Об операторе фазы

[amon]

Давно собирался предложить почтенной публике обсудить очередную вечную и, насколько мне известно, не решенную проблему квантовой механики. Мы вряд ли ее решим, но "если не догоним то хотя бы согреемся". Тянется эта история еще от П.А-М. Дирака, и время от времени она выплывает где-нибудь в оптике. Не понятно, физическая это или математическая проблема. Обзор можно посмотреть тут (прямая ссылка на pdf статьи целиком!!!), а для затравки краткое содержание.

Вопрос звучит, собственно, так: "Что такое фаза гармонического осциллятора в квантовой механике?" В классике фаза - канонически сопряженная действию переменная. Гамильтониан осциллятора в переменных действие-угол есть $H=\omega I$, соответственно уравнения движения будут

$$ \begin{align} \dot{I}&=0\\ \dot{\varphi}&=\omega. \end{align} $$

Стало быть, переменной $I$ соответствует амплитуда колебаний, а переменной $\varphi$ - фаза, и это - канонически сопряженные переменные.

В квантовой механике классической $I$ вроде как соответствует $I=aa^+ + a^+a$, так что фаза, казалось бы, канонически сопряженная этому безобразию переменная, оператор которой должен быть эрмитов (фаза - наблюдаемая), и для этих переменных должно выполняться соотношение неопределенности вроде $\Delta I\Delta \varphi\ge \frac{1}{2}$. Количеству людей, наступивших на эти грабли несть числа, среди них Дирак, Пайерлс и куча других почтенных, но менее известных ученых.

Легко сообразить, что с вышеприведенным "соотношением неопределенности" имеет место какая-то бяда. При достаточно малом $\Delta I$ я могу сделать $\Delta \varphi$ кратным двум пи, что соответствует тому, что эффективно $\Delta \varphi=0.$ Не столь очевидная бяда с эрмитовостью оператора $\hat{\varphi}$. Следуя Дираку, можно представить $a$ в виде $a=\sqrt{I}e^{i\hat{\varphi}},$ и объявить показатель экспоненты оператором фазы. Для корректности такого определения необходимо, что бы оператор $U=e^{i\hat{\varphi}}$ был унитарным $UU^+=U^+U=1$. Легко убедится, что это не так:

$$ \begin{align} &a|n\rangle=\sqrt{n}|n-1\rangle,\; a^+|n\rangle=\sqrt{n+1}|n+1\rangle\Rightarrow\\ &U|n\rangle=|n-1\rangle,\;U^+|n\rangle=|n+1\rangle,\;U|0\rangle=0 \end{align} $$

Последнее равенство приводит к неунитарности $U$, т.к. $UU^+|0\rangle=|0\rangle,$ но $U^+U|0\rangle=0$.

Выходов из этой щекотливой ситуации предлагалось много. Пайерлс сказал, что ни какого оператора фазы в природе нет (как, видимо, и самой фазы, как измеряемой величины). Другие, не столь радикально настроенные ученые, пытались такой оператор сконструировать (без большого успеха), либо заявить, что наблюдаемой будет синус фазы, либо разность фаз. Однако, оказывается, что оператор синуса фазы не коммутирует с оператором косинуса той же фазы, а оператор разности фаз с одной стороны, имеет дискретный спектр, а с другой - имеет произвольную непрерывную аддитивную константу в спектре.

В общем, надеюсь, что я заинтриговал достаточно, что бы открыть обзор просмотреть его по диагонали и, при желании, обсудить проблему. Еще раз хочу сказать, что проблема на грани физики и математики, так что может кому из математиков и интересно будет потрепаться на эту тему. Кроме того, хочу покаятся. Я за этой темой последние лет десять не следил, так что может все уже решили, хотя, судя по тому, что про всякие сжатые состояния пишут - вряд ли.

[Osmiy]

(Оффтоп)

Почему фазы нет в списке нерешенных проблем физики?

[g______d]

Вот, по-моему, более новый обзор, и с виду достаточно аккуратно написанный (но я ещё не прочитал).

[Munin]

Объясните мне гораздо более простую вещь. Что соответствует квантованному гармоническому осциллятору на фазовой плоскости? То есть, попросту, как канонически проквантовать гамильтонову систему? И я уйду.

-- 27.09.2016 12:59:25 --

amon в сообщении #1155057 писал(а):

я могу сделать $\Delta \varphi$ кратным двум пи, что соответствует тому, что эффективно $\Delta \varphi=0.$

Ну нет. "Дельта" (большая) не означает, что мы берём какие-то две точки, и разводим их на заданное расстояние. Она означает, что мы берём распределение, и считаем её ширину. Так что мы вообще не можем сделать $\Delta\varphi$ больше двухпи, каковому значению соответствует распределение, размазанное равномерно по окружности (хм, а может, не равномерно, но как-то симметрично).

По крайней мере, у меня такое ощущение на уровне ЛЛ-3 § 16.

-- 27.09.2016 13:00:59 --

(Оффтоп)

amon в сообщении #1155057 писал(а):

Однако, оказывается, что оператор синуса фазы не коммутирует с оператором косинуса той же фазы

А шо, меня вполне устраивает. После некоммутативности операторов проекции момента на разные оси - меня уже это не удивляет. По сути, даже что-то похожее, только "момент по двумерной окружности". Эх, не учил я в детстве ротатора...

[amon]

g______d, спасибо! Гляну - поделюсь впечатлениями.

Osmiy в сообщении #1155060 писал(а):

Почему фазы нет в списке нерешенных проблем физики?

Ну, мало ли чего там нет. Видать, не столь великая проблема. К стати, а где этот список? Любопытно на него посмотреть.

Munin в сообщении #1155116 писал(а):

как канонически проквантовать гамильтонову систему?

Простейший способ - ввести два оператора $P$ и $Q$, коммутирующих на $i\hbar$ и произвести преобразование Вейля над классическим гамильтонианом. Если $H(u,v)$ - преобразование Фурье от классической функции гамильтона $H(p,q)$, то оператор гамильтона в симметричной форме будет $\int e^{-i(uP+vQ)}H(u,v)\frac{dudv}{2\pi}$. Лично мне ничего, кроме симметричной формы не нужно, поскольку все, чем мне приходится заниматься - это condensed matter, сиречь квантовая электродинамика, а в ней требование калибровочной инвариантности эквивалентно требованию симметричности операторов. Этот рецепт прекрасно работает в неограниченном фазовом пространстве, и начинает давать сбои на полупрямых, кружках и т.п.

Munin в сообщении #1155116 писал(а):

Так что мы вообще не можем сделать $\Delta\varphi$ больше двухпи

Однако, имеем
$\Delta I\Delta \varphi\ge \frac{1}{2}$, и если $\Delta I<4\pi$ то $\Delta \varphi>2\pi$, и кер-то фе?

[Osmiy]

amon в сообщении #1155132 писал(а):

К стати, а где этот список? Любопытно на него посмотреть.

"Нерешённые проблемы современной физики"

[Munin]

amon в сообщении #1155132 писал(а):

Простейший способ - ввести два оператора $P$ и $Q$, коммутирующих на $i\hbar$ и произвести преобразование Вейля над классическим гамильтонианом.

Охохонюшки. Существует изложение https://en.wikipedia.org/wiki/Phase_space_formulation и https://en.wikipedia.org/wiki/Moyal_product где-нибудь в учебнике, а не в статье? И лучше всего по-русски.

Я бы хотя бы просто посмотрел, как осциллятор квантуется, и во что превращаются его операторы, наблюдаемые, и стационарные состояния. Такой пример есть?

amon в сообщении #1155132 писал(а):

Однако, имеем
$\Delta I\Delta \varphi\ge \frac{1}{2}$, и если $\Delta I<4\pi$ то $\Delta \varphi>2\pi$, и кер-то фе?

(Продолжая трёп за пределами области понимания) А зачем вообще что-то фер? Просто положим, что $\Delta I$ не может быть меньше одной четырёхпитой, и что?

(Оффтоп)

Вон, Берестецкий-Лифшиц-Питаевский положили нижний предел на неопределённость координаты и даже не поморщились (перепутав импульс со скоростью, ну да ладно).

[g______d]

amon в сообщении #1155057 писал(а):

оператор которой должен быть эрмитов (фаза - наблюдаемая)

Никогда не понимал, кстати. Причин называется обычно две: нужно, чтобы выполнялась спектральная теорема (она выполняется для любых нормальных операторов, в частности, для унитарных) и спектр должен быть вещественным, потому что прибор показывает вещественные числа. Второе требование достаточно странно, потому что прибор с циферблатом, очевидно, показывает не вещественное число, а комплексное число, по модулю равное единице.

Т. е. я подозреваю, что цепляться именно за словесную формулировку

amon в сообщении #1155057 писал(а):

соотношение неопределенности вроде $\Delta I\Delta \varphi\ge \frac{1}{2}$.

бесполезно и надо понять, каких именно коммутационных соотношений мы хотим от унитарных наблюдаемых или, например, от пары унитарной и самосопряжённой наблюдаемой. Возможно, что нужно делать так же, как в теореме Стоуна, но сделать это только с одним из операторов.

Впрочем, надо сначала прочитать, что люди сделали.

-- Вт, 27 сен 2016 07:29:55 --

Munin в сообщении #1155187 писал(а):

И лучше всего по-русски.

Харт, "Геометрическое квантование в действии".

[amon]

Я потихоньку, если не возражаете, отвечать буду.
Osmiy, спасибо! Какой-то очень пафосный список. Я бы из этого списка большую часть вычеркнул, и штук пять вопросов добавил типа: "Какова природа сухого трения".

Munin в сообщении #1155187 писал(а):

где-нибудь в учебнике

Я заглянул в книгу, рекомендованную g______d. Она хорошая, но, на мой вкус, слишком математическая. Она хороша, если нужны тонкости, а так, посмотрите (если не смотрели еще) Фаддеева-Якубовского Лекции по квантовой механике для студентов-математиков [ЛГУ, 1980]. Там на страницах с 62 по 71 вышеупомянутого издания (параграфы 13 и 14) изложено то, что я попытался в двух словах сказать, в плоской, доступной для обозрения форме без излишних строгостей. Потом можно и Харта, если надо.
g______d
Почему в квантовой механике операторы наблюдаемых должны быть эрмитовы вопрос конечно интересный. IMHO, это связано с тем, что в квантовой механике наблюдаемые - квадраты модулей, и как-то не хорошо, если $\langle x|Ay\rangle$ и $\langle A^+ x|y\rangle$ дают разные результаты.

С соотношением неопределенности для фазы народ более-менее без нас разобрался. То, что я написал ($\Delta I\Delta \varphi\ge \frac{1}{2}$) конечно, бред, это я в рекламных целях его привел для привлечения внимания, хотя такое соотношение до сих пор можно в статьях (физических, конечно, физических ;) встретить. Будет время и настроение - напишу как, наверно, надо соотношение неопределенностей в этом случае писать.

По поводу наблюдаемости фазы (и, соответственно, эрмитовости соответствующего оператора) в народе есть сомнения. Даже в классической механике эту самую фазу не очень-то наблюдёшь. Легко наблюсти координату, и по времени прохода через, допустим, $x=0$ пересчитать фазу. Но наблюдаемая в этом случае - координата (время в квантовой механике не наблюдаемая, а параметр). Фаза становится "координатой" в переменных действие-угол, и если действие (амплитуду колебаний) еще как-то можно наблюсть, то как это сделать с фазой для меня загадка. С другой стороны, скорость тоже непосредственно трудно измерить, но это не мешает существованию оператора скорости.

[Утундрий]

amon в сообщении #1155263 писал(а):

Будет время и настроение - напишу как, наверно, надо соотношение неопределенностей в этом случае писать.

А.С. Давыдов "КМ", §13?

[amon]

Утундрий в сообщении #1155269 писал(а):

А.С. Давыдов "КМ", §13?

Типа того, но чуть хитрее, поскольку оператор фазы мы толком определить не можем. Спасибо, про Давыдова я как-то забыл.

[Munin]

(Оффтоп)

Народ - это я? :-) Польщён.

-- 27.09.2016 23:05:33 --

amon
g______d
Спасибо за ссылки, попробую почитать, в указанном amon порядке.

-- 27.09.2016 23:55:57 --

amon

(Оффтоп)

В начале § 14 говорится про состояние квантовой системы $M,$ а затем ему как оператору сопоставляется некая функция $\rho_1(p,q).$ Правильно я понимаю (что где-то выше по тексту говорится), что здесь под состоянием понимается оператор плотности (матрица плотности)?

[amon]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #1155278 писал(а):

Правильно я понимаю (что где-то выше по тексту говорится), что здесь под состоянием понимается оператор плотности (матрица плотности)?

Ага! Поймали! Фаддеева-Якубовского не читал!Угу. В самом начале, стр. 12, формула (9). А если действительно не читали, то рекомендую. Я эту книжку когда-то за две поездки за город прочитал. Она в качестве дополнения к стандартному учебнику очень не плоха.

[Munin]

https://en.wikipedia.org/wiki/Wigner_quasiprobability_distribution , оказывается, самая рульная ссылка: не только содержит явную формулу, но и наглядные примеры, в том числе собственных состояний гармонического осциллятора: вакуума, 1 фотона и 5 фотонов. Наконец-то дело дошло до наглядных образов. В частности, глазами видно, почему у них фаза полностью неопределена :-)

-- 28.09.2016 00:36:48 --

amon

(Оффтоп)

amon в сообщении #1155297 писал(а):

Ага! Поймали! Фаддеева-Якубовского не читал!

Не читал, в чём смело признаюсь. Когда совал в неё нос, не нашёл в ней ничего существенно важного по сравнению со стандартным курсом. Да и сейчас, пожалуй, не прочитаю, кроме подсказанных вами параграфов. Как видите, о чём-то даже догадываться получается :-) Мне в качестве дополнения более ценными показались ФЛФ, Фейнман-Хибс, Мессиа, Коэн-Таннуджи, М.Г.Иванов,  тысячи их , не хочется распыляться. А если хочется поломать голову, то у меня всегда есть Прохоров-Шабанов, заложенный примерно десятый год на 20-й странице.

-- 28.09.2016 00:44:07 --

amon
g______d
Пеняю вам господа, что ссылки лучше бы давать в таком виде:
http://ufn.ru/ru/articles/2002/8/c/
http://arxiv.org/abs/1602.07319v2
ибо там всё равно можно скачать PDF, но перед этим человек может глянуть на abstract.

[g______d]

amon в сообщении #1155263 писал(а):

IMHO, это связано с тем, что в квантовой механике наблюдаемые - квадраты модулей

Квадраты модулей чего? Как минимум, наблюдаемые могут быть отрицательными :) Я думаю, вы имеете в виду $(A\psi,\psi)$, ну так по этой величине $A$ восстанавливается полностью.

amon в сообщении #1155263 писал(а):

как-то не хорошо, если $\langle x|Ay\rangle$ и $\langle A^+ x|y\rangle$ дают разные результаты.

Эти два выражения, как раз, равны вообще всегда по определению. Равенство без крестика, да, равносильно симметричности оператора, но не очевидно, почему вообще нужно его постулировать.

-- Вт, 27 сен 2016 16:37:54 --

Munin в сообщении #1155298 писал(а):

Пеняю вам господа, что ссылки лучше бы давать в таком виде: http://ufn.ru/ru/articles/2002/8/c/ http://arxiv.org/abs/1602.07319v2
ибо там всё равно можно скачать PDF, но перед этим человек может глянуть на abstract.

Слева первой страницы pdf на arxiv есть ссылка на страницу публикации. В одном случае лишний клик в одном случае, в другом, -- в другом.