индукция

[maxmatem]

Доказать тождество

$$(1 \cdot 2 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 3\cdot 4) \cdot ...\cdot n(n+1)(n+2)= \frac{1}{4} (n(n+1)(n+2)(n+3))$$

Я начал по индукции

1. при $n=1$ все ясно.

2. Пусть верно для $n=k$ т.е верно

$$(1 \cdot 2 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 3\cdot 4) \cdot ...\cdot k(k+1)(k+2)= \frac{1}{4} (k(k+1)(k+2)(k+3))$$

3. Докажем для $n=k+1$ а именно

$$(1 \cdot 2 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 3\cdot 4) \cdot ...\cdot (k(k+1)(k+2) )\cdot ((k+1)(k+2)(k+3))= \frac{1}{4} ((k+1)(k+2)(k+3)(k+4))$$

Пытался двумя способами.

первый способ

$$(1 \cdot 2 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 3\cdot 4) \cdot ...\cdot (k(k+1)(k+2) )\cdot ((k+1)(k+2)(k+3))= \frac{1}{4} (k(k+1)(k+2)(k+3)) \cdot ((k+1)(k+2)(k+3))=....$$

Я понял что дальше тупик.

второй способ

Взял два равенства при $n=k+1$ и $n=k$ и поделил их, думал что прийду к верному равенству, но не пришел.


Наведите на мысль.

[Pphantom]

maxmatem в сообщении #1154915 писал(а):

Наведите на мысль.

Исходное тождество очевидно неверно. Если внимательно присмотреться, то видно, что оно собирается в $(n-1)! \cdot n! \cdot (n+1)! /2 = (n+3)/4$.

[maxmatem]

Pphantom
спасибо, я понял свой косяк, удалите тему.

[svv]

maxmatem в сообщении #1154915 писал(а):

Я понял что дальше тупик.

Уже после прочтения замечания Pphantom, зная, что формула неверна, я решил всё-таки попытаться её доказать (а вдруг получится?), и тоже зашёл в полный тупик.

[Lia]

$$(1 \cdot 2 \cdot 3) + (2 \cdot 3\cdot 4) +\ldots+ n(n+1)(n+2)= \frac{1}{4} (n(n+1)(n+2)(n+3))$$

[svv]

svv в сообщении #1154933 писал(а):

maxmatem в сообщении #1154915 писал(а):

Я понял что дальше тупик.

Уже после прочтения замечания Pphantom, зная, что формула неверна, я решил всё-таки попытаться её доказать (а вдруг получится?), и тоже зашёл в полный тупик.

Это у меня сегодня шутки такие.

Lia в сообщении #1154935 писал(а):

$$(1 \cdot 2 \cdot 3) + (2 \cdot 3\cdot 4) +\ldots+ n(n+1)(n+2)= \frac{1}{4} (n(n+1)(n+2)(n+3))$$

Здорово!

[arseniiv]

Кстати, размерный анализ на стороне последнего и сильно против первого. (Чтобы аккуратно здесь его применить, заменим $1,\ldots,n+3$ на $a,\ldots,(n+3)a$, где $a$ — размерная, но только не будем заменять $n$ в правой части на $na$. С первым подобных махинаций провести не получится из-за $\forall n$.)