u_1}-\sqrt{1-u_2}<\sqrt{\delta}$,

при условии $u_1<u_2$ и $u_2-u_1<\delta$.

Функция $\sqrt{1-u_1 i_n^j}$ также равномерно непрерывна на отрезке $[0, 1]$, для любого $j=1, 2, ..., (n-1)$.
Согласно теореме о промежуточном значении:

(55) $\lvert \sqrt{1-u_2 i_n^j}-\sqrt{1-u_1 i_n^j} \rvert \le (u_2-u_1) \lvert (\sqrt{1-u_1 i_n^j})'_{u=\xi} \rvert$,

где $\xi$ - промежуточное значение между $u_1$ и $u_2$.

Заметим, что неравенство (55) отличается от равенства в теореме о промежуточном значении для функций с действительными значениями.
Мы применили теорему о промежуточном значении для векторзначных функций (Рудин, "Основы математического анализа", стр. 124, теорема 5.20).

Из (55) следует:

(56) $\lvert \sqrt{1-u_2 i_n^j}-\sqrt{1-u_1 i_n^j} \rvert \le (u_2-u_1) \lvert \frac{1}{2 \sqrt{1-\xi i_n^j}} \rvert$

Если $0<j<n/4$ или $j>3 n/4$, то $\lvert 1-\xi i_n^j \rvert \ge \lvert \sin(j 2 \pi/n) \rvert$.
Если $n/4<j<3 n/4$, то $\lvert 1-\xi i_n^j \rvert \ge 1$.

Следовательно:

(57) $\lvert \sqrt{1-\xi i_n^j} \rvert \ge m_j$,

где $m_j=\sqrt{\lvert \sin(j 2 \pi/n) \rvert}$ при $0<j<n/4$ или $j>3 n/4$, и $m_j=1$ при $n/4<j<3 n/4$.

Из (54), (56) и (57) следует:

(58) $\lvert \sqrt{1-u_2 i_n^j}-\sqrt{1-u_1 i_n^j} \rvert \le \delta /(2 m_j)$,

где $m_j=\sqrt{\delta}/2$ при $j=0$, $m_j=\sqrt{\lvert \sin(j 2 \pi/n) \rvert}$ при $0<j<n/4$ или $j>3 n/4$ и $m_j=1$ при $n/4<j<3 n/4$,
при условии $u_1<u_2$ и $u_2-u_1<\delta$.

Из (52), (53) и (58) следует:

(59) $\lvert b_k(u_1)-b_k(u_2) \rvert \le$ $\delta \sum_{j_1, ..., j_{n-k}} \sqrt{2 \sin(j_1 \pi/n)}...\sqrt{2 \sin(j_{n-k} \pi/n)} (\frac{1}{2 m_{j_1} \sqrt{2 \sin(j_1 \pi/n)}}+...+\frac{1}{2 m_{j_{n-k}} \sqrt{2 \sin(j_{n-k} \pi/n)}})$,

при условии $u_1<u_2$ и $u_2-u_1<\delta$,
для любого $k=0, 1, ..., (n-1)$,

где суммирование ведётся по всем сочетаниям индексов $j_1, ..., j_{n-k}$ из индексов $0, 1, ..., n-1$,
$m_j=\sqrt{\delta}/2$ при $j=0$, $m_j=\sqrt{\lvert \sin(j 2 \pi/n) \rvert}$ при $0<j<n/4$ или $j>3 n/4$ и $m_j=1$ при $n/4<j<3 n/4$.

Продолжение следует.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление и оценка коэффициентов a_0, a_1, ..., a_{n-1}.
Сообщение27.11.2016, 09:55 


31/03/06
1384
Из (52) следует:

(60) $\lvert b_k \rvert \le \sum_{j_1, ..., j_{n-k}} \sqrt{2 \sin(j_1 \pi/n)}...\sqrt{2 \sin(j_{n-k} \pi/n)}$,

для любого $k=0, 1, ..., (n-1)$,
где суммирование ведётся по всем сочетаниям индексов $j_1, ..., j_{n-k}$ из индексов $0, 1, ..., n-1$.

Из (52) и (60) следует:

(61) $\lvert w_j^{(n-1)/2}+b_{n-2} w_j^{(n-3)/2}+...+b_3 w_j+b_1 \rvert \le$ $(2 \sin(j \pi/n))^{(n-1)/2}+M_{b_{n-2}} (2 \sin(j \pi/n))^{(n-3)/2}+...+M_{b_3} 2 \sin(j \pi/n)+M_{b_1}$,

для любого $j=0, 1, ..., (n-1)$,
где $w_0=w, w_1, ..., w_{n-1}$ - сопряжённые с $w$ числа,

$M_{b_k}=\sum_{j_1, ..., j_{n-k}} \sqrt{2 \sin(j_1 \pi/n)}...\sqrt{2 \sin(j_{n-k} \pi/n)}$,

для любого $k=0, 1, ..., (n-1)$,
где суммирование ведётся по всем сочетаниям индексов $j_1, ..., j_{n-k}$ из индексов $0, 1, ..., n-1$.

Установим теперь, как меняется произведение $b_k w_j^{(k-1)/2}$ при небольшом изменении $u$.
Пусть $u_1<u_2$ и $u_2-u_1<\delta$.

Тогда

$\lvert b_k(u_1) w_j(u_1)^{(k-1)/2}-b_k(u_2) w_j(u_2)^{(k-1)/2} \rvert=$ $\lvert w_j(u_1)^{(k-1)/2} (b_k(u_1)-b_k(u_2))+b_k(u_2) (w_j(u_1)^{(k-1)/2}-w_j(u_2)^{(k-1)/2}) \rvert \le$
$\delta (2 \sin(j \pi/n))^{(k-1)/2} \sum_{j_1, ..., j_{n-k}} \sqrt{2 \sin(j_1 \pi/n)}...\sqrt{2 \sin(j_{n-k} \pi/n)}$ $(\frac{1}{2 m_{j_1} \sqrt{2 \sin(j_1 \pi/n)}}+...+\frac{1}{2 m_{j_{n-k}} \sqrt{2 \sin(j_{n-k} \pi/n)}})+$ $\delta M_{b_k} (2 \sin(j \pi/n))^{(k-3)/2} ((k-1)/2)$.

Следовательно:

(62) $\lvert b_k(u_1) w_j(u_1)^{(k-1)/2}-b_k(u_2) w_j(u_2)^{(k-1)/2} \rvert \le \delta D_k$,

при условии $u_1<u_2$ и $u_2-u_1<\delta$,
для любого $j=0, 1, ..., n-1$, где $w_0=w, w_1, ..., w_{n-1}$ - сопряжённые с $w$ числа,
для любого $k=1, 3, ..., n-2$,
$D_k=(2 \sin(j \pi/n))^{(k-1)/2} \sum_{j_1, ..., j_{n-k}} \sqrt{2 \sin(j_1 \pi/n)}...\sqrt{2 \sin(j_{n-k} \pi/n)}$ $(\frac{1}{2 m_{j_1} \sqrt{2 \sin(j_1 \pi/n)}}+...+\frac{1}{2 m_{j_{n-k}} \sqrt{2 \sin(j_{n-k} \pi/n)}})+$ $M_{b_k} (2 \sin(j \pi/n))^{(k-3)/2} ((k-1)/2)$,
$m_j=\sqrt{\delta}/2$ при $j=0$, $m_j=\sqrt{\lvert \sin(j 2 \pi/n) \rvert}$ при $0<j<n/4$ или $j>3 n/4$ и $m_j=1$ при $n/4<j<3 n/4$,
$M_{b_k}=\sum_{j_1, ..., j_{n-k}} \sqrt{2 \sin(j_1 \pi/n)}...\sqrt{2 \sin(j_{n-k} \pi/n)}$,
суммирование ведётся по всем сочетаниям индексов $j_1, ..., j_{n-k}$ из индексов $0, 1, ..., n-1$.

Продолжение следует.

-- Вс ноя 27, 2016 10:32:07 --

Обозначим $\varphi_j(u)=w_j(u)^{(n-1)/2}+b_{n-2} w_j(u)^{(n-3)/2}+...+b_3 w_j(u)+b_1$,
для любого $j=0, 1, ..., (n-1)$ где $w_0(u)=w(u), w_1(u), ..., w_{n-1}(u)$ - сопряжённые с $w(u)$ числа.

Обозначим $D_n=(2 \sin(j \pi/n))^{(n-3)/2} ((n-1)/2)$.

Тогда из (62) следует:

(63) $\lvert \varphi_j(u_1)-\varphi_j(u_2) \rvert \le \delta (D_n+D_{n-2}+...+D_1)$,

при условии $u_1<u_2$ и $u_2-u_1<\delta$,

для любого $j=0, 1, ..., (n-1)$,
где $\varphi_j(u)=w_j(u)^{(n-1)/2}+b_{n-2} w_j(u)^{(n-3)/2}+...+b_3 w_j(u)+b_1$,
$w_0(u)=w(u), w_1(u), ..., w_{n-1}(u)$ - сопряжённые с $w(u)$ числа,

$D_k=(2 \sin(j \pi/n))^{(k-1)/2} \sum_{j_1, ..., j_{n-k}} \sqrt{2 \sin(j_1 \pi/n)}...\sqrt{2 \sin(j_{n-k} \pi/n)}$ $(\frac{1}{2 m_{j_1} \sqrt{2 \sin(j_1 \pi/n)}}+...+\frac{1}{2 m_{j_{n-k}} \sqrt{2 \sin(j_{n-k} \pi/n)}})+$ $M_{b_k} (2 \sin(j \pi/n))^{(k-3)/2} ((k-1)/2)$,
для любого $k=1, 3, ..., n-2$,

$m_j=\sqrt{\delta}/2$ при $j=0$, $m_j=\sqrt{\lvert \sin(j 2 \pi/n) \rvert}$ при $0<j<n/4$ или $j>3 n/4$ и $m_j=1$ при $n/4<j<3 n/4$,
$M_{b_k}=\sum_{j_1, ..., j_{n-k}} \sqrt{2 \sin(j_1 \pi/n)}...\sqrt{2 \sin(j_{n-k} \pi/n)}$,
суммирование ведётся по всем сочетаниям индексов $j_1, ..., j_{n-k}$ из индексов $0, 1, ..., n-1$,

$D_n=(2 \sin(j \pi/n))^{(n-3)/2} ((n-1)/2)$.

Продолжение следует.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление и оценка коэффициентов a_0, a_1, ..., a_{n-1}.
Сообщение27.11.2016, 11:29 


31/03/06
1384
Из (53), (61) и (63) следует:

(64) $\lvert N(\varphi(u_1))-N(\varphi(u_2)) \rvert \le \delta M_{\varphi 0} M_{\varphi 1}...M_{\varphi (n-1)} \sum_{j=0}^{n-1}\frac{D_{n j}+D_{(n-2) j}+...+D_{1 j}}{M_{\varphi j}}$,

при условии $u_1<u_2$ и $u_2-u_1<\delta$,

где

$\varphi(u)=w(u)^{(n-1)/2}+b_{n-2} w(u)^{(n-3)/2}+...+b_3 w(u)+b_1$,

$M_{\varphi j}=$ $(2 \sin(j \pi/n))^{(n-1)/2}+M_{b_{n-2}} (2 \sin(j \pi/n))^{(n-3)/2}+...+M_{b_3} 2 \sin(j \pi/n)+M_{b_1}$,
для любого $j=0, 1, ..., n-1$,

$M_{b_k}=\sum_{j_1, ..., j_{n-k}} \sqrt{2 \sin(j_1 \pi/n)}...\sqrt{2 \sin(j_{n-k} \pi/n)}$,
$D_{k j}=(2 \sin(j \pi/n))^{(k-1)/2} \sum_{j_1, ..., j_{n-k}} \sqrt{2 \sin(j_1 \pi/n)}...\sqrt{2 \sin(j_{n-k} \pi/n)}$ $(\frac{1}{2 m_{j_1} \sqrt{2 \sin(j_1 \pi/n)}}+...+\frac{1}{2 m_{j_{n-k}} \sqrt{2 \sin(j_{n-k} \pi/n)}})+$ $M_{b_k} (2 \sin(j \pi/n))^{(k-3)/2} ((k-1)/2)$,
для любого $k=1, 3, ..., n-2$,
для любого $j=0, 1, ..., n-1$,
суммирование ведётся по всем сочетаниям индексов $j_1, ..., j_{n-k}$ из индексов $0, 1, ..., n-1$,

$m_j=\sqrt{\delta}/2$ при $j=0$, $m_j=\sqrt{\lvert \sin(j 2 \pi/n) \rvert}$ при $0<j<n/4$ или $j>3 n/4$ и $m_j=1$ при $n/4<j<3 n/4$,

$D_{n j}=(2 \sin(j \pi/n))^{(n-3)/2} ((n-1)/2)$,
для любого $j=0, 1, ..., n-1$.

Продолжение следует.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление и оценка коэффициентов a_0, a_1, ..., a_{n-1}.
Сообщение27.11.2016, 13:04 


31/03/06
1384
Проверка показала, что я неверно вычислил максимум фунцкии $\lvert 1-u i_n^j  \rvert$ (неравенство (52)).
Если $\sin(j \pi/n)<1/2$, то этот максимум равен $1$, а не $2 \sin(j \pi/n)$.

Нужно исправлять.

Продолжениие следует.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление и оценка коэффициентов a_0, a_1, ..., a_{n-1}.
Сообщение27.11.2016, 15:55 


31/03/06
1384
Исправим (52):

(52) $\lvert 1-u i_n^j \rvert \le M_{w_j}$,

для любого $j=0, 1, ..., n-1$,
где $M_{w_j}=1$ при $j<n/6$ or $j>5/6 n$ и $M_{w_j}=2 \sin(j \pi/n)$, при $5/6 n>j>n/6$

Исправим (59):

Из (52), (53) и (58) следует:

(59) $\lvert b_k(u_1)-b_k(u_2) \rvert \le$ $\delta \sum_{j_1, ..., j_{n-k}} \sqrt{M_{w_{j_1}}}...\sqrt{M_{w_{j_{n-k}}}} (\frac{1}{2 m_{j_1} \sqrt{M_{w_{j_1}}}}+...+\frac{1}{2 m_{j_{n-k}} \sqrt{M_{w_{j_{n-k}}}}})$,

при условии $u_1<u_2$ и $u_2-u_1<\delta$,

$M_{w_j}=1$ при $j<n/6$ or $j>5/6 n$ и $M_{w_j}=2 \sin(j \pi/n)$, при $5/6 n>j>n/6$,
для любого $j=0, 1, ..., n-1$.

Исправим (60):

Из (52) следует:

(60) $\lvert b_k \rvert \le \sum_{j_1, ..., j_{n-k}} \sqrt{M_{w_{j_1}}}...\sqrt{M_{w_{j_{n-k}}}}$,

для любого $k=0, 1, ..., (n-1)$,
где суммирование ведётся по всем сочетаниям индексов $j_1, ..., j_{n-k}$ из индексов $0, 1, ..., n-1$.
для любого $k=0, 1, ..., (n-1)$,

$M_{w_j}=1$ при $j<n/6$ or $j>5/6 n$ и $M_{w_j}=2 \sin(j \pi/n)$, при $5/6 n>j>n/6$,
для любого $j=0, 1, ..., n-1$.

Исправим (61):

Из (52) и (60) следует:

(61) $\lvert w_j^{(n-1)/2}+b_{n-2} w_j^{(n-3)/2}+...+b_3 w_j+b_1 \rvert \le$ $M_{w_j}^{(n-1)/2}+M_{b_{n-2}} M_{w_j}^{(n-3)/2}+...+M_{b_3} M_{w_j}+M_{b_1}$,

для любого $j=0, 1, ..., (n-1)$,
где $w_0=w, w_1, ..., w_{n-1}$ - сопряжённые с $w$ числа,

$M_{b_k}=\sum_{j_1, ..., j_{n-k}} \sqrt{M_{w_{j_1}}}...\sqrt{M_{w_{j_{n-k}}}}$,
для любого $k=0, 1, ..., (n-1)$,
где суммирование ведётся по всем сочетаниям индексов $j_1, ..., j_{n-k}$ из индексов $0, 1, ..., n-1$.

$M_{w_j}=1$ при $j<n/6$ or $j>5/6 n$ и $M_{w_j}=2 \sin(j \pi/n)$, при $5/6 n>j>n/6$,
для любого $j=0, 1, ..., n-1$.

Исправим (62):

Установим теперь, как меняется произведение $b_k w_j^{(k-1)/2}$ при небольшом изменении $u$.
Пусть $u_1<u_2$ и $u_2-u_1<\delta$.

Тогда

$\lvert b_k(u_1) w_j(u_1)^{(k-1)/2}-b_k(u_2) w_j(u_2)^{(k-1)/2} \rvert=$ $\lvert w_j(u_1)^{(k-1)/2} (b_k(u_1)-b_k(u_2))+b_k(u_2) (w_j(u_1)^{(k-1)/2}-w_j(u_2)^{(k-1)/2}) \rvert \le$
$\delta M_{w_j}^{(k-1)/2} \sum_{j_1, ..., j_{n-k}} \sqrt{M_{w_{j_1}}}...\sqrt{M_{w_{j_{n-k}}}}$ $(\frac{1}{2 m_{j_1} \sqrt{M_{w_{j_1}}}}+...+\frac{1}{2 m_{j_{n-k}} \sqrt{M_{w_{j_{n-k}}}}})+$ $\delta M_{b_k} M_{w_j}^{(k-3)/2} ((k-1)/2)$.

Следовательно:

(62) $\lvert b_k(u_1) w_j(u_1)^{(k-1)/2}-b_k(u_2) w_j(u_2)^{(k-1)/2} \rvert \le \delta D_k$,

при условии $u_1<u_2$ и $u_2-u_1<\delta$,

для любого $j=0, 1, ..., n-1$, где $w_0=w, w_1, ..., w_{n-1}$ - сопряжённые с $w$ числа,
для любого $k=1, 3, ..., n-2$,
$D_k=M_{w_j}^{(k-1)/2} \sum_{j_1, ..., j_{n-k}} \sqrt{M_{w_{j_1}}}...\sqrt{M_{w_{j_{n-k}}}}$ $(\frac{1}{2 m_{j_1} \sqrt{M_{w_{j_1}}}}+...+\frac{1}{2 m_{j_{n-k}} \sqrt{M_{w_{j_{n-k}}}}})+$ $M_{b_k} M_{w_j}^{(k-3)/2} ((k-1)/2)$,
$M_{b_k}=\sum_{j_1, ..., j_{n-k}} \sqrt{M_{w_{j_1}}}...\sqrt{M_{w_{j_{n-k}}}}$,
суммирование ведётся по всем сочетаниям индексов $j_1, ..., j_{n-k}$ из индексов $0, 1, ..., n-1$,

$M_{w_j}=1$ при $j<n/6$ or $j>5/6 n$ и $M_{w_j}=2 \sin(j \pi/n)$, при $5/6 n>j>n/6$,
$m_j=\sqrt{\delta}/2$ при $j=0$, $m_j=\sqrt{\lvert \sin(j 2 \pi/n) \rvert}$ при $0<j<n/4$ или $j>3 n/4$ и $m_j=1$ при $n/4<j<3 n/4$,
для любого $j=0, 1, ..., n-1$.

Исправим (63):

Обозначим $\varphi_j(u)=w_j(u)^{(n-1)/2}+b_{n-2} w_j(u)^{(n-3)/2}+...+b_3 w_j(u)+b_1$,
для любого $j=0, 1, ..., (n-1)$ где $w_0(u)=w(u), w_1(u), ..., w_{n-1}(u)$ - сопряжённые с $w(u)$ числа.

Обозначим $D_n=M_{w_j}^{(n-3)/2} ((n-1)/2)$.

Тогда из (62) следует:

(63) $\lvert \varphi_j(u_1)-\varphi_j(u_2) \rvert \le \delta (D_n+D_{n-2}+...+D_1)$,

при условии $u_1<u_2$ и $u_2-u_1<\delta$,

для любого $j=0, 1, ..., (n-1)$,
где $\varphi_j(u)=w_j(u)^{(n-1)/2}+b_{n-2} w_j(u)^{(n-3)/2}+...+b_3 w_j(u)+b_1$,
$w_0(u)=w(u), w_1(u), ..., w_{n-1}(u)$ - сопряжённые с $w(u)$ числа,

$D_k=M_{w_j}^{(k-1)/2} \sum_{j_1, ..., j_{n-k}} \sqrt{M_{w_{j_1}}}...\sqrt{M_{w_{j_{n-k}}}}$ $(\frac{1}{2 m_{j_1} \sqrt{M_{w_{j_1}}}}+...+\frac{1}{2 m_{j_{n-k}} \sqrt{M_{w_{j_{n-k}}}}})+$ $M_{b_k} M_{w_j}^{(k-3)/2} ((k-1)/2)$,
для любого $k=1, 3, ..., n-2$,

$M_{w_j}=1$ при $j<n/6$ or $j>5/6 n$ и $M_{w_j}=2 \sin(j \pi/n)$, при $5/6 n>j>n/6$,
$m_j=\sqrt{\delta}/2$ при $j=0$, $m_j=\sqrt{\lvert \sin(j 2 \pi/n) \rvert}$ при $0<j<n/4$ или $j>3 n/4$ и $m_j=1$ при $n/4<j<3 n/4$,
для любого $j=0, 1, ..., (n-1)$,

$M_{b_k}=\sum_{j_1, ..., j_{n-k}} \sqrt{M_{w_{j_1}}}...\sqrt{M_{w_{j_{n-k}}}}$,
для любого $k=1, 3, ..., n-2$,
суммирование ведётся по всем сочетаниям индексов $j_1, ..., j_{n-k}$ из индексов $0, 1, ..., n-1$,

$D_n=M_{w_j}^{(n-3)/2} ((n-1)/2)$.

Исправим (64):

Из (53), (61) и (63) следует:

(64) $\lvert N(\varphi(u_1))-N(\varphi(u_2)) \rvert \le \delta M_{\varphi 0} M_{\varphi 1}...M_{\varphi (n-1)} \sum_{j=0}^{n-1}\frac{D_{n j}+D_{(n-2) j}+...+D_{1 j}}{M_{\varphi j}}$,

при условии $u_1<u_2$ и $u_2-u_1<\delta$,

где

$\varphi(u)=w(u)^{(n-1)/2}+b_{n-2} w(u)^{(n-3)/2}+...+b_3 w(u)+b_1$,

$M_{\varphi j}=$ $M_{w_j}^{(n-1)/2}+M_{b_{n-2}} M_{w_j}^{(n-3)/2}+...+M_{b_3} M_{w_j}+M_{b_1}$,
для любого $j=0, 1, ..., n-1$,

$M_{b_k}=\sum_{j_1, ..., j_{n-k}} \sqrt{M_{w_{j_1}}}...\sqrt{M_{w_{j_{n-k}}}}$,
$D_{k j}=M_{w_j}^{(k-1)/2} \sum_{j_1, ..., j_{n-k}} \sqrt{M_{w_{j_1}}}...\sqrt{M_{w_{j_{n-k}}}}$ $(\frac{1}{2 m_{j_1} \sqrt{M_{w_{j_1}}}}+...+\frac{1}{2 m_{j_{n-k}} \sqrt{M_{w_{j_{n-k}}}}})+$ $M_{b_k} M_{w_j}^{(k-3)/2} ((k-1)/2)$,
для любого $k=1, 3, ..., n-2$,
для любого $j=0, 1, ..., n-1$,
суммирование ведётся по всем сочетаниям индексов $j_1, ..., j_{n-k}$ из индексов $0, 1, ..., n-1$,

$M_{w_j}=1$ при $j<n/6$ or $j>5/6 n$ и $M_{w_j}=2 \sin(j \pi/n)$, при $5/6 n>j>n/6$,
$m_j=\sqrt{\delta}/2$ при $j=0$, $m_j=\sqrt{\lvert \sin(j 2 \pi/n) \rvert}$ при $0<j<n/4$ или $j>3 n/4$ и $m_j=1$ при $n/4<j<3 n/4$,

$D_{n j}=M_{w_j}^{(n-3)/2} ((n-1)/2)$,
для любого $j=0, 1, ..., n-1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление и оценка коэффициентов a_0, a_1, ..., a_{n-1}.
Сообщение28.11.2016, 08:45 


31/03/06
1384
С оценкой (64), для доказательства ВТФ для $n=5$ достаточно взять приращение $\delta=50000$.
С этим приращением, программа на "Ubasic" исполняется несколько секунд.

Приведём код.

Код:
   10   for I=0 to 50000
   20   U=I/50000
   30   V=(1-U)^(1/2)
   40   I5=cos(pi(2)/5)+#i*sin(pi(2)/5)
   50   V1=(1-U*I5^2)^(1/2)
   60   V2=(1-U*I5^4)^(1/2)
   70   V3=(1-U*I5^6)^(1/2)
   80   V4=(1-U*I5^8)^(1/2)
   90   A0=(V+V1+V2+V3+V4)/5
  100   G=2^(1/5)
  110   A1=(V+V1*I5^4+V2*I5^3+V3*I5^2+V4*I5)/(5*G)
  120   A2=(V+V1*I5^3+V2*I5+V3*I5^4+V4*I5^2)/(5*G^2)
  130   A3=(V+V1*I5^2+V2*I5^4+V3*I5+V4*I5^3)/(5*G^3)
  140   A4=(V+V1*I5+V2*I5^2+V3*I5^3+V4*I5^4)/(5*G^4)
  150   B3=10*(A0^2-A1*A4-A2*A3)
  160   B1=5*(A0^4-6*A0^2*A1*A4-6*A0^2*A2*A3+4*A0*A1^2*A3+4*A0*A1*A2^2+8*A0*A2*A4^2+8*A0*A3^2*A4-2*A1^3*A2+4*A1^2*A4^2-4*A1*A2*A3*A4-4*A1*A3^3-4*A2^3*A4+4*A2^2*A3^2-8*A3*A4^3)
  170   Z2=A0^2+4*A1*A4+4*A2*A4
  180   Xy=A1^2+2*A0*A2+4*A3*A4
  190   R1=16*Xy^10+Z2^10+5*B3*Z2^9+5*(2*B3^2+B1)*Z2^8+10*(B3^3+2*B1*B3)*Z2^7+5*(B3^4+6*B1*B3^2+2*B1^2)*Z2^6-4*(B3^5-5*B1*B3^3+5*B1^2*B3)*Xy^5-(8*Xy^5-B3^5-20*B1*B3^3-30*B1^2*B3)*Z2^5
  200   R2=-5*(4*B3*Xy^5-B1*B3^4-6*B1^2*B3^2-2*B1^3)*Z2^4-10*(4*(B3^2-2*B1)*Xy^5-B1^2*B3^3-2*B1^3*B3)*Z2^3+B1^5-5*(8*(B3^3-3*B1*B3)*Xy^5-2*B1^3*B3^2-B1^4)*Z2^2-5*(4*(B3^4-4*B1*B3^2+2*B1^2)*Xy^5-B1^4*B3)*Z2
  210   if abs(R1+R2)<350000 then print R1+R2,"i=";I
  220   ' if I-10000*int(I/10000)=0 then print R1+R2,I
  230   B00=A0^5-10*A0^3*A1*A4-10*A0^3*A2*A3+10*A0^2*A1^2*A3+10*A0^2*A1*A2^2+20*A0^2*A2*A4^2+20*A0^2*A3^2*A4-10*A0*A1^3*A2+20*A0*A1^2*A4^2-20*A0*A1*A2*A3*A4-20*A0*A1*A3^3
  240   B01=-20*A0*A2^3*A4+20*A0*A2^2*A3^2-40*A0*A3*A4^3+2*A1^5-20*A1^3*A3*A4+20*A1^2*A2^2*A4+20*A1^2*A2*A3^2-20*A1*A2^3*A3-40*A1*A2*A4^3+40*A1*A3^2*A4^2+4*A2^5+40*A2^2*A3*A4^2-40*A2*A3^3*A4+8*A3^5+16*A4^5
  250   B0=B00+B01
  260   B4=5*A0
  270   B2=10*(A0^3-3*A0*A1*A4-3*A0*A2*A3+A1^2*A3+A1*A2^2+2*A2*A4^2+2*A3^2*A4)
  280   L1=(B0-B1*B4)^2-B3*(B0-B1*B4)*(B2-B3*B4)+B1*(B2-B3*B4)^2
  290   ' print L1
  300   ' print B4,B3,B2,B1,B0
  310   next I
  320   dim MB(5),S(5),E(5),MW(5),MI(5),DI(5,5)
  322   dim Mph(5)
  330   D=1/50000
  340   for M=1 to 5
  350   S(M)=0
  360   for J=0 to 4
  370   MW(J)=2*sin(J*pi(1)/5)
  380   if J<5/6 or J>5*5/6 then MW(J)=1
  382   MI(J)=D^(1/2)/2
  384   if J>5/4 and J<3*5/4 then MI(J)=1
  386   if (J>0 and J<5/4) or J>3*5/4 then MI(J)=(abs(sin(J*2*pi(1)/5)))^(1/2)
  390   S(M)=S(M)+MW(J)^(M/2)
  400   next J
  410   next M
  420   E(0)=1
  430   E(1)=S(1)
  440   for M=2 to 5
  450   E(M)=0
  460   for K=1 to M
  470   E(M)=E(M)+(-1)^(K-1)*E(M-K)*S(K)
  480   next K
  490   E(M)=E(M)/M
  500   next M
  510   for K=1 to 3 step 2
  520   MB(K)=E(5-K)
  530   next K
  540   for K=1 to 3 step 2
  550   CC$=""
  560   for I=1 to 5-K
  570   CC$=CC$+chr(I)
  580   next I
  590   Sum=0
  600   loop
  610   Sum=Sum+fnNCC(CC$)
  620   CC$=fnNXT(5,5-K,CC$)
  630   if CC$="" goto 650
  640   endloop
  650   for J=0 to 4
  660   DI(K,J)=(MW(J))^((K-1)/2)*Sum+MB(K)*(MW(J))^((K-3)/2)*((K-1)/2)
  670   next J
  690   next K
  700   for J=0 to 4
  710   DI(5,J)=(MW(J))^(2/2)*(4/2)
  720   next J
  730   for J=0 to 4
  740   Mph(J)=0
  750   for K=1 to 3 step 2
  760   Mph(J)=Mph(J)+MB(K)*(MW(J))^((K-1)/2)
  770   next K
  780   Mph(J)=Mph(J)+(MW(J))^(4/2)
  790   next J
  800   Prd=1
  810   for J=0 to 4
  820   Prd=Prd*Mph(J)
  830   next J
  840   Su2=0
  850   for J=0 to 4
  860   Su3=0
  870   for K=1 to 5 step 2
  872   Su3=Su3+DI(K,J)
  880   next K
  890   Su2=Su2+Su3/Mph(J)
  900   next J
  910   Prd=D*Prd*Su2
  920   print Prd
2000   end
3000   fnNXT(N,K,C$)
3002   ' get the next combination from the current c$ and return it
3004   ' the length of each combination string is k
3006   local Ist,Ch,I9,B$
3010   Ist=K
3018   ' find suitable index ist
3020   loop
3030   Ch=asc(mid(C$,Ist,1))
3040   if Ch+K-Ist+1<=N goto 3100
3050   Ist=Ist-1
3060   if Ist=0 goto 3100
3070   endloop
3100   if Ist=0 then return("")
3110   B$=""
3120   for I9=0 to K-Ist
3130   B$=B$+chr(Ch+1+I9)
3140   next I9
3150   return(left(C$,Ist-1)+B$)
4000   fnNCC(C$)
4010   local I9,Ch,Pro,Su1
4012   Pro=1
4020   for I9=1 to len(C$)
4030   Ch=asc(mid(C$,I9,1))
4040   Pro=Pro*(MW(Ch-1))^(1/2)
4050   next I9
4060   Su1=0
4070   for I9=1 to len(C$)
4080   Ch=asc(mid(C$,I9,1))
4090   Su1=Su1+1/(2*MI(Ch-1)*(MW(Ch-1))^(1/2))
4100   next I9
4160   return(Pro*Su1)


Этот код можно упростить и приспособить для любого $n$.
Думаю, что таким образом можно доказать ВТФ для нескольких последующих значений $n$.

-- Пн ноя 28, 2016 08:55:27 --

Будем проверять это доказательство ВТФ для $n=5$?

-- Пн ноя 28, 2016 09:21:04 --

Вычисление коэффициентов $a_0, ..., a_{n-1}$ не нужно для доказательства, так как коэффициенты $b_0, ..., b_{n-1}$ вычисляются непосредственно из выражений $\sqrt{1-u}, \sqrt{1-u i_n}, ..., \sqrt{1-u i_n^{n-1}}$.
Поэтому из программы можно выкинуть громоздкие выражения с коэффициентами $a_0, ..., a_{n-1}$.
Мы использовали простой алгоритм генерации сочетаний и проверили его с формулой Ньютона.
Вычисления по формуле Ньютона можно выкинуть из программы.
В этой теме мы искали доказательство и делали исправления, само доказательство можно написать гораздо короче,

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление и оценка коэффициентов a_0, a_1, ..., a_{n-1}.
Сообщение28.11.2016, 11:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
3473
Феликс Шмидель в сообщении #1172334 писал(а):
Будем проверять это доказательство ВТФ для $n=5$?
Мне жаль, что я лично не способен сделать проверку на нужном уровне. Иначе я бы с чистой совестью посоветовал следующее:

Соберите, пожалуйста, всё в итоговом сообщении / теме, пока это свежо в памяти. Тем более что:
Феликс Шмидель в сообщении #1172334 писал(а):
само доказательство можно написать гораздо короче

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление и оценка коэффициентов a_0, a_1, ..., a_{n-1}.
Сообщение28.11.2016, 19:05 


31/03/06
1384
Я начал писать более простой код, и увидел несовпадение: для $u=1$ на самом деле получается значение не около $350000$, а около $150000$.
В первой программе есть ошибки при вычислении этого значения: в одном месте пропущено слагаемое, но это не сильно влияет на результат.
Главная ошибка в том, что первая программа работает с выражением $1-u \sqrt[n]{4}$, в то время, как вторая программа, а также оценка (64) с выражением $1-u$.
Будем работать с выражением $1-u$ и второй программой (когда я её закончу), так как она гораздо более простая.
Число $150000$ тоже достаточно большое, но оценка (64) даёт с приращением $1/50000$ бОльшее число, поэтому доказательство нужно исправлять.

C приращением $\delta=1/300000$, доказательство проходит (оценка (64) даёт значение около $120000$, что меньше $150000$).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 84 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group