2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 И снова уравнение в натуральных числах
Сообщение17.10.2016, 15:06 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Решить в натуральных числах уравнение $$(n!+16)(m!-16)=k!+16$$

 Профиль  
                  
 
 Re: И снова уравнение в натуральных числах
Сообщение17.10.2016, 17:15 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Допустим, $n\geqslant 6,\;m\geqslant 6$. Тогда $k\geqslant 8$. Значит,
$\bullet$ $n!$ и $m!$ делятся на $16$ $\Rightarrow$ $(n!+16)(m!-16)$ делится на $256$.
$\bullet$ $k!$ делится на $32$ $\Rightarrow$ $k!+16$ не делится на $32$.
Противоречие.

 Профиль  
                  
 
 Re: И снова уравнение в натуральных числах
Сообщение18.10.2016, 13:08 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Аналогично можно показать, что нет решений при
$n\geqslant 2, m\geqslant 6$
$n\geqslant 6, m\geqslant 4$
Остаётся только четыре комбинации, когда $n\in\{2,3\},\;m\in\{4,5\}$, и случай $n=1$. Но...

 Профиль  
                  
 
 Re: И снова уравнение в натуральных числах
Сообщение18.10.2016, 15:21 


18/04/15
38
Имеем очевидные оценки $ m\geq 4, k\geq 5 $. Сравнивая обе части равенства по модулю 3, находим $ n=1 $. Повторив процесс по модулю 5, получаем единственное решение $ m=4, k=5 $.

 Профиль  
                  
 
 Re: И снова уравнение в натуральных числах
Сообщение18.10.2016, 23:07 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
lopkityu
svv
Спасибо!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group