2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.
 
 Re: Об операторе фазы
Сообщение28.09.2016, 22:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
62045
Red_Herring в сообщении #1155502 писал(а):
Образуют, бесконечномерную группу. Оно Вам надо?

Ну а что поделать, наверняка без этого никуда.

Red_Herring в сообщении #1155502 писал(а):
В алгебре то будут неограниченные операторы, и как их коммутаторы брать?

Разве структура алгебры их не подсказывает?

Утундрий в сообщении #1155516 писал(а):
P.S. А если серьёзно, то в ТФКП.

То, что в ТФКП, я понимаю. А вот как оно связано с матрицами - нет. "Резольвента" - для меня страшное непонятное слово.

g______d в сообщении #1155521 писал(а):
Ну и понимание того, что ветвь в принципе нужна. Это входит в школьную программу даже по Munin.

Нет, это - не вошло.

 Профиль  
                  
 
 Re: Об операторе фазы
Сообщение28.09.2016, 23:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
4253
Munin в сообщении #1155546 писал(а):
То, что в ТФКП, я понимаю. А вот как оно связано с матрицами - нет. "Резольвента" - для меня страшное непонятное слово.


Если $A$ — самосопряженная, унитарная или нормальная матрица с собственными значениями $\lambda_i$ и собственными векторами $v_i$, то $f(A)$ можно определить как матрицу с собственными значениями $f(\lambda_i)$ и теми же собственными векторами. Никаких резольвент не нужно, и это обычно произносится в курсе линейной алгебры.

 Профиль  
                  
 
 Re: Об операторе фазы
Сообщение28.09.2016, 23:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
62045
Так. Можно. Что дальше? Я тупой, разжуйте по шагам, пожалуйста.

 Профиль  
                  
 
 Re: Об операторе фазы
Сообщение29.09.2016, 00:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
6622
Hogtown
Ну у унитарного оператора спектр лежит на окружности, а вот логарифм--многозначная функция на комплексной плоскости, и если нет разреза, то многозначность это плата за непрерывность

 Профиль  
                  
 
 Re: Об операторе фазы
Сообщение29.09.2016, 00:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
62045
А, то есть вопрос только в том, что логарифмирование - действие неоднозначное? А не по барабану ли?

 Профиль  
                  
 
 Re: Об операторе фазы
Сообщение29.09.2016, 01:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
2375
ФТИ им. Иоффе СПб
Если я правильно понял идею g______d, он предлагает заменить эрмитов оператор фазы унитарным, и тогда проблема $2\pi$ уйдет. Однако, как я понимаю, это не главная проблема. С подачи уважаемого Утундрий'я вспомнилось, что похожий случай будет с коровой Машкой полярным углом $\phi$ (это что бы от фазы отличать) и проекцией углового момента $L_z$. Они тоже канонически сопряженные, и $\phi$ задана на круге, но с ними большой проблемы нет. В этом случае спасает отсутствие ограничений снизу на спектр $L_z$. Подробности, если кому интересно, позже будут. Спектр $I$ ограничен снизу, поскольку это, с точностью до слагаемого, номер уровня осциллятора (или - число фононов, кому как нравится), и из-за этого ограничения все беды. Один из способов борьбы с фазой, предложенный В.Н.Поповым - ввести вместо $I$ оператор с конечным числом с.з., расположенных на кольце. При этом $a$ бегает по кольцу против часовой, а $a^+$ - по (или наоборот, в зависимости от того как что пронумеровали) при этом такой бяки как $U^+U|0\rangle=0$ ни где не будет, а исходная система получается предельным переходом. При этом, правда, не все с физикой здорово.

 Профиль  
                  
 
 Re: Об операторе фазы
Сообщение11.10.2016, 17:40 


27/08/16
932
amon в сообщении #1155057 писал(а):
Однако, оказывается, что оператор синуса фазы не коммутирует с оператором косинуса той же фазы

О! Размышлял над немного иным вопросом и, неожиданно, ответ на него обнаружил в этой теме.

Тема моих размышлений была следующей. Общепринято, что результаты измерений соответствуют эрмитовым операторам - наблюдаемым. Результат измерения, при этом, может, в принципе, оказаться произвольным действительным числом из спектра этой наблюдаемой. Однако, эта модель измерения не вполне точна. При измерении мы всегда измеренное значение оцифровываем, проводя цепочку сравнений и получая результат сравнений в виде цепочки из $N$ битов, представляющей измеренное значение без потери общности некоторым двоичным кодом. Такой процесс дискретизации отсчёта можно представить в виде линейки проводящих измерение компараторов, каждый компаратор выдаёт на выход число $0$ или $1$ и, следовательно, описывается некоторым проектором, так что, процесс измерения описывается набором из $N$ проекторов. Понятно, что если мы оцифровываем результат измерения некоторой наблюдаемой, то эта наблюдаемая коммутирует со всеми проекторами отдельных битов своего двоичного представления, и проекторы отдельных битов, также, коммутируют друг с другом. Вопрос, над которым я размышлял, был следующий: могут ли существовать измеряемые величины, у которых проекторы, соответствующие их отдельным битам, не коммутируют?

Так вот, похоже, обсуждаемая в этой теме фаза - это и есть пример такой величины, при оцифровке которой операторы измерения отдельных битов не коммутируют. Это легко заметить следующим образом. Выбрав в качестве единицы измерения фазы число периодов и оцифровывая дробную часть как результат измерения фазы, мы обнаруживаем, что два старших бита дробной части кодируют квадрант и могут быть измерены как знаки косинуса и синуса фазы, которые сами не коммутируют. Тут, конечно, нужно ещё строго доказать, что если не коммутируют синус с косинусом фазы, то не коммутируют также их знаки, но это кажется очень правдоподобным. А если знаки синуса и косинуса не коммутируют, то не коммутируют и операторы измерения двух старших битов двоичного представления фазы, следовательно, их измерить одновременно невозможно, а значит, можно таким образом доказать, что обсуждаемая фаза не может быть измерена.

Что думаете? Полный бред, или в этом что-то есть?

 Профиль  
                  
 
 Re: Об операторе фазы
Сообщение11.10.2016, 18:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
2375
ФТИ им. Иоффе СПб
realeugene в сообщении #1158950 писал(а):
процесс дискретизации отсчёта можно представить в виде линейки проводящих измерение компараторов, каждый компаратор выдаёт на выход число $0$ или $1$ и, следовательно, описывается некоторым проектором, так что, процесс измерения описывается набором из $N$ проекторов.
Я подозреваю, что к моменту оцифровки квантовые измерения, как правило, уже закончились, и начались классические. Пусть, для примера, мы считаем какие-нибудь фотоны фотоумножителем. Собственно процесс измерения - фотон выбил первичный электрон, а из последнего получился макроскопический ток. Оцифровываем мы уже этот макроскопический ток, и, вроде как, это уже повторное чисто классическое измерение. Т.е., мне кажется, что измерение и оцифровка - разные процессы, но на этом насмерть стоять не буду.

 Профиль  
                  
 
 Re: Об операторе фазы
Сообщение11.10.2016, 18:25 


27/08/16
932
amon в сообщении #1158963 писал(а):
Я подозреваю, что к моменту оцифровки квантовые измерения, как правило, уже закончились, и начались классические.

Да, как я слышал, это иная нерешённая проблема КМ: когда именно происходит коллапс волновой функции, и происходит ли он вообще? :D Мне кажется, это ни на что не влияет: в результате мы в любом случае получаем $N$ классических бит, каждый полученный бит - это результат жёсткого измерения над исходной квантовой системой, описываемого своей наблюдаемой, и биты можно измерить совместно только тогда, когда все эти наблюдаемые коммутируют друг с другом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Об операторе фазы
Сообщение13.10.2016, 17:31 


27/08/16
932
g______d в сообщении #1155315 писал(а):
Вот в классической механике есть переменная угол -- она какая? Можно считать, что вещественная (и мучиться с $2\pi$), а можно считать, что комплексная, по модулю равная единице.
Кстати, хороший вопрос. И нужно минимум сколько классических измерений, чтобы измерить классический угол, если каждое классическое измерение должно выдавать одно действительное число и должно быть устойчивым, и, следовательно, непрерывным по углу поворота подопытной механической системы процессом?

Думаю, что ответ - минимум $2$ таких измерения. Классический угол - это точка на окружности. А так как окружность невозможно покрыть одной картой, то для измерения классического угла нужно минимум два устойчивых классических измерения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Об операторе фазы
Сообщение13.10.2016, 19:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
2375
ФТИ им. Иоффе СПб
realeugene в сообщении #1159481 писал(а):
сколько нужно классических измерений, чтобы измерить классический угол
Тут такая петрушка. Фаза осциллятора ($\varphi=\omega t$) и полярный угол $\phi$ как координата на окружности это разные координаты. Если точка движется по окружности, то нарисовав угловые метки я узнаю, чему равен $\phi$ за один щелчек затвора фотоаппарата, сфотографировав свою точку на фоне шкалы. Как аналогичное измерение произвести для осциллятора (на чем шкалу нарисовать) я, честно говоря, не знаю.
Канонически сопряженной величиной к $\phi$ будет $z$-компонента углового момента $L_z$, а сопряженной к $\varphi$ будет амплитуда колебаний. Амплитуда, в отличии от $L_z$, всегда положительна (и как ее непосредственно измерить ясно тому самому ежу, на мнение которого тут не советовали особенно полагаться). Поэтому, при квантовании, с задачей об операторе $\hat{\phi}$ народ давно справился, а с $\hat{\varphi}$ - нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Об операторе фазы
Сообщение13.10.2016, 20:02 


27/08/16
932
amon в сообщении #1159514 писал(а):
Если точка движется по окружности, то нарисовав угловые метки я узнаю, чему равен $\phi$ за один щелчек затвора фотоаппарата, сфотографировав свою точку на фоне шкалы.
Сфотографировав точку на плоскости, мы проводим сразу два классических измерения: координаты $x$ и $y$. Безусловно, все классические измерения коммутируют и их можно провести над системой сколько угодно за раз. В случае фазы осциллятора аналогичными координатами являются две квадратуры, но их операторы не коммутируют.

Каюсь, совершенно не помню, как именно квантуют угол поворота и как строят его оператор. Но в нём таится самое интересное: как там обходятся с разрывом?

 Профиль  
                  
 
 Re: Об операторе фазы
Сообщение13.10.2016, 20:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
4253
realeugene в сообщении #1159481 писал(а):
каждое классическое измерение должно выдавать одно действительное число


Ну, собственно, про это и был вопрос: стрелка на циферблате в классическом случае -- это одно измерение или два? Я считаю, что одно, поскольку степень свободы одна.

 Профиль  
                  
 
 Re: Об операторе фазы
Сообщение13.10.2016, 20:53 


27/08/16
932
g______d в сообщении #1159550 писал(а):
Ну, собственно, про это и был вопрос: стрелка на циферблате в классическом случае -- это одно измерение или два? Я считаю, что одно, поскольку степень свободы одна.

Ну, если вспомнить, сколько палочек и колбочек в глазах и нейронов в мозгу участвуют в измерении положения стрелки на циферблате, окажется, что там проводится гораздо больше измерений, чем одно или, даже, два. :D Дьявол таится в вопросе о том, что именно мы называем "измерением"? Всё-таки устойчивость процесса измерения и, следовательно, его непрерывность по состоянию измеряемой системы мне кажется важным условием в той модели измерения, когда мы рассматриваем получение одного действительного числа в результате измерения Допустив в этой модели неустойчивые процессы измерения можно зайти очень далеко, и хорошо бы ещё понимать, куда это может нас завести.

 Профиль  
                  
 
 Re: Об операторе фазы
Сообщение13.10.2016, 20:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
2375
ФТИ им. Иоффе СПб
g______d в сообщении #1159550 писал(а):
стрелка на циферблате в классическом случае -- это одно измерение или два?
Одно. И часовая шкала - это координаты $\phi$. А вот как такую (подобную) шкалу "нарисовать" для фазы $\varphi=\omega t$ маятника я не знаю. (Мы пока про классическую механику, если что).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 47 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Парджеттер, Pphantom, whiterussian, Aer, photon, profrotter, Jnrty, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group