2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Re: Доказать, что функция постоянна
Сообщение16.01.2017, 19:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
DeBill в сообщении #1185163 писал(а):
Но как то слишком сложно для ШАД, а?

Именно это и мучает людей, заставляя их искать док-во попроще. Если некто предлагает одно из тех решений, которые здесь обсуждались и признаны верными, то этот некто весьма искушен в математике и явно обладает навыками профессионального математика-исследователя неплохого уровня.
Так зачем ему эта ШАД, заточенная на обучение аналитиков банков, экономистов-исследователей, использующих мат.аппарат и т.п основам дискретно-переборных алгоритмов, алгоритмов на графах, прикладной теории слупов, биг-дате и прочим хоть и продвинутым, но прикладным вещам.
Пока видно только явное несоответствие между уровнем задачи и предполагаемым уровнем подготовки тех, кому эта задача предназначена.
Жутко интересно посмотреть авторское решение, вдруг, мы проглядели что-то простое? :shock:

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что функция постоянна
Сообщение16.01.2017, 19:29 
Заслуженный участник


22/11/10
1183
Есть еще один вариант. :D
В авторском решение имеется дыра. :shock:

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что функция постоянна
Сообщение17.01.2017, 00:03 


25/08/11

1074
Может быть это и неправильно. В теореме Дельсарта нужно два радиуса, да ещё с определённым отношением, связанным с корнями функций Бесселя. А тут всего один. Из специалистов в этой области Зальцмана наверное уже не спросишь, а Волчковых из Донецка можно спросить, это их область.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что функция постоянна
Сообщение17.01.2017, 00:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Что неправильно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что функция постоянна
Сообщение17.01.2017, 14:01 
Заслуженный участник


22/11/10
1183
А как такое решение. В сущности, идея похожая, но без вычислений.
Пусть дана функция $u(x)$. Положим $f(x) = u(x + h) - u(x)$. Без потери общности считаем, что $f(0) > 0$.
Организуем последовательность функций $f_n(x)$ следующим образом.
$f_0(x) = f(x)$.
Далее, индуктивно определяем $f_n$ и $m_n = f_n(0)$, $M_n = \sup f_n(x)$
Пусть $f_n$ определена. Тогда найдется точка $y$, такая, что $f(y) >(M_n + m_n)/ 2$.
Полагаем
$f_{n+1}(x) = (f_n(x) + f_n(x - y)) /2$.
Легко проверить, что последовательность $m_n$ монотонно растет, а $M_n$ убывает. Предположим, что последовательность $f_n$ сходится.
Тогда у предельной функции $F(0) = \sup F(x) = \bar M$. А значит это константа, большая чем $m_0$. Заметим, что соответствующая последовательность $u_n$ тоже сходится и $U(x+ h) = U(x) + \bar M$.
Для сходимости нужна глобальная липшицевость. Но, скорее всего, можно вовремя оборвать этот процесс и получить противоречие без перехода к пределу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что функция постоянна
Сообщение17.01.2017, 23:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
sup в сообщении #1185413 писал(а):
А как такое решение. В сущности, идея похожая, но без вычислений.

Причесать-то Вы решение причесали, но проще оно не стало. Более того, чтобы сократить запись, куски решения Вы спрятали за словами
sup в сообщении #1185413 писал(а):
Легко проверить, что

, а уж вот это
sup в сообщении #1185413 писал(а):
Но, скорее всего, можно вовремя оборвать этот процесс и получить противоречие без перехода к пределу.
сильно девальвирует все сказанное выше.
Так что вопрос "как и зачем эта задача попала на вступительные экзамены в ШАД" остается нераскрытым. :cry:

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что функция постоянна
Сообщение18.01.2017, 07:55 


25/08/11

1074
А что такое ШАД?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что функция постоянна
Сообщение18.01.2017, 08:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
9953
sergei1961 в сообщении #1185587 писал(а):
А что такое ШАД?

Школа анализа данных

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что функция постоянна
Сообщение19.01.2017, 20:44 


25/08/11

1074
Коллеги, вот ответ Валерия Волчкова (Донецк).

Уважаемый ...!
Утверждение, о котором Вы написали, верно ( и даже без условия гладкости, достаточно непрерывности и ограниченности).
Полное описание данного класса функций получено в моей работе 1994 года ( Известия РАН , том 58, №1, с.182-194). Из него следует, что функция из данного класса, которая "не сильно" растёт на бесконечности обязана быть гармонической. Отсюда следует, что в случае ограниченности функция постоянна. Аналогичный результат может быть получен из более слабой теоремы Флатто, полученной ранее (см. ссылки в моей статье).
Хочу отметить ещё, что в настоящее время результаты такого типа получили далеко идущие обобщения, имеющие окончательный характер. Во-первых, вместо указанного Вами класса функций изучены решения уравнений свёртки общего вида с заданными свёртывателями с компактным носителем. Во-вторых, подобные задачи изучены не только на евклидовых пространствах, но и на симметрических пространствах и группах. В третьих, подобные задачи рассматривались и на различных неограниченных областях. Подробный обзор этих направлений можно найти в наших с Вит.В.Волчковым книгах 2013 года ( Оffbeat Integral Geometry on Symmetric Spaces) и 2009 года ( см. ссылку в книге 20013 года).
Если у Вас возникнут какие-либо вопросы, пишите без колебаний, буду рад обсудить.
Всего доброго,
Валерий Волчков

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что функция постоянна
Сообщение19.05.2018, 02:02 


17/04/18
143
del

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что функция постоянна
Сообщение19.05.2018, 02:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
nya в сообщении #1313350 писал(а):
Верно более общее: пусть $f \in C^\infty(\mathbb{R}^2), \omega \in \Omega^1(\mathbb{R}^2)$ такие, что значение $f$ в каждой точке равно интегралу по единичной окружности с центром в этой точке от $\omega$. Тогда $f$ константа.


Из этого бы следовало, что интеграл по единичной окружности от любой $1$-формы на $\mathbb R^2$ равен константе (не зависящей от центра окружности). По-моему, это очевидно неверно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что функция постоянна
Сообщение19.05.2018, 02:11 


17/04/18
143
действительно, окей

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что функция постоянна
Сообщение19.11.2020, 08:05 
Заслуженный участник


13/12/05
4517
g______d в сообщении #1160918 писал(а):
Мы умножаем обобщённую функцию на гладкую, это всегда определено. См. ниже.

Рассмотрим оператор $(Tf)(x)=f(x)-\int_0^{1} f(x+e^{2\pi i s})ds$. Нас интересует ядро этого оператора, т. е. множество функций, которые он переводит в ноль.

Запишите, как этот оператор устроен в Фурье-представлении. Он будет оператором умножения на некоторую гладкую функцию, допустим, $g$. Вычислите эту функцию и найдите её нули. Далее, утверждение исходной задачи равносильно тому, что у функции $g$ есть только один нуль, в начале координат, и он простой, Вот и проверьте это.

Если вдруг окажется, что у $g$ есть нули ещё где-то, отсюда сразу получится контрпример к исходной задаче.


Я проделал это получилось то же, что и в этом сообщении (с точностью до множителя)
quartermind в сообщении #1160930 писал(а):
В итоге, оператор $T$ при преобразовании Фурье (с точностью до нормировки) переходит в умножение на$$ g(x,y) = \frac{1}{\pi^2} \int_0^1 \frac{1-\cos(ru)}{\sqrt{1-u^2}}\,du, \;\text{ где } r = \sqrt{x^2+y^2}$$
Причём единственный нуль у $g$ в начале координат, но не первого порядка, а второго.


Не понимаю вывод (плохо владею теорией и практикой обобщенных функций):
quartermind в сообщении #1160930 писал(а):
Ему соответстуют аффинные функции $f(x,y) = Ax+By+C$, из которых ограничены только константы.

Функция $g(y)$ представима в виде $(y_1^2+y_2^2)\cdot h(y)$, где $h(y)$ уже нигде в ноль не обращается. Следовательно, равенство $g\widehat f=0$ эквивалентно $(y_1^2+y_2^2)\widehat f=0$, а это равносильно $\Delta f=0$. Я прав?

Помимо этого еще нужно проследить законность всех этих выкладок, с чем у меня пока проблемы. Для каких обобщенных функций преобразование Фурье переводит свёртку в произведение и т.д.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что функция постоянна
Сообщение19.11.2020, 08:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Padawan в сообщении #1493191 писал(а):
Следовательно, равенство $g\widehat f=0$ эквивалентно $(y_1^2+y_2^2)\widehat f=0$, а это равносильно $\Delta f=0$. Я прав?


Вроде да. В совокупности с ограниченностью (см. условие задачи) это даёт, что функция константа.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать, что функция постоянна
Сообщение19.11.2020, 08:22 
Заблокирован


16/04/18

1129
Вики: Обратно, любая непрерывная функция, обладающая свойством среднего для всех шаров, лежащих в некоторой области, является в этой области гармонической.
Доказательство есть в книжках. Величина радиуса не важна, сводится заменой всегда к единице.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 63 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group