2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему
 
 Необычный вопрос об удивительных четвёрках простых чисел
Сообщение17.10.2016, 15:04 
Аватара пользователя


01/12/11
5220
Назарет, скоро перееду в Модиин
Назовём четвёрку попарно различных простых чисел удивительной, если сумма любых трёх из них - простое число.
Например, четвёрка $$(5, 7, 17, 19)$$ является удивительной, так как числа 29, 31, 41 и 43 - простые.
Однако сама четвёрка $$(29, 31, 41, 43)$$ уже не является удивительной, поскольку $$31+41+43=115 ,\quad 115\notin\mathbb{P}$$

Вопрос таков: существует ли такая удивительная четвёрка, у которой все четыре трёхэлементные суммы также образуют удивительную четвёрку?

P. S.
Можно даже назвать такую четвёрку удивительной четвёркой второго порядка, и если таковая отыщется, стоит поискать удивительные четвёрки более высоких порядков.

 Профиль  
                  
 
 Re: Необычный вопрос об удивительных четвёрках простых чисел
Сообщение17.10.2016, 15:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
12546
Первое наблюдение: по модулю шесть четвёрка должна иметь вид $(1,1,5,5)$ (с точностью до перестановки). Пользуясь этим можно зафиксировать первую попавшуюся Вашу четвёрку $(7,19,17,5)$ и попробовать поувеличивать последнее число на $6$.
Поспешил с устным счётом :oops:

 Профиль  
                  
 
 Re: Необычный вопрос об удивительных четвёрках простых чисел
Сообщение17.10.2016, 15:59 
Аватара пользователя


01/12/11
5220
Назарет, скоро перееду в Модиин
gris
$(7,19,17,23)\to (43,83,71,97)$
Каким образом Вы пришли от левой четвёрки к правой?

 Профиль  
                  
 
 Re: Необычный вопрос об удивительных четвёрках простых чисел
Сообщение17.10.2016, 16:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
12546
Вот: $(7,13,131,839)\to(151,859,977,983)\to(1987,1993,2111,2819)$
Дальше идёт $(6091,6923,	6917,6799)$ но я не знаю, как проверить, просты ли они :oops: Вообще, анализ последней цифры тоже помогает. Но вот с теорией беда.

 Профиль  
                  
 
 Re: Необычный вопрос об удивительных четвёрках простых чисел
Сообщение17.10.2016, 16:44 
Заслуженный участник


04/05/09
4373
По-моему, проще с конца искать, т.к. там простые реже.
Ищем четвёрку простых чисел с суммой, кратной 9-ти. Вычитаем $2Sum\over9$, и смотрим, получились ли простые.
Подбором нашёл: $\{7,11,13,17\} \to \{103,107,109,113\}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Необычный вопрос об удивительных четвёрках простых чисел
Сообщение17.10.2016, 16:46 
Аватара пользователя


01/12/11
5220
Назарет, скоро перееду в Модиин
gris
Большое спасибо!

(Оффтоп)

А теперь бы ещё и коленом

А теперь бы ещё и более высоких порядков...

-- 17.10.2016, 16:48 --

venco
$$103+107+109=319=29\cdot 11\quad\to\quad 319\notin\mathbb{P}$$
:wink:

 Профиль  
                  
 
 Re: Необычный вопрос об удивительных четвёрках простых чисел
Сообщение17.10.2016, 18:04 
Заслуженный участник


04/05/09
4373
А, я понял, вам все суммы нужны простые, я только через одну посмотрел.

 Профиль  
                  
 
 Re: Необычный вопрос об удивительных четвёрках простых чисел
Сообщение17.10.2016, 18:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
12546
Для таких увлекательных игр нужно иметь соответствующие пакеты. Ну или хотя бы базу простяшек с возможностью программировать там. А вручную смотреть в таблицу и автоматизировать только получение следующей тройки тоскливо. Можно, конечно, накарябать и в эксельке, но увлечёшься этими магическими числами и на ВТФ потянет.
Впрочем, меня поразило, что при небольших ограничениях в тройках почти три четверти простых. Кстати, интересные инварианты: основной по модулю $6$: $(1,1,5,5)$.
И по последней цифре: $(\{1,3,7,9\}),(\{1,1,9,9\}),(\{3,3,7,7\})$. Другие дают пятёрку рано или поздно. То есть можно теоретизировать. Но те, кто работает плотно с простыми, мудро улыбаются.
Кстати, если числа попарно не различны, то можно привести милый пример двойного удивления:$(7,7,3,3)\to(17,17,13,13)\to(47,47,43,43)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Необычный вопрос об удивительных четвёрках простых чисел
Сообщение09.12.2016, 13:16 
Аватара пользователя


01/06/12
738
Adelaide, Australia
Удивительно, но я изучал именно эту задачу тут: http://www.primepuzzles.net/puzzles/puzz_831.htm

Самый мой лучший результат дает 6 порядков (тут все числа простые):

1. 1091 3001 271 257
2. 4349 4363 3529 1619
3. 10331 12241 9511 9497
4. 32069 32083 31249 29339
5. 93491 95401 92671 92657
6. 281549 281563 280729 278819

 Профиль  
                  
 
 Re: Необычный вопрос об удивительных четвёрках простых чисел
Сообщение09.12.2016, 16:29 
Аватара пользователя


01/12/11
5220
Назарет, скоро перееду в Модиин
dimkadimon
Большое спасибо!
И за интересную ссылку - тоже.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group