2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Интересная задача
Сообщение24.09.2016, 22:02 


11/08/16
193
Найти минимальное $a$ такое, что для любых $x,y \;((x > a) \wedge (y > a) \wedge (x > y))
верно: ${y^x} > {x^y}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Интересная задача
Сообщение24.09.2016, 22:22 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
Абстрактный вопрос... зачем нужно первое условие из трех при наличии двух остальных?

 Профиль  
                  
 
 Re: Интересная задача
Сообщение24.09.2016, 22:24 


11/08/16
193
Pphantom в сообщении #1154376 писал(а):
Абстрактный вопрос... зачем нужно первое условие из трех при наличии двух остальных?

Просто так

-- 24.09.2016, 22:35 --

Введем обозначение $F(x) = {a^x} - {x^a}$ ($a$ - параметр).
Имеем $f'(x) = \ln (a){a^x} - a{x^{a-1}}$
Найдем экстремумы $f'({x_0}) = 0$
$\ln (a){a^x} - a{x^{a - 1}} = 0$
Такое уравнение, если мне не изменяет память вообще не разрешимо в элементарных функциях.
Хотя может уравнение не разрешимо в элементарных функциях, а вот значение минимума этой функции мы посчитаем.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интересная задача
Сообщение24.09.2016, 22:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14430
Неели?

 Профиль  
                  
 
 Re: Интересная задача
Сообщение24.09.2016, 22:42 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Лучше рассмотрите функцию $\frac{\ln x}{x}$. Она где-то возрастает (и там всё плохо), где-то убывает (и там всё хорошо).

 Профиль  
                  
 
 Re: Интересная задача
Сообщение24.09.2016, 22:45 


11/08/16
193
svv в сообщении #1154387 писал(а):
Лучше рассмотрите функцию $\frac{\ln x}{x}$. Она где-то возрастает (и там всё плохо), где-то убывает (и там всё хорошо).

А при чем ту эта функция?

 Профиль  
                  
 
 Re: Интересная задача
Сообщение24.09.2016, 22:54 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Допустим, $x$ и $y$ выбраны из промежутка $M$, где эта функция убывает. Это хорошо, потому что тогда
$x>y \Rightarrow \frac{\ln x}{x}<\frac{\ln y}{y} \Rightarrow ...$ что дальше можно отсюда вывести?

 Профиль  
                  
 
 Re: Интересная задача
Сообщение25.09.2016, 21:12 


11/08/16
193
Спс за подсказку, попробую так

 Профиль  
                  
 
 Re: Интересная задача
Сообщение26.09.2016, 00:21 


05/09/16
11469
Есть такое вещественное число (пусть для конспирации будет $b$), что $\forall x>0, x \not=b$, b^x>x^b
Видимо, оно и является ответом.

-- 26.09.2016, 00:26 --

sa233091 в сообщении #1154377 писал(а):
$\ln (a){a^x} - a{x^{a - 1}} = 0$
Такое уравнение, если мне не изменяет память вообще не разрешимо в элементарных функциях.

Ну один-то корень прямо-таки просится :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Интересная задача
Сообщение26.09.2016, 10:44 


11/08/16
193
wrest в сообщении #1154671 писал(а):
Ну один-то корень прямо-таки просится :)

И какой?

 Профиль  
                  
 
 Re: Интересная задача
Сообщение26.09.2016, 23:11 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
sa233091
Получилось через функцию?

 Профиль  
                  
 
 Re: Интересная задача
Сообщение28.09.2016, 14:36 


05/09/16
11469
sa233091 в сообщении #1154722 писал(а):
И какой?

При $a=e$ просится корень $x=e$ и дальше я бы попробовал посмотреть, есть ли корни при $a>e$ и при $a<e$

 Профиль  
                  
 
 Re: Интересная задача
Сообщение29.09.2016, 23:12 


11/08/16
193
svv в сообщении #1154972 писал(а):
sa233091
Получилось через функцию?

Получилось $\[\min (a) = e\]$

 Профиль  
                  
 
 Re: Интересная задача
Сообщение29.09.2016, 23:43 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
sa233091
Да. Исследование $\frac{\ln x}{x}$ показывает, что она возрастает на $(0,e]$ и убывает на $[e,\infty)$.

Поэтому из $e<y<x$ следует
$\frac{\ln x}{x}<\frac{\ln y}{y} \Rightarrow y\ln x<x\ln y\Rightarrow x^y<y^x$,
как и требуется.

Из $0<y<x<e$ следует, наоборот,
$y^x<x^y$,
поэтому число $a$ не может быть меньше $e$.

Если взять $0<y<e<x$, можно получить неравенство любого знака:
$2^3<3^2$
$2^4=4^2$
$2^5>5^2$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group