2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.
 
 Re: Вычисление и оценка коэффициентов a_0, a_1, ..., a_{n-1}.
Сообщение09.11.2016, 22:36 


31/03/06
1384
Доказательство можно существенно упростить, используя утверждение (33).
Достаточно показать, что $N(w^2+b_3 w+b_1)$ не равно нулю при подстановке $a_0/z, ..., a_4/z$, и не надо исполнять никакого кода.
А это неравенство нулю очевидно.
Тем же методом можно доказать ВТФ для всех нечётных простых $n<100$, и вообще для любого простого $n$, для которого имеет место равенство (1).
Вместо числа $((b_0-b_1 b_4)^2-b_3 (b_0-b_1 b_4) (b_2-b_3 b_4)+b_1 (b_2-b_3 b_4)^2)$, в левой части утверждения (33), которое мы получили при $n=5$, при других $n$ будет результант двух многочленов, что не меняет сути.

Проверяем.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление и оценка коэффициентов a_0, a_1, ..., a_{n-1}.
Сообщение10.11.2016, 00:24 


31/03/06
1384
Конечно, последнее сообщение это не доказательство, а только план доказательства.
Нужно оценить минимальное значение абсолютной величины $N(w^2+b_3 w+b_1)$ и показать, что $z$ больше этой величины.
Я готов написать подробное доказательство, если увижу заинтересованность в этом, и если его будут проверять.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление и оценка коэффициентов a_0, a_1, ..., a_{n-1}.
Сообщение10.11.2016, 10:11 


15/12/05
754
Надеюсь увидеть окончательное доказательство новым методом для степени 3. Думаю, его будет легче проверить. Ведь это новый метод доказательства ВТФ? Если для степени 3 есть оговорки, то решайте сами как быть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление и оценка коэффициентов a_0, a_1, ..., a_{n-1}.
Сообщение10.11.2016, 10:21 


13/05/16
355
Москва
Феликс Шмидель в сообщении #1167654 писал(а):
Я готов написать подробное доказательство, если увижу заинтересованность в этом

Мне интересно увидеть доказательство, так что пишите

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление и оценка коэффициентов a_0, a_1, ..., a_{n-1}.
Сообщение10.11.2016, 10:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
Феликс Шмидель в сообщении #1167654 писал(а):
Я готов написать подробное доказательство, если увижу заинтересованность в этом, и если его будут проверять.
Я просил бы выложить итоговое доказательство даже в том случае, если пересечение участников, способных его проверить, с желающими будет пусто :) За темой следят многие.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление и оценка коэффициентов a_0, a_1, ..., a_{n-1}.
Сообщение10.11.2016, 13:20 


31/03/06
1384

(Оффтоп)

Напишу, если успею. Я серьёзно болен.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление и оценка коэффициентов a_0, a_1, ..., a_{n-1}.
Сообщение11.11.2016, 01:27 


31/03/06
1384
Насчёт очевидности я не прав.
Я не знаю, как доказать, что $N(w^2+b_3 w+b_1)$ не равно нулю или как оценить это число.
Для $n=5$ код даёт такую оценку, и на основании этого можно пытаться доказывать.
Оставим пока это так как есть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление и оценка коэффициентов a_0, a_1, ..., a_{n-1}.
Сообщение16.11.2016, 16:54 


31/03/06
1384
Я решил продолжить тему, пока у меня есть такая возможность.
Для любого нечётного простого $n$, для которого выполняется равенство (1) мы можем написать код для проверки ВТФ, подобно тому как мы сделали это для $n=5$.
Мне бы хотелось иметь доказательство, а не просто демонстрацию исполнением кода, и, желательно, сразу для всех таких $n$.

Пусть $v^n+b_{n-1} v^{n-1}+...+b_1 v+b_0=0$.
Для доказательства ВТФ, нужно оценить $N(w^{(n-1)/2}+b_{n-2} w^{(n-3)/2}+...+b_3 w+b_1)$.
У меня появилась идея вычислить производную выражения $w^{(n-1)/2}+b_{n-2} w^{(n-3)/2}+...+b_3 w+b_1$ по $u$ и приравнять её нулю.
Что делать потом, я пока не знаю, но как вычислить производную, кажется, знаю.
Займёмся этим, а потом будем думать.

Продолжение следует.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление и оценка коэффициентов a_0, a_1, ..., a_{n-1}.
Сообщение17.11.2016, 12:43 


31/03/06
1384
Нам удобнее работать с равенством:

(35) $v^n+c_{n-1} v^{n-1}+...+c_1 v+c_0=0$

Дело в том, что ранее мы работали с равенством: $v^n-b_{n-1} v^{n-1}+...+b_1 v-b_0=0$

Продифференцируем равенство (35) по $u$, где $v=\sqrt{1-u}$:

(36) $(n v^{n-1} \frac{-1}{2 v}+c_{n-1} (n-1) v^{n-2} \frac{-1}{2 v}+...+c_1 \frac{-1}{2 v}) + (c'_{n-1} v^{n-1}+c'_{n-2} v^{n-2}-...+c'_1 v+c'_0)=0$

Из (36) следует:

(37) $-2 c'_{n-1} v^n+(n-2 c'_{n-2}) v^{n-1}+((n-1) c_{n-1}-2 c'_{n-3}) v^{n-2}+((n-2) c_{n-2}-2 c'_{n-4}) v^{n-3}+...+(2 c_2-2 c'_0) v+c_1=0$

Из (37) и (35) следует:

(38) $-2 c'_{n-1} c_0=c_1, -2 c'_{n-1} c_1=2 c_2-2 c'_0, -2 c'_{n-1} c_2=3 c_3-2 c'_1, ..., -2 c'_{n-1} c_{n-1}=n-2 c'_{n-2}$

Из (38) следует:

(39) $-2 c'_{n-1}=c_1/c_0, 2 c'_0=2 c_2-c_1^2/c_0, 2 c'_1=3 c_3-c_2 c_1/c_0, ..., 2 c'_{n-2}=n-c_{n-1} c_1/c_0$.

Продолжение следует.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление и оценка коэффициентов a_0, a_1, ..., a_{n-1}.
Сообщение17.11.2016, 21:32 


31/03/06
1384
Нам нужно оценить производные коэффициентов $b_1, b_3, ..., b_{n-2}$.
Это позволит применить формулу Лагранжа: $f(u_1)-f(u_2)=f'(c) (u_1-u_2)$, где $c$ - промежуточное значение.
Из предыдущего сообщения ясно, что для оценки производных нужно оценить сами коэффициенты $b_1, b_3, ..., b_{n-2}$.
Абсолютная величина $v$ и сопряжённых с $v$ чисел не больше $\sqrt{2}$.
Следовательно, абсолютная величина $b_k$ не больше $C_n^{n-k} \sqrt{2}^{n-k}$.

Продолжение следует.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление и оценка коэффициентов a_0, a_1, ..., a_{n-1}.
Сообщение18.11.2016, 01:24 


31/03/06
1384
Вычислим $N(w^{(n-1)/2}+b_{n-2} w^{(n-3)/2}+...+b_3 w+b_1)$ при $u=0$.

$b_{n-2}=C_n^2, b_{n-4}=C_n^4, ..., b_3=C_n^{n-3}, b_1=C_n^{n-1}$.

$w=1$, также сопряжённые с $w$ числа равны $1$.

Значит $N(w^{(n-1)/2}+b_{n-2} w^{(n-3)/2}+...+b_3 w+b_1)=(1+C_n^2+C_n^4+...+C_n^{n-1})^n=2^{n (n-1)}$.

Проверка с тем, что даёт нам код для $n=5$ показывает совпадение (1048576).

Продолжение следует.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление и оценка коэффициентов a_0, a_1, ..., a_{n-1}.
Сообщение23.11.2016, 15:02 


31/03/06
1384
Оценим $N(w^{(n-1)/2}+b_{n-2} w^{(n-3)/2}+...+b_3 w+b_1)$ для произвольного $u$.

Поскольку $w_0=w=1-u, w_1=1-u i_n, w_2=1-u i_n^2, ..., w_{n-1}=1-u i_n^{n-1}$, то $\lvert w_j \rvert \le 2, \lvert w'_j \rvert=1$, для любого $j=0, 1, ..., (n-1)$.
Поскольку $\lvert b_k \rvert \le C_n^{n-k} \sqrt{2}^{n-k}$, для любого $k=0, 1, ..., (n-1)$, то:

$\lvert w_j^{(n-1)/2}+b_{n-2} w_j^{(n-3)/2}+...+b_3 w_j+b_1 \rvert$ $\le 2^{(n-1)/2}+C_n^2 \sqrt{2}^2 2^{(n-3)/2}+...C_n^{n-3} \sqrt{2}^{n-3} 2+C_n^{n-1} \sqrt{2}^{n-1}$, следовательно:

(40) $\lvert w_j^{(n-1)/2}+b_{n-2} w_j^{(n-3)/2}+...+b_3 w_j+b_1 \rvert$ $\le \sqrt{2}^{n-1} (1+C_n^2+C_n^4+...+C_n^{n-1})=\sqrt{2}^{n-1} 2^{n-1}$, для любого $j=0, 1, ..., (n-1)$.

Из (40) следует:

(41) $\lvert N(w^{(n-1)/2}+b_{n-2} w^{(n-3)/2}+...+b_3 w+b_1) \rvert \le 2^{(3/2) n (n-1)}$.

Продолжение следует.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление и оценка коэффициентов a_0, a_1, ..., a_{n-1}.
Сообщение23.11.2016, 16:16 


31/03/06
1384
Заметим, что неравенство (41) имеет место также для любого комплексного $u$ на окружности $\lvert u \rvert=1$.
Это на тот случай, если мы решим воспользоваться интегральной формулой Коши.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление и оценка коэффициентов a_0, a_1, ..., a_{n-1}.
Сообщение23.11.2016, 19:37 


31/03/06
1384
Напишем, на всякий случай, точную формулу для $N(w^{(n-1)/2}+b_{n-2} w^{(n-3)/2}+...+b_3 w+b_1)$ при произвольном действительном $u$.
Пусть $e_1, ..., e^{(n-1)/2}$ - комплексные корни многочлена $w^{(n-1)/2}+b_{n-2} w^{(n-3)/2}+...+b_3 w+b_1$.

Тогда

(42) $N(w^{(n-1)/2}+b_{n-2} w^{(n-3)/2}+...+b_3 w+b_1)=$ $((1-e_1)^n-u^n)...((1-e_{(n-1)/2})^n-u^n)$.

Продолжение следует.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вычисление и оценка коэффициентов a_0, a_1, ..., a_{n-1}.
Сообщение25.11.2016, 10:11 


31/03/06
1384
Мы видели, что на самом деле $\lvert N(w^{(n-1)/2}+b_{n-2} w^{(n-3)/2}+...+b_3 w+b_1) \rvert \le 2^{n (n-1)}$, но доказать это пока не можем.

Оценку (41) $\lvert N(w^{(n-1)/2}+b_{n-2} w^{(n-3)/2}+...+b_3 w+b_1) \rvert \le 2^{(3/2) n (n-1)}$) можно улучшить.
Из $n$ сопряжённых c $w$ чисел, треть не больше $1$ по абсолютной величине.
Чтобы показать это, вычислим $\lvert 1-u i_n^j \rvert=\sqrt{(1-u \cos(j 2 \pi/n))^2+(u \sin(j 2 \pi/n))^2}=\sqrt{1+u^2-2 u \cos(j 2 \pi/n)}$.
Следовательно:

(43) $\lvert N(w^{(n-1)/2}+b_{n-2} w^{(n-3)/2}+...+b_3 w+b_1) \rvert$ $\le 2^{n (n-1)/3} 2^{(3/2) n (n-1) (2/3)}=2^{(4/3) n (n-1)}$.

Продолжение следует.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 84 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group