2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Нано-лягушка
Сообщение11.10.2016, 17:03 


11/10/16
2
Недавно нашел в старом архиве одной олимпиады школьников интересную задачку:
Нано-лягушка, перемещаясь по плоскости, может
делать два вида действий: прыгать в направлении взгляда ровно на 1 метр и изменять направ-
ление взгляда на угол, кратный 45 градусам.
а) Докажите, что таким образом нано-лягушка может приблизиться к любой точке плоско-
сти на расстояние, не превосходящее 1 нанометра.
б) Может ли нано-лягушка, перемещаясь таким образом, удалиться от точки, в которой она
первоначально находилась, ровно на 2,5 метра?

Есть подозрение, что б) можно вывести из а).

Идеи для a):
1. Показать, что лягушка может бесконечно уменьшать свое расстояние до точки, на которую не может перепрыгнуть.
2. Не даром же здесь углы, кратные 45 градусам. Прямоугольные треугольники, у которых острые углы по 45 градусов, равнобедренные.

Идеи для б):
1. Использовать графы. Показать, что из вершины, в которой находится лягушка, нельзя попасть в вершину на расстоянии 2.5.
2. Окружности. Вокруг любой точки можно начертить окружность радиусом 1. Тогда лягушка может попасть в точку, только находясь на этой окружности.
3. Сначала доказать а) и утверждать, что лягушка будет бесконечно приближаться к какой-либо точке на расстоянии 2.5 от старта, но не достигнет ее.

Как вы думаете, какой подход наиболее верный? Или есть другие идейки? :?:

 Профиль  
                  
 
 Re: Нано-лягушка
Сообщение11.10.2016, 17:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8355
Цюрих
Из того, что лягушка может побывать сколь угодно близко к какой-то точке, не следует, что она не может побывать и в самой этой точке.
Вообще можно явно выписать множество точек, в которые лягушка может попасть (у нее всего 8 вариантов прыжка из каждой точки). Из этого сразу будет виден ответ на б.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нано-лягушка
Сообщение11.10.2016, 17:16 
Заслуженный участник


09/05/12
25179

(На всякий случай прикрою)

Все варианты ходов описываются таким образом: одна из координат лягушки меняется на единицу или две координаты сразу меняются на $\pm \sqrt{2}/2$. Тем самым очевидно, что лягушка может достичь любой точки, обе координаты которой одновременно представимы в виде $p + q\,\sqrt{2}$ или $p + (q+1/2)\,\sqrt{2}$ где $p,q \in \mathbb{Z}$. Далее первое утверждение доказывается конструктивно (подбором $p$ и $q$ достаточно больших по абсолютной величине и разных знаков, причем второй вариант пар координат можно для простоты не рассматривать, хватит и первого), отрицательный ответ на второй вопрос сразу же следует из иррациональности $\sqrt{2}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нано-лягушка
Сообщение11.10.2016, 17:32 


11/10/16
2
Спасибо всем! Ни один из моих подходов не был правильным. Вы правы: тут нужно работать с представлением координат.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нано-лягушка
Сообщение11.10.2016, 22:00 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Введём декартовы координаты.

Заставим лягушку после любого прыжка по диагонали поворачиваться на $\pm 90°$ и прыгать ещё раз. Тогда после этих двух прыжков изменится только одна из декартовых координат (на $\pm\sqrt 2$). Я ограничил множество возможных прыжков лягушки, но лично мне такое ограничение только помогает: можно считать, что лягушка может прыгать только параллельно координатным осям, зато (на выбор) либо на $\pm 1$, либо на $\pm\sqrt 2$. И как-то всё ясно.

(списано у Pphantom)

 Профиль  
                  
 
 Re: Нано-лягушка
Сообщение11.10.2016, 22:14 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Тогда вопрос о достижимости перемещения на 2,5 метра останется открытым — вдруг можно воспользоваться исключенными видами прыжков? Зато если рассматривать ваше ограничение вместе с, наоборот, расширением функционала — лягушка может прыгать только параллельно осям, но зато и на 1, и на $\sqrt2/2$ — простота и в первой части задачи, для которой можно только ограничивать, и во второй, для которой можно только расширять.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нано-лягушка
Сообщение11.10.2016, 22:59 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Я почему-то на б) и внимания не обратил. Конечно, это только для а).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group