2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Корректна ли школьная задача на производную?
Сообщение22.10.2016, 12:22 


13/02/16
129
На рисунке изображен график движения точки по прямой. По горизонтали отложено время. По вертикали -- расстояние до точки отсчета. Сколько раз за наблюдаемый промежуток времени точка останавливалась?
Изображение

Первое что смущает -- это то, что время может быть отрицательно. Когда точка останавливается скорость равна нулю. А значит производная пути равна нулю (или правильнее сказать расстояния?). Я так понимаю, что это когда касательная к графику изображенной функции параллельна оси абсцисс. Она параллельна оси абсцисс при $x=0$ и еще, возможно, при $x=7$. Но ведь после $x=7$ дальше не изображено ничего. Видимо там точка остановилась. Но касательная будет ли параллельна -- неизвестно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Корректна ли школьная задача на производную?
Сообщение22.10.2016, 12:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8062
NL0 в сообщении #1161888 писал(а):
Первое что смущает -- это то, что время может быть отрицательно.
Это не важно. "Минус три секунды" - это просто "за три секунды до включения секундомера".
NL0 в сообщении #1161888 писал(а):
А значит производная пути равна нулю (или правильнее сказать расстояния?)
Можно сказать и так, и так, но сказать "пути" эстетичнее, потому что расстояния бывают разные, а пройденный путь - однозначно определенная физическая величина.
NL0 в сообщении #1161888 писал(а):
Я так понимаю, что это когда касательная к графику изображенной функции параллельна оси абсцисс. Она параллельна оси абсцисс при $x=0$ и еще, возможно, при $x=7$. Но ведь после $x=7$ дальше не изображено ничего. Видимо там точка остановилась. Но касательная будет ли параллельна -- неизвестно.
Если спрашивается, когда скорость в точке $x$ оказалась равна нулю, то это только точка $x = 0$. В крайней правой точке ($x=7$) производная, и вместе с ней - касательная, вообще не определена (они существуют лишь во внутренних точках области определения). Можно определить в этой точке "производную слева", но вряд ли это то, что спрашивалось в задаче. "Остановилась" ли точка в точке $x = 7$ зависит от того, как мы понимаем слово "остановилась". Судя по графику, в этой точке просто секундомер выключили (если бы точка во все моменты времени, начиная с $x = 7$, была неподвижна, был бы горизонтальный участок на графике).

 Профиль  
                  
 
 Re: Корректна ли школьная задача на производную?
Сообщение22.10.2016, 19:57 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Anton_Peplov в сообщении #1161891 писал(а):
Можно определить в этой точке "производную слева", но вряд ли это то, что спрашивалось в задаче.
И потом, даже если и определить, на мой лично глаз она ненулевая.

 Профиль  
                  
 
 Re: Корректна ли школьная задача на производную?
Сообщение22.10.2016, 20:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
NL0 в сообщении #1161888 писал(а):
Первое что смущает -- это то, что время может быть отрицательно.
Anton_Peplov в сообщении #1161891 писал(а):
Это не важно. "Минус три секунды" - это просто "за три секунды до включения секундомера".

Не совсем так :-) Ведь до включения секундометра мы не могли измерять время, и знать, что интересующий нас момент - за три секунды.

Но секундометр мог работать всё время. А "ноль секунд" - это просто такой момент, когда стрелка проходит через ноль. То есть, стрелка могла начать двигаться с положений до нуля. В этом нет ничего плохого. Посмотрим на выражения "год до нашей эры", или "за столько-то лет до моего рождения", "за три минуты до полуночи". Здесь везде указывается время, отложенное в обратную сторону от некоторой выбранной точки отсчёта. И если мы по одной шкале говорим "за три минуты до полуночи", то по другой - говорим "в 57 минут после 11 часов вечера" - то есть, мы можем сопоставить отрицательной величине относительно одной точки отсчёта - другую, уже положительную величину относительно другой точки отсчёта.

Вообще, во многих физических величинах можно выбрать ноль условно. Это пространственные координаты, угол поворота, время. Есть и другие такие величины, но их "условность нуля" оказывается сложным и неочевидным фактом. Например, потенциальная энергия, электрический потенциал.

В то же время, конечно, это относится далеко не ко всем физическим величинам. Нулевую скорость нельзя путать с ненулевой. Нулевое ускорение - с ненулевым. Нельзя сдвинуть нуль у угловой скорости, у силы, работы, давления, и так далее.

NL0 в сообщении #1161888 писал(а):
А значит производная пути равна нулю (или правильнее сказать расстояния?).

Здесь - правильнее сказать "расстояния". Во-первых, раз в условиях задачи говорится про расстояние, то зачем перевирать их?

А во-вторых, и это главное, пройденный путь всегда может только расти, и никогда не может уменьшаться. А на приведённом графике есть участок уменьшения. Поэтому, график совершенно точно не может быть графиком пути.

NL0 в сообщении #1161888 писал(а):
Но ведь после $x=7$ дальше не изображено ничего. Видимо там точка остановилась.

Нет. Это значит, что мы перестали рисовать её график. А судить о том, остановилась она или нет, мы не можем. Для этого как раз нужен был бы график немного дальше - чтобы мы увидели на нём строго горизонтальный прямой участок.

Anton_Peplov в сообщении #1161891 писал(а):
В крайней правой точке ($x=7$) производная, и вместе с ней - касательная, вообще не определена (они существуют лишь во внутренних точках области определения). Можно определить в этой точке "производную слева", но вряд ли это то, что спрашивалось в задаче.

Это всё "заскоки педанта-математика". Для физика должно быть очевидно, что касательная, которую удастся провести слева, и будет скоростью точки в момент времени $x=7.$

Впрочем, тут надо смотреть, задана ли задача на предмете "Математика" или на предмете "Физика". На "Физике" вообще принято время обозначать $t.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Корректна ли школьная задача на производную?
Сообщение22.10.2016, 20:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8062
Munin в сообщении #1162009 писал(а):
А во-вторых, и это главное, пройденный путь всегда может только расти, и никогда не может уменьшаться. А на приведённом графике есть участок уменьшения. Поэтому, график совершенно точно не может быть графиком пути.
Ох, а я и не заметил. Тогда это действительно не путь, а расстояние до начала отсчета (если угодно, модуль перемещения).

 Профиль  
                  
 
 Re: Корректна ли школьная задача на производную?
Сообщение23.10.2016, 17:43 
Заслуженный участник


11/11/07
1198
Москва
Неподвижная точка и точка, вращающаяся по окружности вокруг точки отсчета, имеют один и тот же график расстояния - прямую. Как по графику расстояния до точки отсчета можно определить сколько раз точка останавливалась?

 Профиль  
                  
 
 Re: Корректна ли школьная задача на производную?
Сообщение23.10.2016, 17:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
AV_77 в сообщении #1162271 писал(а):
Неподвижная точка и точка, вращающаяся по окружности вокруг точки отсчета, имеют один и тот же график расстояния - прямую. Как по графику расстояния до точки отсчета можно определить сколько раз точка останавливалась?
NL0 в сообщении #1161888 писал(а):
На рисунке изображен график движения точки по прямой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Корректна ли школьная задача на производную?
Сообщение23.10.2016, 17:51 
Заслуженный участник


11/11/07
1198
Москва
Да, это я как-то упустил.

 Профиль  
                  
 
 Re: Корректна ли школьная задача на производную?
Сообщение23.10.2016, 18:33 


19/05/10

3940
Россия
Что то я не помню в учебниках математики (и для школы и для вузов) понятия точка остановки. У физиков есть такое понятие?
Далее, при чем здесь производная для меня не совсем понятно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Корректна ли школьная задача на производную?
Сообщение26.10.2016, 15:54 


13/02/16
129
Это задача из сборника для подготовки к ЕГЭ по математике. Спасибо за информацию!

 Профиль  
                  
 
 Re: Корректна ли школьная задача на производную?
Сообщение26.10.2016, 18:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
В школе, как я понимаю, понятия "производная слева" не вводят.

 Профиль  
                  
 
 Re: Корректна ли школьная задача на производную?
Сообщение26.10.2016, 18:56 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
mihailm в сообщении #1162291 писал(а):
У физиков есть такое понятие?

У физиков много чего нет. У них нет времени, обозначаемого иксами. Они остереглись бы говорить о расстоянии (которое всё-таки тоже всегда неотрицательно), чтобы не сбивать с толку.

 Профиль  
                  
 
 Re: Корректна ли школьная задача на производную?
Сообщение27.10.2016, 06:33 


23/01/07
3415
Новосибирск
Munin в сообщении #1163279 писал(а):
В школе, как я понимаю, понятия "производная слева" не вводят.

По-видимому, в школе анализ графика сводился к рассмотрению изменения направления перемещения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Корректна ли школьная задача на производную?
Сообщение27.10.2016, 10:32 


05/09/16
11468
Условия конечно нечеткие -- непонятно что там с точкой $x=7$, на глаз определить ноль градусов у касательной или нет -- не получается. Непонятно зачем начали график из отрицательных иксов, и наконец непонятно как все-таки движется точка. Если "точка отсчета" находится вне прямой, по которой движется точка, то движение точки через проекцию точки отсчета как раз и покажет сначала уменьшение расстояния, а потом увеличение.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Vladimir Pliassov


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group