2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Производящая функция
Сообщение17.09.2016, 12:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1898
Москва
Пусть $$\varphi(n)=-\frac{1}{n^2}+\frac{5}{n^3}-\frac{16}{n^4}+\frac{43}{n^5}-\frac{106}{n^6}+\ldots$$
коэффициенты разложения определяются последовательностью A053221
Доказать, что в области сходимости $n>2$ имеет место:
$$\varphi(n)=\frac{n+1}{(n+2)^2}-\frac{n}{(n+1)^2}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Производящая функция
Сообщение17.09.2016, 14:43 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
А в чем проблемы? Раскладываем на простейшие дроби.
Используем формулу для суммы геометрической прогрессии (и - для ее производной) - дОлжно получиться...

 Профиль  
                  
 
 Re: Производящая функция
Сообщение17.09.2016, 16:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1898
Москва
Ну, не вышел каменный цветок... Хотел получить один трюк. Но мучить себя геометрическими прогрессиями я бы не стал. Простая подстановка $n=\frac{1}{x}$ разрушает все трюки и приводит к $$\frac{x^4-x^3-x^2}{(2x+1)^2(x+1)^2}$$, что раскладывается в ряд Маклорена ровно с такими коэффициентами.

В общем тему целесообразно убрать отсюда.

 Профиль  
                  
 
 Re: Производящая функция
Сообщение17.09.2016, 18:18 
Заслуженный участник


10/01/16
2315

(Оффтоп)

juna в сообщении #1151901 писал(а):
раскладывается в ряд Маклорена ровно с такими коэффициентами.

Каковое разложение ищем так:
DeBill в сообщении #1151877 писал(а):
Раскладываем на простейшие дроби.
Используем формулу для суммы геометрической прогрессии (и - для ее производной)
...

 Профиль  
                  
 
 Re: Производящая функция
Сообщение17.09.2016, 21:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1898
Москва
Немного украшу тему полученным в связи с ней фактом.
Член любой арифметической прогрессии $m-2$ порядка $\{a_1,a_2,\ldots\}$ можно выразить через предыдущие следующим образом:
$$a_{i}=\sum_{l=2}^m\left (\frac{\prod_{k=2,k\neq l}^{m}(i-k)}{(l-2)!(m-l)!}\right )\cdot(-1)^l\cdot a_l$$

Например, возьмем гексагональные числа $1,6,15,28,45,66,91,...$ В maxima эта формула выглядит так:

Код:
L:[1,6,15,28,45,66,91]$
a(m,i,L):=sum(prod(if k#j then (i-k) else 1,k,2,m)*L[j]*(-1)^j/((j-2)!*(m-j)!),j,2,m)$


Теперь смотрим:

Код:
(%i3) a(4,5,L);
(%o3)                               45
(%i4) a(4,7,L);
(%o4)                               91


А можно сразу получить замкнутую формулу:
Код:
(%i170) expand(a(4,n,L));
                                      2
(%o170)                            2 n  - n


И так для любой прогрессии.

 Профиль  
                  
 
 Re: Производящая функция
Сообщение18.09.2016, 10:20 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
juna в сообщении #1152009 писал(а):
Член любой арифметической прогрессии $m-2$ порядка $\{a_1,a_2,\ldots\}$ можно выразить через предыдущие следующим образом:

Интерполяционный многочлен Лагранжа?

 Профиль  
                  
 
 Re: Производящая функция
Сообщение18.09.2016, 14:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1898
Москва
Не знаю. Им я при выводе не пользовался, возможно это оттуда и следует. Очень похоже.
-------------------------------
Нет. Немного разное. Мое смещает первую точку в никуда.

Код:
load("interpol")$
L:[1,6,15,28]$
(%i3) lagrange(L);
      14 (x - 3) (x - 2) (x - 1)   15 (x - 4) (x - 2) (x - 1)
(%o3) -------------------------- - --------------------------
                  3                            2
                                                        (2 - x) (x - 4) (x - 3)
                      + 3 (x - 4) (x - 3) (x - 1) + -----------------------
                                                                   6
(%i5) a(m,i,L):=sum(prod(if k#j then (i-k) else 1,k,2,m)*L[j]*(-1)^j/((j-2)!*(m-j)!),j,2,m)$

(%i6) a(4,x,L);
(%o6)     14 (x - 3) (x - 2) - 15 (x - 4) (x - 2) + 3 (x - 4) (x - 3)

 Профиль  
                  
 
 Re: Производящая функция
Сообщение18.09.2016, 22:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1898
Москва
Должен немного подправить:

$$a_{i}=(-1)^{(i+m\mod{2})}\sum_{l=2}^m\left (\frac{\prod_{k=2,k\neq l}^{m}(i-k)}{(l-2)!(m-l)!}\right )\cdot(-1)^l\cdot a_l$$

Кстати, разница с многочленом Лагранжа особо чувствуется для последовательностей, которые не выражаются в виде многочлена:

Код:
(%i17) L:makelist(2^i,i,1,5);
(%o17)                         [2, 4, 8, 16, 32]
(%i18) expand(lagrange(L));
                            4    3       2
                           x    x    23 x    3 x
(%o18)                     -- - -- + ----- - --- + 2
                           12   2     12      2
(%i19) expand(a(5,x,L));
                                3
                             2 x       2   34 x
(%o19)                      ---- - 4 x  + ---- - 8
                              3             3

Форматирование конечно кривое, но можно повторить и понять, что интерполяционные многочлены различны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Производящая функция
Сообщение19.09.2016, 21:18 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
juna в сообщении #1152469 писал(а):
разница с многочленом Лагранжа особо чувствуется для последовательностей, которые не выражаются в виде многочлена

Ну еще бы! Если наша функция - многочлен девятой степени, то - восстанавливается по десяти точкам. А если - не многочлен, и мы состряпаем многочлен, то это не будет наш немногочлен....

 Профиль  
                  
 
 Re: Производящая функция
Сообщение19.09.2016, 23:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1898
Москва
DeBill в сообщении #1152754 писал(а):
juna в сообщении #1152469 писал(а):
разница с многочленом Лагранжа особо чувствуется для последовательностей, которые не выражаются в виде многочлена

Ну еще бы! Если наша функция - многочлен девятой степени, то - восстанавливается по десяти точкам. А если - не многочлен, и мы состряпаем многочлен, то это не будет наш немногочлен....


А чего сказать то хотели? :mrgreen:

На самом деле формула была получена не стряпней вокруг многочлена Лагранжа. Посыл был следующий: пусть имеется некоторая знакочередующаяся последовательность $\{a_1,a_2,\ldots,a_m,a_{m+1},\ldots\}$ и пусть $$\forall m'\geq m: r= \sum_{j=1}^{m'} a_j\cdot\left ( \frac{\sum_{i=j-1}^{m'-1}\binom{m'-1}{i}}{2^{m'-1}}\right ),$$ тогда $$\sum_{j=1}^{m+1} a_j\cdot\left ( \frac{\sum_{i=j-1}^{m}\binom{m}{i}}{2^{m}}\right )=\sum_{j=1}^{m} a_j\cdot\left ( \frac{\sum_{i=j-1}^{m-1}\binom{m-1}{i}}{2^{m-1}}\right )$$

Из последнего выражаем $a_{m+1}$ через предыдущие.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Gg322, Vladimir Pliassov


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group