2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4  След.
 
 Олимпиада НГУ - 2016
Сообщение10.10.2016, 04:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5903
Новосибирск
1 тур (9 октября)

1 курс
1. Определите число способов замощения тротуара $2\times n$ перевёрнутыми доминошками $1\times 2.$

2. Пусть $a+b>0, b+c>0, c+a>0. $ Докажите, что $\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a}\leqslant \frac{a+b+c}2.$

3. Все десятичные цифры $0,1,\ldots, 9$ сели кружком в случайном порядке.
Докажите, что найдутся три подряд сидящие цифры, сумма которых не меньше $15.$ Привести пример расположения, для которого сумма любых трёх подряд
сидящих цифр не больше 15.

4. Найдите наибольшее действительное число $z$, удовлетворяющее условиям: $$x + y + z=7 \quad\text{и}\quad xy +xz + yz=11.$$

5. Найдите все целые решения уравнения $3^x+115=y^2.$



2-4 курсы

1. Пусть многочлен $n$-ой степени $p(x)$ с действительными коэффициентами не имеет действительных корней.
Может ли полином $q(x)=\sum \limits_{k=0}^n p^{(k)}(x)$ иметь действительные корни?

2. Различные числа $a$ и $b$ живут на комплексной плоскости - оба не на окружности $C$ радиуса $1$ с центром в нуле.
Докажите, что они могут ходить друг другу в гости, не пересекая окружность $C$ тогда и только тогда,
когда $\left|\frac{1-\overline{a}b}{a-b}\right|>1.$

3. Вычислите предел $\lim\limits_{n\to\infty}\left(\sin\frac{1}{n^2}+\sin\frac{2}{n^2}+\ldots+\sin\frac{n}{n^2}\right)$

4. Докажите, что $$\int\limits_0^{\frac \pi 2}\cos^nx\sin nx\, dx=\frac1{2^n}\sum\limits_{k=1}^n\frac{2^{k-1}}{k}$$

5. Пусть $|q|<1$ и последовательность $x_n$ удовлетворяет рекуррентности $x_{n+1}=q\cos x_n.$
Докажите, что $x_n$ сходится при любом начальном члене $x_0.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиада НГУ - 2016
Сообщение10.10.2016, 07:07 
Аватара пользователя


21/06/08
476
Томск
4. Для 1-го курса. $xy+z(x+y)=11 \leq \frac{(7-z)^2}{4} +z(7-z)$. Следоватаельно,$ 5 \leq z \leq \frac{-1}{3}$

-- Пн окт 10, 2016 08:16:06 --

5 для 1-го курса. По модулю 4 $x$ четное число. Мы получаем $x=4, y=14$ и $x=4, y=-14$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиада НГУ - 2016
Сообщение10.10.2016, 10:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14424
I-3. Предположить и получить противоречие с суммой всех цифр.
Предполагать, конечно, надо, что сумма по любой тройке меньше $15$, то есть не больше $14$. Троек десять. Общая сумма... Ну и так далее.
Можно и напрямик. Тогда в желании получить рассадку с суммой любых цифр подряд меньше 15, вначале посадим $9,8,7$. Расстояние между ними не меньше двух цифр. И куда же девать $6$? Только посередине между $7$ и $8$. Дальше встают $1$ и $0$. Для $5$ остаются 4 места, но они обязательно входят в тройку с $9$. А нуль уже сидит. Чего-то как-то длинно. Но это даже младшим школьникам подойдёт.
А пример расположения, когда сумма любых не больше $15$, получить можно, разнося подальше большие цифры:
$9 5 1 8 4 3 7 2 6 0$

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиада НГУ - 2016
Сообщение10.10.2016, 10:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5903
Новосибирск

(Оффтоп)

gris в сообщении #1158530 писал(а):
Предположить и получить противоречие

Предположить что - противное или приятное? :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиада НГУ - 2016
Сообщение10.10.2016, 11:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5413
Нов-ск
bot в сообщении #1158512 писал(а):
1. Пусть многочлен $n$-ой степени $p(x)$ с действительными коэффициентами не имеет действительных корней.
Может ли полином $q(x)=\sum \limits_{k=0}^n p^{(k)}(x)$ иметь действительные корни?

$\min q(x) = q(x_{min}) = p(x_{min}) > 0 $

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиада НГУ - 2016
Сообщение10.10.2016, 11:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14424
bot, представляю, как Вы на экзаменах бедных студентов одним взглядом это самое. Я увидел простое решение. Но стоило Вам только спросить, как я впал в панику :-) Предположил я, конечно, что по любой тройке сумма меньше $15$. В целых это означает $\leq 14$. Ну и всё.
Вообще я ещё в школе знал, что в целых числах полезно сразу переходить от строгих неравенств к нестрогим. Вотъ.
I-5. В дополнение к уже опубликованному. Я бы так решал: Показать, что $3^x$ натуральное. Далее последние цифры квадрата, $3^x=(3^t)^2$. Разложение $115$ и разности квадратов на множители и решение двух систем. Наверняка забывали про знак $y$. Кто помнит квадраты и степени одно решение увидит сразу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиада НГУ - 2016
Сообщение10.10.2016, 12:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5903
Новосибирск
gris в сообщении #1158553 писал(а):
Ну и всё

$3\cdot 14<3\cdot 15$ - тоже красиво, круговая порука - великая вещь. Я игнорировал нолик и от него разбил на 3 тройки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиада НГУ - 2016
Сообщение10.10.2016, 12:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14424
II-5. А разве не видна сразу сходимость к нулю по сравнению с геометрической прогрессией? Там даже и ряд абсолютно сходится :?:
II-2. Если перейти к показательной форме, то условие эквивалентно $(1-r_1)(1-r_2)<0$/

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиада НГУ - 2016
Сообщение10.10.2016, 12:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5413
Нов-ск
gris в сообщении #1158563 писал(а):
II-5. А разве не видна сразу сходимость к нулю по сравнению с геометрической прогрессией? Там даже и ряд абсолютно сходится :?: /
$x_n$ не к нулю сходится. (Или это кто-то другой сходится к нулю?)

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиада НГУ - 2016
Сообщение10.10.2016, 12:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
bot в сообщении #1158512 писал(а):
3. Вычислите предел $\lim\limits_{n\to\infty}\left(\sin\frac{1}{n^2}+\sin\frac{2}{n^2}+\ldots+\sin\frac{n}{n^2}\right)$
$$=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{k}{n^2}+O\left(\frac{1}{n^3}\right)\right)=\frac{1}{2}.$$

(Оффтоп)

P.S. Хватает даже просто первого замечательного предела $\sin x=x+o(x)$, $x\to0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиада НГУ - 2016
Сообщение10.10.2016, 16:33 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
TOTAL в сообщении #1158565 писал(а):
$x_n$ не к нулю сходится. (Или это кто-то другой сходится к нулю?)

Сходится к корню $x_{\ast}$ ур-я $x=q\cos x$. Видимо, КТО_ТО $=x-x_{\ast}$

1.1 Фибоначчи? Вот только почему они перевернутые?

-- 10.10.2016, 17:36 --

1.2. Избавимся от знаменателя, откроем на фиг все скобки, и будет нам (видимо) транснеравенство....

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиада НГУ - 2016
Сообщение10.10.2016, 17:50 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
1.4. $\sin ((n-1)x) = \sin (nx) \cos x - \cos (nx) \sin x $.
Тогда $I_n = \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^nx\cdot \sin nx dx = $
$\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^{n-1}x \cdot  \cos x\sin nx dx = $
$I_{n-1} + \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos nx \cdot \sin x \cos^{n-1}x dx =$
(по частям ) $= I_{n-1} - I_n + \frac{1}{n}$
Ну, и (по индукции) получим че надо...

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиада НГУ - 2016
Сообщение10.10.2016, 18:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/12/05
5903
Новосибирск
DeBill в сообщении #1158637 писал(а):
1.1 Фибоначчи? Вот только почему они перевернутые?

По моей халатности при раздаче доминошки перевёрнутыми не были, и студенты стали спрашивать, надо ли различать $1|2$ и $2|1$ или нет, а также допускается ли укладка разными сторонами, вот я и перевернул, как оно и положено при игре в домино.

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиада НГУ - 2016
Сообщение10.10.2016, 19:00 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
bot
ААА! Вот, блин, какой я зашоренный математик: для меня блин доминошка - просто хреновина размера один на два.
Ан нет, не всегда....

-- 10.10.2016, 20:11 --

2.2. Конформный автоморфизм единичного круга, переводящий его точку $a$ в центр, имеет вид
$w= \frac{z-a}{1-\bar{a}z}$. Так что условие "$b$ тоже внутри" равносильно тому, что ТА дробь по модулю больше 1....

-- 10.10.2016, 20:15 --

TOTAL в сообщении #1158552 писал(а):
$\min q(x) = q(x_{min}) = p(x_{min}) > 0 $

Ваше решение напомнило известную задачу:
сколько корней у многочлена $1+x+ \frac{x^2}{2!} + ... + \frac{x^n}{n!}$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Олимпиада НГУ - 2016
Сообщение10.10.2016, 22:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14424
I-1. По-моему, задача изоморфна такой: Сколько существует строк из единиц (горизонтальная) и двоек (пара соседних вертикальных), сумма которых равна $n$. И тут тоже вопрос: симметрия укладки верх-низ учитывается? Наверное, нет.
$1 - 1:\;1.$
$2 - 2:\;11,2.$
$3 - 3:\;111,12,21.$
$4 - 5:\;1111,211,121,112,22.$
$5 - 8:\;11111,2111,1211,1121,1112,221,212,122.$
Доминошек всего 28, то есть можно врукопашную посчитать до 14 слоёв без всяких формул.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 56 ]  На страницу 1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group