Отношение радиусов Марса и Земли

[stedent076]

Космонавты, высадившиеся на поверхность Марса, масса которого примерно в 11 раз меньше массы Земли, измерили период обращения конического маятника, который оказался равным $T=3$ с. Длина нити $l=1$ м. Нить составляет с вертикалью угол $\alpha=30^\circ$. Вычислить по этим данным отношение радиусов Земли ($R_0$) и Марса ($R_1$). Уск. свободн. падения на Земле $g_0=10$ $\dfrac{\text{м}}{\text{c}^2}$

Период обращения конического маятника на Марсе $T=2\pi\sqrt{\dfrac{H}{g_1}}$, где $H=\cos\alpha\cdot l$ а $g_1$ – уск. свободн. падения на Марсе. Отсюда $g_1=\dfrac{4\pi^2\cdot H}{T^2}$. Если $M_0$ – масса Земли, а $M_1$ – масса Марса, то из формулы для свободного падения следует,что
$\dfrac{g_0}{g_1}=\dfrac{M_0\cdot R_1^2}{M_1 \cdot R_2^2}$ или

$\dfrac{ R_1}{R_2}=\sqrt{\dfrac{g_0M_1T^2}{4\pi^2M_0\cos\alpha\cdot l}}$

[warlock66613]

Устный приблизительный подсчёт по итоговой формуле даёт $0.5$, табличное значение $0.53$. Всё сходится, в чём вопрос?

[stedent076]

warlock66613
Я проверить хотел.

[Munin]

Кстати. Земля и Марс каменные планеты. Значит, должны быть примерно одинакового состава и примерно одинаковой плотности (потому что камень не сжимается).

stedent076 в сообщении #1151842 писал(а):

Марса, масса которого примерно в 11 раз меньше массы Земли

$\Rightarrow$ отношение радиусов примерно равно $\sqrt[3]{11}\approx 2.$ (Помним, что $2^3=8,$ а $3^3=27.$)

Полученный ответ грубо сходится, так что он правдоподобен.

[Anton_Peplov]

Munin в сообщении #1151860 писал(а):

Значит, должны быть примерно одинакового состава и примерно одинаковой плотности (потому что камень не сжимается).

Не совсем так. У Земли непропорционально большое по сравнению с другими планетами земной группы железное ядро, что объясняют столкновением с Тейей.

(Подробнее о столкновении)

При ударе наша гостья полностью испарилась (заодно испарилась небольшая часть Земли), и это газовое облако осталось на орбите Земли. Температура этого пара и поверхности Земли превышала тогда $5 000 ^\circ$C. Из него выпало на Землю железо, так что ядро Земли содержит не только родное железо, но и тейянское. Вообще на Землю в виде расплавленных дождей выпала большая часть вещества Тейи, а из того, что осталось, образовалась Луна и много астероидного мусора, впоследствии тоже выпавшего на Землю. Столкновением с Тейей объясняют также и аномальный наклон земной оси на $23^\circ$. Возможно, что другие аномалии в Солнечной системе – обратное вращение Венеры и лежачая поза Урана – также порождены столкновениями.
Луна образовалась в 24 000 км от Земли. Полная Луна занимала тогда на небе в 250 раз большую площадь, чем теперь. Поскольку суммарный момент импульса системы Земля – Луна не изменился, получается, что в те времена Земля совершала оборот вокруг своей оси всего за пять часов, а Луна обращалась вокруг Земли за 84 ч. С тех пор Луна постепенно удаляется от Земли, а продолжительность суток растет. Некоторые виды кораллов хорошо отражают суточные и годичные циклы, так вот у девонских кораллов (400 млн. лет назад) наблюдается более 400 суточных циклов в год, т.е. сутки длились примерно 22 часа. Анализ ритмитов – осадочных пород, в которых отмечены циклы приливов и отливов, включая суточный, месячный и годичный – показывает, что 900 млн. лет назад сутки длились 18.9 ч. Сейчас Луна удаляется от Земли на 3.82 см в год, что подтверждено точными лазерными измерениями.
Источник: Хейзен. История Земли: первые 4.5 млрд лет. Глава 2.

[Pphantom]

Anton_Peplov в сообщении #1151962 писал(а):

Не совсем так. У Земли непропорционально большое по сравнению с другими планетами земной группы железное ядро, что объясняют столкновением с Тейей.

Но средняя плотность при этом вполне стандартная, практически такая же, как у Меркурия и Венеры. Вот Марс из этого ряда немного выбивается, но не сильно, а поскольку при вычислении радиуса из отношения плотностей еще и кубический корень извлекается, то оценка Munin оказывается вполне неплохой.

[profrotter]

Оффтоп отделён в тему Пережить стерилизацию Земли.