2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Задача о детерминанте тридиагональной матрицы
Сообщение12.08.2016, 23:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/13
1916
Москва
Не знаю, в какой раздел это можно определить, поэтому решил сюда. Задача основана на некотором наблюдении, которое сделано случайно, но строгого доказательства у меня к нему, увы, нет. Вроде бы оно мне нигде не встречалось. Вдруг будет интересно кому-нибудь...

Рассмотрим матрицу, у которой на главной диагонали стоит число $x$, сама диагональ окаймлена единицами. Например, вот так:
$$\begin{pmatrix}
 x& 1 & 0& 0\\
 1& x &1 & 0\\
0 & 1 &x &1 \\
0 & 0 & 1&x
\end{pmatrix}.$$
Детерминант такой матрицы будет полиномом от $x$. Степень полинома совпадёт с размером матрицы. Для выписанного примера матрицы можно ввести обозначение $D_4$. Спрашивается, чему равна сумма коэффициентов полинома, соответствующего детерминанту $D_{2015}$?

Вообще, интересно посмотреть, как образуются коэффициенты таких полиномов. Есть там закономерность красивая (на мой вкус).

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о детерминанте тридиагональной матрицы
Сообщение13.08.2016, 00:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14430
Можно разложить определитель по первому столбцу. В результате появится $D_n=xD_{n-1}-D_{n-2}$. Не появится ли в результате удобная рекурсия? Так можно даже и сами коэффициенты найти. А с суммой не попроще ли будет? Ведь сумма коэффициентов полинома равна его значению в ясно где.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о детерминанте тридиагональной матрицы
Сообщение13.08.2016, 00:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/13
1916
Москва
gris в сообщении #1143726 писал(а):
Не появится ли в результате удобная рекурсия? Так можно даже и сами коэффициенты найти.

Вы знаете, я в своё время (лет десять тому назад) удобной рекурсии не увидел; на сами полиномы посмотрел, непосредственно закономерности не увиделось - увиделось кое-что другое. Позже, наверное, опишу.
Про сумму - да, может быть, проще. Но там закономерность довольно хитрая получается.

P.S. Я подумал, не смотрится ли провокационно... Я не прошу решать за меня эту задачу. Мне достаточно того, что я сам заметил. Просто предлагаю небольшое развлечение. Если сочтёте его сомнительным - тогда извините.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о детерминанте тридиагональной матрицы
Сообщение13.08.2016, 00:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14430
Хорошая задача. Но что же там провокационного, или хитрого, или сложного?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о детерминанте тридиагональной матрицы
Сообщение13.08.2016, 00:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/13
1916
Москва
gris в сообщении #1143732 писал(а):
Но что же там провокационного, или хитрого, или сложного?

Да я только подстраховался: лишний раз сказал, что я "не ищу халяву" :-)
По сложности я её не оценивал - решил поделиться симпатичной находкой. Но всё-таки хотелось дать сначала подумать. Я опишу завтра-послезавтра свои наблюдения. Хотелось бы, чтобы кто-нибудь ответ дал. Хотя бы из "спортивного интереса".

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о детерминанте тридиагональной матрицы
Сообщение13.08.2016, 01:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14430
Только ответ? Мне кажется, ноль.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о детерминанте тридиагональной матрицы
Сообщение13.08.2016, 01:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/13
1916
Москва
Верно, нуль. А если бы детерминант был не 2015-й, а 2016-й?
Да, и хотя бы вкратце, из каких соображений получился нуль? Видимо, после Вашего ответа придётся мне выкладывать всё :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о детерминанте тридиагональной матрицы
Сообщение13.08.2016, 01:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14430
Я так думаю, что после нуля должна следовать единичка :?:

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о детерминанте тридиагональной матрицы
Сообщение13.08.2016, 01:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/13
1916
Москва
(Посчитал в сторонке...) В данном случае, действительно, единица. Но в общем случае это необязательно так.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о детерминанте тридиагональной матрицы
Сообщение13.08.2016, 01:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14430
ну можно потом снова повторить единичку, если Вам это больше по душе. А потом снова нолик. Только тогда придётся ещё минус единички ставить для баланса.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о детерминанте тридиагональной матрицы
Сообщение13.08.2016, 01:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/13
1916
Москва
Вроде бы тогда Вы всю задачу разобрали. Выкладываю то, что имел сказать сам.

Если выписать коэффициенты полиномов, начиная с самого первого, в таблицу (по столбцам будут коэффициенты при степенях $x$: при нулевой в первом столбце, при первой во втором и т.д.), то получится вот что:
$$\begin{array}{cccccccc}
  0 & 1 & 0 & 0& 0& 0& 0& 0 \\
 -1 & 0 & 1 & 0& 0& 0& 0& 0 \\
 0 & -2 & 0 & 1& 0& 0& 0& 0 \\
1 & 0 & -3 & 0& 1& 0& 0& 0 \\
0 & 3 & 0 & -4& 0& 0& 0& 0 \\
-1 & 0 & 6 & 0& -5& 0& 0& 0 \\
0 & -4 & 0 & 10& 0& -6& 0& 0 \\
\end{array}$$
Думаю, видно, как начинает формироваться такой косой треугольник Паскаля (только со знаками минус - как в биномиальной формуле).
А суммы по строкам образуют последовательность
$$1,0,-1,-1,0,1,1,0,-1,-1,0,...$$
Вот как-то так.
Вам, gris, спасибо за уделённое время и внимание!

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о детерминанте тридиагональной матрицы
Сообщение13.08.2016, 07:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Metford в сообщении #1143723 писал(а):
Вообще, интересно посмотреть, как образуются коэффициенты таких полиномов. Есть там закономерность красивая (на мой вкус).


Про это есть целая наука и написаны десятки книжек. Искать по ключевым словам "Jacobi matrices and orthogonal polynomials".

Например, данные конкретные полиномы -- это полиномы Чебышёва (с точностью до сдвига и нормировки).

А равенство нулю определителя означает, что у матрицы с нулями на диагонали единица является собственным числом, и эти собственные числа несложно посчитать в общем виде (даже в википедии есть).

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о детерминанте тридиагональной матрицы
Сообщение13.08.2016, 07:38 


05/02/13
132
gris в сообщении #1143726 писал(а):
Можно разложить определитель по первому столбцу. В результате появится $D_n=xD_{n-1}-D_{n-2}$. Не появится ли в результате удобная рекурсия? Так можно даже и сами коэффициенты найти. А с суммой не попроще ли будет? Ведь сумма коэффициентов полинома равна его значению в ясно где.


Эта рекурсия решается легко. Характеристический многоямичлен имеет вид $\lambda^2-x\lambda+1$.

Далее всё зависит от числа $x$, точнее от дискриминанта. $D = x^2-4$.

I. $x=2$
Тогда решением будет $D_n=2^n(C_1+C_2n)$

II. $x < -2$ или $x > 2$.

Тогда решением будет $D_n = C_1\left(\frac{1-\sqrt{x^2-4}}{2}\right)^n + C_2 \left(\frac{1+\sqrt{x^2-4}}{2}\right)^n$

III. $-2 < x < 2.$


Тогда решением будет $D_n = |\frac{1-\sqrt{4-x^2}i}{2}|^k (C_1 \cos \frac {n\pi}{2} + C_2\sin \frac {n\pi}{2})$

Константы определяются из начальных условий $D_1 = x, D_2 = x^2-1.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о детерминанте тридиагональной матрицы
Сообщение13.08.2016, 09:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14430
Повторю, однако, что сумма коэффициентов полинома равна его значению в единичке. То есть для нахождения суммы достаточно посчитать определитель, где вместо $x$ стоит $1$. Кстати, и уравнение выглядит попроще: $D_1=1;\;D_2=0;\;D_n=D_{n-1}-D_{n-2}$.
Это "возвратная (рекуррентная) последовательность".
А задачка, действительно, симпатичная. Особенно красиво неожиданное появление Треугольника Паскаля.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача о детерминанте тридиагональной матрицы
Сообщение13.08.2016, 11:22 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
gris в сообщении #1143766 писал(а):
$D_n=D_{n-1}-D_{n-2}$.

И поскольку корни характеристического уравнения суть $e^{\pm i\frac{\pi}3}$ -- последовательность периодична и с понятно каким периодом.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 19 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group