определение вещественного числа

[SomePupil]

knizhnik, в Зориче есть чисто аксиоматическое определение с прекрасным комментарием. Вкратце: $\mathbb R -$ это полное поле, в котором $0\ne 1$.

[arseniiv]

knizhnik в сообщении #1150018 писал(а):

С аксиоматикой $\mathbb{R}$ я еще не ознакомился. У Шилова вроде бы учебник начинается с определения поля через аксиомы, но поле не обязательно будет $\mathbb{R}$.

Так стоит познакомиться с классическими определениями $\mathbb R$ — максимальное архимедово упорядоченное поле, фундаментальные последовательности, сечения Дедекинда — перед тем как предлагать свои, или нет? (А там дальше и все нужные теоремы будут. Не переписывать же их все сюда?)

SomePupil
Много чаще $0\ne1$ входит в аксиомы поля, чем не входит.

[VAL]

knizhnik в сообщении #1150013 писал(а):

VAL в сообщении #1150010 писал(а):

А что есть "обычная сходимость"?

Когда значения $\varepsilon$ можно брать вещественные.

Фундамендальные последовательности рациональных чисел, их эквивалентность, операции над ними etc рассматриваваются с целью построения вещественных чисел на базе рациональных. На этой стадии у нас еще нет вещественных чисел.

Цитата:

VAL в сообщении #1150010 писал(а):

В области рациональных чисел (определенная выше) фундаментальность не равносильна сходимости.

Вопрос о том, можно ли перенести это на вещественную область и как, если можно.

Что "это"? Неравносильность сходимости и фундаментальности? Мы для того и строим новое поле, содержащее $\mathbb Q$, чтобы в нем эти вещи (сходимость и фундаментальность) стали равносильными.

Цитата:

VAL в сообщении #1150010 писал(а):

Скажем, последовательность приближений числа $\pi$ с точностью до целых, десятых, сотых... будет фундаментальной, но не будет сходиться (ни к какому рациональному числу).

Предположите, что множество $\mathbb{R}$ уже построено одним из способов. Можно ли в новой области доказать, что фундаментальность будет разновидностью сходимости?

Разумеется.

[knizhnik]

VAL в сообщении #1150024 писал(а):

Разумеется.

Как это доказать?

[VAL]

SomePupil в сообщении #1150019 писал(а):

knizhnik, в Зориче есть чисто аксиоматическое определение с прекрасным комментарием. Вкратце: $\mathbb R -$ это полное поле, в котором $0\ne 1$.

Слишком "вкратце".
Эдак у Вас и поля p-адических чисел и еще много чего станут $\mathbb R$.

-- 08 сен 2016, 09:22 --

knizhnik в сообщении #1150025 писал(а):

VAL в сообщении #1150024 писал(а):

Разумеется.

Как это доказать?

Стандартным диагональным методом.

Это если "вкратце"?

[knizhnik]

Я не знаю, что такое стандартный диагональный метод.

[VAL]

knizhnik в сообщении #1150027 писал(а):

Я не знаю, что такое стандартный диагональный метод.

Пусть у нас есть фундаментальная последовательность вещественных чисел, т.е. классов ФПРЧ.
Ис каждого класса выбираем одну ФПРЧ. Из первой последовательности берем первый элемент, из второй - второй и т.д. На основании фундаментальности исходных последовательностей доказываем, что полученная тоже фундаментальна, т.е. определяет какое-то вещественное число. Оно-то и будет искомым пределом.

[SomePupil]

knizhnik, Вы про доказательство критерия Коши спрашиваете?
Мне нравится такое доказательство: из последовательности выделяется сходящаяся подпоследовательность (это возможно, так как исходная последовательность ограничена), а затем напрямую используется фундаментальность исходной последовательности. Этюд-двухходовка.

VAL в сообщении #1150026 писал(а):

Эдак у Вас и поля p-адических чисел и еще много чего станут $\mathbb R$.

Хорошо-хорошо. Линейно упорядоченное полное поле.

[knizhnik]

VAL в сообщении #1150029 писал(а):

фундаментальна, т.е. определяет какое-то вещественное число. Оно-то и будет искомым пределом.

Я уж тут не спрашиваю, как вы выбрали первый элемент, второй элемент... Хотя бы объясните, как перешли от фундаментальности к существованию предела. Или нет, давайте все по порядку разложим. Есть последовательность $a_n$, она фундаментальна. Следовательно нашлась такая функция $N(\varepsilon):\mathbb{Q}_+ \to \mathbb{N}$, что удовлетворяет требованиям определения. Чтобы доказать обычную вещественную сходимость, надо построить новую функцию $N'(\varepsilon):\mathbb{R}_+ \to \mathbb{N}$, то есть понять как дополнить старую функцию значениями в каждой положительной иррациональной точке.

[VAL]

knizhnik в сообщении #1150034 писал(а):

VAL в сообщении #1150029 писал(а):

фундаментальна, т.е. определяет какое-то вещественное число. Оно-то и будет искомым пределом.

Я уж тут не спрашиваю, как вы выбрали первый элемент, второй элемент... Хотя бы объясните, как перешли от фундаментальности к существованию предела. Или нет, давайте все по порядку разложим. Есть последовательность $a_n$, она фундаментальна.

Полагаю, Ваше непонимание начинается с этого места.
С помощью классов ФПРЧ мы построили новое множество. Его элементы - классы фундаментальных последовательностей рациональных чисел.
А Вы, похоже, это важнейшее обстоятельство вообще не замечаете.

[knizhnik]

Объясните, как для каждого класса ФПРЧ, то есть для каждого $\varepsilon$ правильно выбрать номер. Это обстоятельство просто обстоятельство, а как должна быть устроена новая функция вы не сказали же.

[SomePupil]

VAL в сообщении #1150029 писал(а):

Пусть у нас есть фундаментальная последовательность вещественных чисел, т.е. классов ФПРЧ.
Ис каждого класса выбираем одну ФПРЧ. Из первой последовательности берем первый элемент, из второй - второй и т.д. На основании фундаментальности исходных последовательностей доказываем, что полученная тоже фундаментальна, т.е. определяет какое-то вещественное число. Оно-то и будет искомым пределом.

Для $\mathbb R$-то это зачем? Почему бы попросту не определить вещественные числа как классы ФПРЧ, ввести для них понятия равенства, сложения, умножения, больше/меньше, а затем дать обычное определение предела?

[VAL]

knizhnik в сообщении #1150038 писал(а):

Объясните, как для каждого класса ФПРЧ, то есть для каждого $\varepsilon$ правильно выбрать номер.

Не надо выбирать номера для $\varepsilon$. Номера надо брать по порядку, а уже для каждой соответствующей последовательности подбирать подходящее $\varepsilon$.

Цитата:

Это обстоятельство просто обстоятельство, а как должна быть устроена новая функция вы не сказали же.

Написал. Читайте внимательнее.

Если хотите разобраться, не отмахивайтейсь от вопросов. Попробуйте ответить.

Например, что такое $a_1$ в Вашей фундаментальной последовательности вещественных чисел?
Только не отвечайте "вещественное число". Копните чуть глубже.

-- 08 сен 2016, 10:33 --

SomePupil в сообщении #1150039 писал(а):

Почему бы попросту не определить вещественные числа как классы ФПРЧ, ввести для них понятия равенства, сложения, умножения, больше/меньше, а затем дать обычное определение предела?

Именно этой схемы я и придерживаюсь.
Но ТС интересует вопрос как доказать полноту получившегося поля. Для этого надо взять фундаментальную последовательность из элементов нового поля и доказать, что она сходится (с терминах обычного определения предела).
Что не так?

[arseniiv]

(Оффтоп)

SomePupil в сообщении #1150030 писал(а):

Линейно упорядоченное полное поле.

Полное метрически? Ничего, что для определения метрического пространства нужны вещественные числа? Чем не устраивает

arseniiv в сообщении #1150020 писал(а):

максимальное архимедово упорядоченное поле

?

[knizhnik]

VAL в сообщении #1150042 писал(а):

Если хотите разобраться, не отмахивайтейсь от вопросов. Попробуйте ответить.

Я конечно хочу разобраться, но не с тем, с чем вы предлагаете разобраться. Давайте забудем про классы ФПРЧ. Пусть множество $\mathbb{R}$ построено любым другим способом, но не через классы. Если фундаментальность $\Rightarrow$ сходимость в $\mathbb{R}$ можно доказать, значит наверняка есть способ не через классы. А если нельзя, то должен быть пример последовательности, которая фундаментальна, но не сходится. Мне такое кажется маловероятным.

VAL в сообщении #1150042 писал(а):

Не надо выбирать номера для $\varepsilon$. Номера надо брать по порядку, а уже для каждой соответствующей последовательности подбирать подходящее $\varepsilon$.

Подбирать $\varepsilon$ нельзя. Подходящее нельзя, надо брать каждое и ему искать соответствие. В определении сказано $\forall \varepsilon$, поэтому будем брать каждое. Итак, нет у нас никаких классов.
Определение фундаментальности: $\forall \varepsilon \in \mathbb{Q}_+\;\exists N(\varepsilon ) \in \mathbb{N}\;\forall n,m \geqslant N(\varepsilon )\;|a_{m}-a_{n}|<\varepsilon $.
Определение сходимости: $\forall \varepsilon \in \mathbb{R}_+\;\exists N(\varepsilon ) \in \mathbb{N}\;\forall n,m \geqslant N(\varepsilon )\;|a_{m}-a_{n}|<\varepsilon $.
Почему из первого следует второе?