2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 4 variables
Сообщение12.10.2016, 15:08 


25/07/16
19
Let $x,y,z,t \in \mathbb{R_+}$.Prove that $\sqrt{xy}+\sqrt{xz}+\sqrt{xt}+\sqrt{yz}+\sqrt{yt}+\sqrt{zt}\ge 3\sqrt[3]{xyz+xyt+xzt+yzt} $.

 Профиль  
                  
 
 Re: 4 variables
Сообщение12.10.2016, 16:18 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
ghenghea
$\frac{(\sqrt{xy}+ \sqrt{zt})+(\sqrt{xz}+\sqrt{yt})+(\sqrt{xt}+\sqrt{\sqrt{yz}})}{3} \geqslant 3\sqrt[3]{(\sqrt{xy}+ \sqrt{zt}) \cdot (\sqrt{xz}+\sqrt{yt}) \cdot (\sqrt{xt}+\sqrt{\sqrt{yz}})} $
Полагая $x=a^2, y=b^2, z=c^2, t=d^2$, получим, что надо
$(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc) \geqslant a^2b^2c^2 +a^2b^2d^2+a^2c^2d^2 +b^2c^2d^2$. После открытия скобок и сокращений, справа все пропадет, и будет правда.
Итого: неравенство можно усилить, добавив под корнем справа двойку (чтоб было равенство при равенстве всех); тогда на последнем этапе будет не очевидная весчь, а - транснеравенство...

 Профиль  
                  
 
 Re: 4 variables
Сообщение13.10.2016, 16:27 


30/03/08
196
St.Peterburg
DeBill в сообщении #1159208 писал(а):
ghenghea
$\frac{(\sqrt{xy}+ \sqrt{zt})+(\sqrt{xz}+\sqrt{yt})+(\sqrt{xt}+\sqrt{\sqrt{yz}})}{3} \geqslant 3\sqrt[3]{(\sqrt{xy}+ \sqrt{zt}) \cdot (\sqrt{xz}+\sqrt{yt}) \cdot (\sqrt{xt}+\sqrt{\sqrt{yz}})} $
Полагая $x=a^2, y=b^2, z=c^2, t=d^2$, получим, что надо
$(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc) \geqslant a^2b^2c^2 +a^2b^2d^2+a^2c^2d^2 +b^2c^2d^2$. После открытия скобок и сокращений, справа все пропадет, и будет правда.
Итого: неравенство можно усилить, добавив под корнем справа двойку (чтоб было равенство при равенстве всех); тогда на последнем этапе будет не очевидная весчь, а - транснеравенство...

После открытия скобок и сокращений будет правда :
$$abcd ( a^2+b^2+c^2+d^2) \ge 0 $$
Итого: неравенство усилить нельзя ) $ x \rightarrow 0 , y=z=t$

 Профиль  
                  
 
 Re: 4 variables
Сообщение13.10.2016, 19:47 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
Упс: действительно, это $(3,1,1,1) > (2,2,2,0) $ Же не выполняется, и транснеравенства не прокатят....

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
cron
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group