2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Стабилизатор действия GL(n)xGL(n) на Mat(n)
Сообщение13.10.2016, 03:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
Требуется вычислить стабилизатор действия группы Ли $GL(n, \mathbb{R}) \times GL(n,\mathbb{R})$ на $Mat(n,\mathbb{R})$ где действие выглядит следующим образом $X \mapsto AXB$.

Моя попытка решения:
Стабилизатор - все такие пары $(A,B)$ что $AXB = X$ Из этого равенства мы видим, что $\operatorname{Ker} X$ собственное подпространство $B$, а $\operatorname{Im} X$ собственное подпространство у $A$. Далее, определим какой-нибудь невырожденный оператор $B$ таким образом, чтобы $\operatorname{Ker} X$ у него было собственным подпространством. Тогда $A$ обязан переводить $XBv$ в $Xv$ что (в силу невырожденности $B$) жёстко его фиксирует на $\operatorname{Im} X$, с другой же стороны на остальном пространстве он может быть доопределён как угодно - это никак не повлияет на соотношение. Итоговая группа $(GL(n-k,\mathbb{R}) \times GL(k,\mathbb{R}) \times \mathbb{R}^{k \cdot (n-k)}) \times (GL(n-k,\mathbb{R}) \times \mathbb{R}^{k \cdot (n-k)})$ $k = \operatorname{rk} X$ (где первая скобка "конфигурационное пространство" для $B$, а вторая скобка - для $A$). Всё правильно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Стабилизатор действия GL(n)xGL(n) на Mat(n)
Сообщение13.10.2016, 09:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Это не действие, долно быть либо $B^{-1}$, либо $GL(n) \times GL^{\circ}(n)$.

В остальном рассуждения верные.

 Профиль  
                  
 
 Re: Стабилизатор действия GL(n)xGL(n) на Mat(n)
Сообщение13.10.2016, 13:19 
Заслуженный участник


14/10/14
1207
kp9r4d
А ещё вы перемудрили при выписывании ответа, потому что ваша "итоговая группа" -- это, как группа, вообще не группа.

 Профиль  
                  
 
 Re: Стабилизатор действия GL(n)xGL(n) на Mat(n)
Сообщение13.10.2016, 13:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
Оба замечания не понял.

 Профиль  
                  
 
 Re: Стабилизатор действия GL(n)xGL(n) на Mat(n)
Сообщение13.10.2016, 13:39 
Заслуженный участник


14/10/14
1207
Ну $\times$ что значит? Произведение? А чего?

 Профиль  
                  
 
 Re: Стабилизатор действия GL(n)xGL(n) на Mat(n)
Сообщение13.10.2016, 13:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
Slav-27
Произведение групп Ли.

 Профиль  
                  
 
 Re: Стабилизатор действия GL(n)xGL(n) на Mat(n)
Сообщение13.10.2016, 13:41 
Заслуженный участник


14/10/14
1207
Замечание Xaositect: если подействовать сначала одним элементом группы, а потом другим -- это должно быть всё равно, что подействовать их произведением. А в вашей формулировке это не так.

-- 13.10.2016, 14:42 --

kp9r4d в сообщении #1159399 писал(а):
Произведение групп Ли.
Что за группа Ли $\mathbb R^{k\cdot (n-k)}$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Стабилизатор действия GL(n)xGL(n) на Mat(n)
Сообщение13.10.2016, 13:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
$\mathbb{R}$ тавтологически группа Ли, так как $\mathbb{R}$ одномерное многообразие и сложение двух вещественных чисел гладко. А $\mathbb{R}^{k \cdot (n-k)}$ - соответствующее число раз произведение $\mathbb{R}$ с самим собой.
Slav-27 в сообщении #1159400 писал(а):
Замечание Xaositect: если подействовать сначала одним элементом группы, а потом другим -- это должно быть всё равно, что подействовать их произведением. А в вашей формулировке это не так.

Есди подействовать матрицей $A$ на $X$ слева, а потом подействовать матрицей $B$ справа, то это то же самое, что подействовать парой матриц $(A,B)$ слева и справа. Может вы могли бы скинуть определение GL с кружочком сверху? А то гуглить такое тяжко.

 Профиль  
                  
 
 Re: Стабилизатор действия GL(n)xGL(n) на Mat(n)
Сообщение13.10.2016, 14:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
kp9r4d в сообщении #1159403 писал(а):
Может вы могли бы скинуть определение GL с кружочком сверху? А то гуглить такое тяжко.
https://en.wikipedia.org/wiki/Opposite_group . Группа с тем же носителем, но с умножением в обратном порядке. Еще обозначается $G^{op}$.

-- Чт окт 13, 2016 12:14:31 --

kp9r4d в сообщении #1159403 писал(а):
$\mathbb{R}$ тавтологически группа Ли, так как $\mathbb{R}$ одномерное многообразие и сложение двух вещественных чисел гладко. А $\mathbb{R}^{k \cdot (n-k)}$ - соответствующее число раз произведение $\mathbb{R}$ с самим собой.
Тогда ответ неверный. Например, в случае $X = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ наши матрицы $A$ и $B$ будут иметь вид $A = \begin{bmatrix} a & b \\ 0 & c \end{bmatrix}, B = \begin{bmatrix} a^{-1} & 0 \\ d & e \end{bmatrix}$. Заметьте, что группа верхнетреугольных или нижнетреугольных матриц не изоморфна $GL(1) \times GL(1) \times \mathbb{R}$, хотя бы потому, что некоммутативна.

 Профиль  
                  
 
 Re: Стабилизатор действия GL(n)xGL(n) на Mat(n)
Сообщение13.10.2016, 14:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
Xaositect
Да, действительно, понял в чём проблема, спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Стабилизатор действия GL(n)xGL(n) на Mat(n)
Сообщение13.10.2016, 14:25 
Заслуженный участник


14/10/14
1207
kp9r4d в сообщении #1159403 писал(а):
$\mathbb{R}$ тавтологически группа Ли, так как $\mathbb{R}$ одномерное многообразие и сложение двух вещественных чисел гладко. А $\mathbb{R}^{k \cdot (n-k)}$ - соответствующее число раз произведение $\mathbb{R}$ с самим собой.
Сложение-то как вам тут поможет?

"Действуете" вы произведением двух экземпляров $GL(n)$. Групповая операция у $GL(n)$ -- композиция операторов, то есть умножение матриц. Относительно сложения матриц это не группа.

Давайте посмотрим пример $n=2$, $X=\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 0 
\end{pmatrix}$, искомая группа (принимая исправление $B^{-1}$) $$\left\{\left(
\begin{pmatrix}
a & b \\
0 & c 
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
a & 0 \\
d & e 
\end{pmatrix}\right)\right\}$$ где $a$, $c$ и $e$ $\ne0$. Как вы эту группу собираетесь факторизовать до $GL(1)\times GL(1)\times\mathbb R\times GL(1)\times\mathbb R$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Стабилизатор действия GL(n)xGL(n) на Mat(n)
Сообщение13.10.2016, 14:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
Группу всех операторов, у которых данное подпространство размерности $k$ является собственным никак не записать через композицию известных?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: lantza


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group